河北省邢台市名校联盟2023届高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·邢台开学考）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·邢台开学考）复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高三上·邢台开学考）已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
4．（2022高三上·邢台开学考）2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（ ）米/秒
A．10.1 B．-10.1 C．14.8 D．-14.8
5．（2022高三上·邢台开学考）如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2022高三上·邢台开学考）过抛物线 C：焦点 F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点 A 在 x轴上方），已知点，则（ ）
A． B．4 C． D．9
7．（2022高三上·邢台开学考）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·邢台开学考）定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（ ）
A．，使，.
B．，使，.
C．，使，.
D．，使，.
二、多选题
9．（2022高三上·邢台开学考）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A．6 B． C． D．
10．（2022高三上·邢台开学考）随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（ ）
A．A发生的概率为0.6 B．B发生且A不发生的概率为0.2
C．A或B发生的概率为0.9 D．A与B同时发生的概率0.2
11．（2022高三上·邢台开学考）函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（ ）
A．在区间单调递增.
B．在区间有六个零点.
C．直线是曲线的对称轴.
D．图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.
12．（2022高三上·邢台开学考）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上递增；在上递减.
B．时，有两个根.
C．当时，过能做两条切线.
D．方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.
三、填空题
13．（2022高三上·邢台开学考）展开式中的项的系数是 .
14．（2022高三上·邢台开学考）数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式 （写一个符合条件的即可）.
15．（2022高三上·邢台开学考）中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为 .
16．（2022高三上·邢台开学考）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为 .
四、解答题
17．（2022高三上·邢台开学考）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，面积为S，且.
（1）求角A的大小.
（2）当a取最小值时，求的周长和面积.
18．（2022高三上·邢台开学考）数列的前n项积.数列的前n项和.
（1）求数列、的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
19．（2022高三上·邢台开学考）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
20．（2022高三上·邢台开学考）全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：
（1）若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？
（2）若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.
21．（2022高三上·邢台开学考）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
22．（2022高三上·邢台开学考）已知函数.
（1）若的最小值为0，求a的值；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】对于集合，可得不等式，解得，
对于集合，可得不等式，等价于，解得或，
则，
故答案为：B.
【分析】由题意，分别计算出集合，集合，结合交集的定义，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可得，
则，
∴在复平面内对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法求，根据共轭复数的概念写出，并判断其所在的象限.
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【解答】依题意，
构造函数，
，
由于，所以在上恒成立，
所以在区间上递减，
所以当时，是单调递减数列，
所以的最大值为.
所以取得最大值时n为.
故答案为：B
【分析】先求得，利用导数求得当时，是单调递减数列，从而确定正确答案.
4．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由，可得或(舍去)，
因为，
所以，
即他重心入水时的瞬时速度为-14.8米/秒.
故答案为：D.
【分析】由题可得起跳后的秒时他重心入水，然后利用导数即得.
5．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】设三棱柱中底面上的高为，中边上的高，
则当以平面为底时，水的体积，
当以侧面水平放置时，水呈现为四棱柱，此时底面作图如下：
其中，由题意可知，则，
设其底面四边形的面积为（阴影面积），水的体积可表示为，可得，
即，则，即，
则水面高度为，
故答案为：C.
【分析】由题意，分别表示两种情况下体积表示，得到两底面的面积的关系，根据相似，可得高之比，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题可得，故直线，即，
由，可得，
解得或，又点 A 在 x 轴上方，
所以，又，
∴，，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题可得，联立抛物线方程可得，然后利用两点间距离公式即得.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，
，
所以，使，，A正确，不符合题意；
，使，，B正确，不符合题意；
，使，，C正确，不符合题意；
若，，则，此时，使，，不成立，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据导数定义存在量词命题的概念结合条件可判断AB C，根据特例可判断D.
9．【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，
，，，
，
当夹角为时，
，，
，
，
所以或.
故答案为：AC．
【分析】由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解.
10．【答案】B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意A与B互相独立，
，，
所以，A选项错误，，
所以，B选项正确，
A或B发生的概率为，C选项错误，
，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据相互独立事件概率的知识求得正确答案.
