广东省部分学校2023届高三上学期数学入学摸底联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·广东开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】 先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出答案.
2．（2022高三上·广东开学考）已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题：，，
所以：，，A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到答案.
3．（2022高三上·广东开学考）已知某质点从平面直角坐标系中的初始位置点，沿以为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点，设在轴上的射影为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数的定义得，点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合三角函数的定义，再结合投影的定义，即可求解出答案.
4．（2022高三上·广东开学考）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺
【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1 ，由此能求出答案.
5．（2022高三上·广东开学考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：，
所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，
所以，所以，所以.
故答案为：D
【分析】 若椭圆C上存在无数个点P，满足，则以为直径的圆与椭圆有4个交点，即c>b，又，即可得出答案.
6．（2022高三上·广东开学考）在中，已知，，与交于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】如图，过作直线交于，因为，
所以，因为，所以设，则，
所以，因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】由平面向量的线性运算可得，因为点O、B、F三点共线，求出的值，从而求出答案.
7．（2022高三上·广东开学考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以，即，
令，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的单调性可得a=sin4<0，利用对数运算性质与基本不等式可得c与d的大小关系，利用指数与对数的运算性质及其单调性，通过比较b， c与的大小关系，即可得出答案.
8．（2022高三上·广东开学考）一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】电路由上到下有3个分支并联，开关所在的分支不通的概率为，
开关所在的分支不通的概率为，
开关，，所在的分支不通的概率为，
所以灯亮的概率是.
故答案为：A.
【分析】 利用相互独立事件的概率乘法公式可求解出答案.
二、多选题
9．（2022高三上·广东开学考）若复数z满足：，则（ ）
A．z的实部为3
B．z的虚部为1
C．
D．z在复平面上对应的点位于第一象限
【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】设，因为，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的实部为3，虚部为1，A，B符合题意；，C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】 根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的运算法则，求出z，逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高三上·广东开学考）若直线与圆：交于，两个不同的点，且，则的值为（ ）
A．0 B．5 C．6 D．－6
【答案】A,D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的半径为3，设圆心到直线的距离为，
则，因为，所以，
所以，解得：或.
故答案为：AD.
【分析】根据题意求出圆心C到到直线x-y+m=0的距离，列方程即可求得m的值.
11．（2022高三上·广东开学考）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】因为，，所以，A：因为，所以，
当且仅当时等号成立，故正确；
B：因为，
当且仅当时等号成立，故不正确；
C：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故不正确；
D：，令，则，
令，所以，所以
在上单调递增，所以，所以，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由基本不等式可判断A、B、C；，
令，则，令，再利用导数求出y的最小值即可判断D.
12．（2022高三上·广东开学考）在四棱锥中，已知，，，则（ ）
A．四边形内接于一个圆
B．四棱锥的体积为
C．四棱锥外接球的球心在四棱锥的内部
D．四棱锥外接球的半径为
【答案】A,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】A：由已知得三角形为正三角形，又，，所以，，
故，
所以A、B、C、D四点共圆，A符合题意；
B：由上得、、、四点共圆，设圆心为，，且，
所以，设点在平面的投影为，
因为，所以，
即为四边形的外接圆的圆心，所以，重合，
所以平面，，
四边形的面积，
所以四棱锥的体积为，B不正确；
C：设四棱锥外接球的球心为，因为平面，
且，所以球心在上，设，
所以，所以，
解得：，
所以球心在的延长线上，
所以四棱锥外接球的球心在四棱锥的外部，故不正确；
D：四棱锥外接球的半径为，所以D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 根据得三角形为正三角形，进而可得A、B、C、D四点共圆，可判断A；由已知得为四边形的外接圆的圆心，所以，重合，证得平面，进而求出四棱锥的体积可判断B；利用勾股定理得到球心在的延长线上，四棱锥外接球的球心在四棱锥的外部，可判断C；求出四棱锥外接球的半径，可判断D.
三、填空题
13．（2022高三上·广东开学考）的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由题意，，
故答案为：.
【分析】 由诱导公式，结合二倍角的余弦公式求解，可得答案.
14．（2022高三上·广东开学考）已知函数是奇函数，且最小正周期为，则 （写出符合的一个答案即可）.
【答案】f(x)=sin4x（答案不唯一）
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】根据是奇函数，且最小正周期为，可写出f(x)=sin4x，满足题意.
故答案为：f(x)=sin4x（答案不唯一）.
【分析】 由题意可得函数为三角函数，写出满足条件的函数即可.
15．（2022高三上·广东开学考）“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为 .
【答案】18
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种.
故答案为：18.
【分析】 先把除甲乙两人的4名志愿者分成两组，再搭配3名医生，用分步乘法原理计算可得答案.
16．（2022高三上·广东开学考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将函数图象右移2个单位，下移2个单位得到函数的图象，若，分别为函数，图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由已知得，将，图象的对称轴右移1个单位再下移1个单位，
即得到函数，图象的对称轴为直线即，
所以，两点之间距离的最小值等于到直线距离最小值的2倍，
，故函数的图象在点处的切线斜率为，
令，得，，
所以到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为.
故答案为：.
【分析】 根据平移，P， Q两点间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的2倍，然后根据导数的几何意义可求出答案.
四、解答题
17．（2022高三上·广东开学考）已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
【答案】（1）解：当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，
所以，
当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以
（2）解：
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据递推关系式，分n为奇数和偶数分别求解出数列的通项公式；
(2)分组求和即可求出数列的前项的和.
18．（2022高三上·广东开学考）随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.
附：.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等
质量非优等
合计
（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：由题意可得列联表为：
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等 60 30 90
质量非优等 40 70 110
合计 100 100 200
则.
所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.
（2）解：由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间中含有10个，
随机变量的可能取值有0，1，2，
，，，
随机变量的分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[40， 45]中含有10个，随机变量X的可能取值有0， 1， 2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及数学期望.
19．（2022高三上·广东开学考）在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
因为，
所以，
所以，所以，
因为，所以.
（2）解：因为的面积为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)由两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ， 由 ， 可求出 ， 结合范围 ，可求出 的大小；
(2)利用三角形的面积公式可求出 ， 进而根据余弦定理可得b，即可计算得△ABC的周长.
20．（2022高三上·广东开学考）如图，在长方体中，，.若平面与棱，分别交于，，且，，分别为棱，上的点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.
【答案】（1）证明：因为为长方体，所以平面，
又平面，，
，，
又，
，即，
所以，即，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）解：以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，
，平面，且平面平面，
，，四边形为平行四边形，
，
，，，
所以，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，且，
又由（1）得平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
设，则，，
即，
所以当，即，时，取得最小值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)推导出 ，平面， 由此能证明出平面平面；
(2) 以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴， 求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.
21．（2022高三上·广东开学考）设函数，.
（1）当时，求函数的导函数的值域；
（2）如果恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）解：，当时，，
令，所以，
所以在单调递减，
所以，
所以的值域为.
（2）解：方法一：
若，恒成立，首先，，所以，
当时，因为，所以，
所以函数在时单调递增，所以，
当时，令，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
因为，所以，
所以在存在一个零点，
当时，，所以单调递减，
所以，
即不恒成立.
综上：所以.则实数的最大值为－1.
方法二：
，，
，且恒成立，则.
∴，∴，
现证明当，原不等式恒成立，
，
，
∴，
即在单调递增，∴成立，
，原式成立.
∴，∴.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)先求导，代入 ，得到研究对象 ， 利用导数求最值的方法即求得导函数的值域；
(2)方法一：由f(x)≤0恒成立易得a≤0，再对a≤-1与-1
方法二：先由f(-)≥0得到a≤-1，再证明当a≤- 1，原不等式恒成立即可解得a的最大值为-1.
22．（2022高三上·广东开学考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
（1）求的值；
（2）已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
【答案】（1）解：双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）证明：双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)求出双曲线的渐近线方程，结合△OAB的面积列关于m的方程，即可求得 的值；
(2)双曲线C的方程为 ，求得右焦点F的坐标为(2， 0)，设 直线与轴交于点，故可设直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合M'，F，N三点共线，可得 ， 即 ， 整理后代入根与系数的关系即可求得p值，可得MN经过x轴上的定点.