11．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题可得，
所以，
由，可得，
又在区间恰有三个极值点，
∴，可得，
∴，，
当时，，则函数有增有减，A不符合题意；
当时，，
由可得，，故在区间有六个零点，B符合题意；
当时，，所以直线是曲线的对称轴，C符合题意；
图象向左平移个单位，可得，为非奇非偶函数，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数的性质可得，根据极值点的概念及三角函数的性质可得，进而可得，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
12．【答案】A,B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，
对A，由得，由得，
故在上递增；在上递减，A对；
对B，，即，令，
则，由得，且单调递减；
单调递增，由，
故，故有两个零点，即有两个根，B对；
对C，设切点为，则的切线为，
由切线过得，即关于有两个解，
令，则，则时，，时，，
则在处有最大值，，
故时，关于有两个解，又，C对；
对D，令，由A得，，且时，；
时，. 则当，均有两个不等的x满足，
则要使方程有两个不相等的实数根，需只有一个根，
即有，即，此时方程的根为，
当时， ，则只需，解得；
当时， ，则只需，解得，
综上，a的取值范围是，D对.
故答案为：ABCD
【分析】对A，由导数法判断单调性即可；
对B，，即，进而用导数法讨论有2个零点时a的范围即可；
对C，设切点为，则的切线为，代入点后即可等价成方程关于有两个解，此时方法同B；
对D，先由单调性进一步得时，；时，；此时方程有两个不相等的实数根等价于满足方程只有一个根，结合判别式及根的范围讨论即可.
13．【答案】30
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为，
令解得；令，解得.
所以展开式中的项的系数是.
故答案为：30
【分析】结合乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
14．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由题知：数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的
通项公式.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据要求写出通项公式即可.
15．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】由题意，圆取的是正方体的内切球，则该球半径，
易知该球为正四面体的外接球，如下图：
可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，
设正四面体的棱长为，则，，
在中，则，即，
解得，即，
故答案为：.
【分析】根据题意，求正方体的内切球，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可得棱长答案.
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，内切圆的半径为r，
所以，
则，
设椭圆的左右焦点为，
则，
同理，
又内切圆的性质得，
所以，
消去得，即，
又因为，
所以，
设，
则，
所以m＋n的最大值为，
故答案为：
【分析】由，得到，再由内切圆的性质和焦半径公式得到，消去得到内切圆圆心的轨迹方程，再利用三角换元，根据三角函数的性质求解.
17．【答案】（1）解：∵，∴，
∴
∵，∴，
又∵，∴，∴.
（2）解：方法一：由余弦定理得：，∵，
即
当时，最小为3，a取得最小值.
此时有.
为直角三角形，.
周长为，面积.
方法二：中，由正弦定理得：，即，.
∵，.∴
当时，，a有最小值.
此时，，.
周长为，面积为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）结合面积公式，倍角公式对进行恒等变换即可得出，即可进一步讨论求得角A的大小；
（2）方法一：由余弦定理得出，即可得时a取最小值，进而可求的周长和面积；
方法二：由正弦定理得出，即可得时a取最小值，进而可求的周长和面积.
18．【答案】（1）解：前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
（2）解：
记前n项和为
①
②
①－②得
∴，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用（）求，利用（）求；
（2）由错位相减法求和．
19．【答案】（1）证明：取中点为，连接，
在中，∵为的中点，为中点，
∴，
在正方形中，∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
∴平面；
（2）解：在正三角形中，为的中点，
∴，
又∵，平面，平面，
∴AM⊥平面，平面PCD，
∴AM⊥DC，
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，
∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝2，则，，，，，
，，，，
设平面MDN的法向量为，
，令，则，
设平面PDC的法向量为，
，令，则，
∴，
∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取中点为 ，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得平面ABCD⊥平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
20．【答案】（1）解：依题意，总分x的所有可能取值为0，10，30，
若甲参赛，记“甲在第i轮答题且答对”为事件，
所以x的分布列为
x 0 10 30
P 0.04 0.56 0.4
∴
同理可得，若乙参赛，记“乙在第i轮答题且答对”分别为事件
所以x的分布列为
x 0 10 30
P 0.25 0.35 0.4
同理可得若乙参赛，可得乙得分期望为15.5.