1 / 1广东省部分学校2023届高三上学期数学入学摸底联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·广东开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·广东开学考）已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022高三上·广东开学考）已知某质点从平面直角坐标系中的初始位置点，沿以为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到点，设在轴上的射影为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高三上·广东开学考）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺
5．（2022高三上·广东开学考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·广东开学考）在中，已知，，与交于，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·广东开学考）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·广东开学考）一个电路如图所示，，，，，，，为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·广东开学考）若复数z满足：，则（ ）
A．z的实部为3
B．z的虚部为1
C．
D．z在复平面上对应的点位于第一象限
10．（2022高三上·广东开学考）若直线与圆：交于，两个不同的点，且，则的值为（ ）
A．0 B．5 C．6 D．－6
11．（2022高三上·广东开学考）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高三上·广东开学考）在四棱锥中，已知，，，则（ ）
A．四边形内接于一个圆
B．四棱锥的体积为
C．四棱锥外接球的球心在四棱锥的内部
D．四棱锥外接球的半径为
三、填空题
13．（2022高三上·广东开学考）的值为 .
14．（2022高三上·广东开学考）已知函数是奇函数，且最小正周期为，则 （写出符合的一个答案即可）.
15．（2022高三上·广东开学考）“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为 .
16．（2022高三上·广东开学考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将函数图象右移2个单位，下移2个单位得到函数的图象，若，分别为函数，图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为 .
四、解答题
17．（2022高三上·广东开学考）已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
18．（2022高三上·广东开学考）随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：，，，，.
附：.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等
质量非优等
合计
（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间中含有的个数为，求的分布列及数学期望.
19．（2022高三上·广东开学考）在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若，的面积为，求的周长.
20．（2022高三上·广东开学考）如图，在长方体中，，.若平面与棱，分别交于，，且，，分别为棱，上的点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.
21．（2022高三上·广东开学考）设函数，.
（1）当时，求函数的导函数的值域；
（2）如果恒成立，求实数的最大值.
22．（2022高三上·广东开学考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
（1）求的值；
（2）已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】 先根据补集概念求出，再由交集定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题：，，
所以：，，A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】由三角函数的定义得，点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合三角函数的定义，再结合投影的定义，即可求解出答案.
4．【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1 ，由此能求出答案.
5．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：，
所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，
所以，所以，所以.
故答案为：D
【分析】 若椭圆C上存在无数个点P，满足，则以为直径的圆与椭圆有4个交点，即c>b，又，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】如图，过作直线交于，因为，
所以，因为，所以设，则，
所以，因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】由平面向量的线性运算可得，因为点O、B、F三点共线，求出的值，从而求出答案.
7．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以，即，
令，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的单调性可得a=sin4<0，利用对数运算性质与基本不等式可得c与d的大小关系，利用指数与对数的运算性质及其单调性，通过比较b， c与的大小关系，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】电路由上到下有3个分支并联，开关所在的分支不通的概率为，
开关所在的分支不通的概率为，
开关，，所在的分支不通的概率为，
所以灯亮的概率是.
故答案为：A.
【分析】 利用相互独立事件的概率乘法公式可求解出答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】设，因为，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的实部为3，虚部为1，A，B符合题意；，C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】 根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的运算法则，求出z，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的半径为3，设圆心到直线的距离为，
则，因为，所以，
所以，解得：或.
故答案为：AD.
【分析】根据题意求出圆心C到到直线x-y+m=0的距离，列方程即可求得m的值.
11．【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】因为，，所以，A：因为，所以，
当且仅当时等号成立，故正确；
B：因为，
当且仅当时等号成立，故不正确；
C：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故不正确；
D：，令，则，
令，所以，所以
在上单调递增，所以，所以，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】由基本不等式可判断A、B、C；，
令，则，令，再利用导数求出y的最小值即可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】A：由已知得三角形为正三角形，又，，所以，，
故，
所以A、B、C、D四点共圆，A符合题意；
B：由上得、、、四点共圆，设圆心为，，且，
所以，设点在平面的投影为，
因为，所以，
即为四边形的外接圆的圆心，所以，重合，
所以平面，，
四边形的面积，
所以四棱锥的体积为，B不正确；
C：设四棱锥外接球的球心为，因为平面，
且，所以球心在上，设，
所以，所以，
解得：，
所以球心在的延长线上，
所以四棱锥外接球的球心在四棱锥的外部，故不正确；
D：四棱锥外接球的半径为，所以D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】 根据得三角形为正三角形，进而可得A、B、C、D四点共圆，可判断A；由已知得为四边形的外接圆的圆心，所以，重合，证得平面，进而求出四棱锥的体积可判断B；利用勾股定理得到球心在的延长线上，四棱锥外接球的球心在四棱锥的外部，可判断C；求出四棱锥外接球的半径，可判断D.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由题意，，
故答案为：.
【分析】 由诱导公式，结合二倍角的余弦公式求解，可得答案.
14．【答案】f(x)=sin4x（答案不唯一）
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】根据是奇函数，且最小正周期为，可写出f(x)=sin4x，满足题意.
故答案为：f(x)=sin4x（答案不唯一）.
【分析】 由题意可得函数为三角函数，写出满足条件的函数即可.
15．【答案】18
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种.
故答案为：18.
【分析】 先把除甲乙两人的4名志愿者分成两组，再搭配3名医生，用分步乘法原理计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由已知得，将，图象的对称轴右移1个单位再下移1个单位，
即得到函数，图象的对称轴为直线即，
所以，两点之间距离的最小值等于到直线距离最小值的2倍，
，故函数的图象在点处的切线斜率为，
令，得，，
所以到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为.
故答案为：.
【分析】 根据平移，P， Q两点间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的2倍，然后根据导数的几何意义可求出答案.
17．【答案】（1）解：当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为－1的等差数列，
所以，
当为偶数时，，所以所有偶数项构成以为首项，公比为3的等比数列，所以，所以
（2）解：
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据递推关系式，分n为奇数和偶数分别求解出数列的通项公式；
(2)分组求和即可求出数列的前项的和.
18．【答案】（1）解：由题意可得列联表为：
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等 60 30 90
质量非优等 40 70 110
合计 100 100 200
则.
所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.
（2）解：由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间中含有10个，
随机变量的可能取值有0，1，2，
，，，
随机变量的分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解出结论；
(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[40， 45]中含有10个，随机变量X的可能取值有0， 1， 2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及数学期望.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
因为，
所以，
所以，所以，
因为，所以.
（2）解：因为的面积为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)由两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ， 由 ， 可求出 ， 结合范围 ，可求出 的大小；
(2)利用三角形的面积公式可求出 ， 进而根据余弦定理可得b，即可计算得△ABC的周长.
20．【答案】（1）证明：因为为长方体，所以平面，
又平面，，
，，
又，
，即，
所以，即，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）解：以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，
，平面，且平面平面，
，，四边形为平行四边形，
，
，，，
所以，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，且，
又由（1）得平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
设，则，，
即，
所以当，即，时，取得最小值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)推导出 ，平面， 由此能证明出平面平面；
(2) 以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴， 求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.
21．【答案】（1）解：，当时，，
令，所以，
所以在单调递减，
所以，
所以的值域为.
（2）解：方法一：
若，恒成立，首先，，所以，
当时，因为，所以，
所以函数在时单调递增，所以，
当时，令，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
因为，所以，
所以在存在一个零点，
当时，，所以单调递减，
所以，
即不恒成立.
综上：所以.则实数的最大值为－1.
方法二：
，，
，且恒成立，则.
∴，∴，
现证明当，原不等式恒成立，
，
，
∴，
即在单调递增，∴成立，
，原式成立.
∴，∴.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)先求导，代入 ，得到研究对象 ， 利用导数求最值的方法即求得导函数的值域；
(2)方法一：由f(x)≤0恒成立易得a≤0，再对a≤-1与-1方法二：先由f(-)≥0得到a≤-1，再证明当a≤- 1，原不等式恒成立即可解得a的最大值为-1.
22．【答案】（1）解：双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）证明：双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)求出双曲线的渐近线方程，结合△OAB的面积列关于m的方程，即可求得 的值；
(2)双曲线C的方程为 ，求得右焦点F的坐标为(2， 0)，设 直线与轴交于点，故可设直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合M'，F，N三点共线，可得 ， 即 ， 整理后代入根与系数的关系即可求得p值，可得MN经过x轴上的定点.
1 / 1