∵
∴安排甲参赛得分期望高于乙参赛得分期望，安排甲参赛更合适.
（2）解：设“甲在第i轮回答B组题”的事件为，
则事件发生包括“甲在第三轮回答A组题且回答正确”和“甲在第三轮回答B组题且回答正确”.
∴
同理：，而
∴
∴甲参赛且第四轮正好回答B组题概率为0.632.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）总分的所有可能取值为0，10，30，分别求出甲、乙取得各分数的概率，求出得分期望比较即可；
（2）设“甲在第i轮回答B组题”的事件为 ， ， 则事件发生包括“甲在第轮回答A组题且正确”和“甲在第轮回答B组题（如有）且正确”，第一轮只能回答A组题，从第二轮起回答A组题与回答B组题为互斥事件.
21．【答案】（1）解：由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
（2）解：∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，由题可得 ，， 根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线 方程为，则方程为，与联立可得 ，进而可得，然后根据斜率关系即得.
22．【答案】（1）解：，∴
当时，，则，不符合题意.
当时，，
∴时，，时，，则在处有最大值，无最小值，不符合题意.
当时，.
∴时，，时，，则在处有最小值，
∴
综上所述，最小值为0时，.
（2）解：由恒成立，得恒成立，
即，
即，
即
令，则
∴在R上单调递增.
由得
∴，∴
设
所以当，，单调递增，当，，单调递减，
∴当时，有最大值为0，∴，即，
所以a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对a分类讨论，用导数法讨论的最小值，建立方程求解即可；
（2）将恒成立等价成恒成立，进一步化成，即可构造函数，用导数法分析单调性，将恒成立等价成，即恒成立，最后用导数法求 最大值即可求得a的取值范围.
1 / 1河北省邢台市名校联盟2023届高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·邢台开学考）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】对于集合，可得不等式，解得，
对于集合，可得不等式，等价于，解得或，
则，
故答案为：B.
【分析】由题意，分别计算出集合，集合，结合交集的定义，可得答案.
2．（2022高三上·邢台开学考）复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可得，
则，
∴在复平面内对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法求，根据共轭复数的概念写出，并判断其所在的象限.
3．（2022高三上·邢台开学考）已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【解答】依题意，
构造函数，
，
由于，所以在上恒成立，
所以在区间上递减，
所以当时，是单调递减数列，
所以的最大值为.
所以取得最大值时n为.
故答案为：B
【分析】先求得，利用导数求得当时，是单调递减数列，从而确定正确答案.
4．（2022高三上·邢台开学考）2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（ ）米/秒
A．10.1 B．-10.1 C．14.8 D．-14.8
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由，可得或(舍去)，
因为，
所以，
即他重心入水时的瞬时速度为-14.8米/秒.
故答案为：D.
【分析】由题可得起跳后的秒时他重心入水，然后利用导数即得.
5．（2022高三上·邢台开学考）如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】设三棱柱中底面上的高为，中边上的高，
则当以平面为底时，水的体积，
当以侧面水平放置时，水呈现为四棱柱，此时底面作图如下：
其中，由题意可知，则，
设其底面四边形的面积为（阴影面积），水的体积可表示为，可得，
即，则，即，
则水面高度为，
故答案为：C.
【分析】由题意，分别表示两种情况下体积表示，得到两底面的面积的关系，根据相似，可得高之比，可得答案.
6．（2022高三上·邢台开学考）过抛物线 C：焦点 F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点 A 在 x轴上方），已知点，则（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题可得，故直线，即，
由，可得，
解得或，又点 A 在 x 轴上方，
所以，又，
∴，，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题可得，联立抛物线方程可得，然后利用两点间距离公式即得.
7．（2022高三上·邢台开学考）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
8．（2022高三上·邢台开学考）定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（ ）
A．，使，.
B．，使，.
C．，使，.
D．，使，.
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，
，
所以，使，，A正确，不符合题意；
，使，，B正确，不符合题意；
，使，，C正确，不符合题意；
若，，则，此时，使，，不成立，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据导数定义存在量词命题的概念结合条件可判断AB C，根据特例可判断D.
二、多选题
9．（2022高三上·邢台开学考）已知平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，
，，，
，
当夹角为时，
，，
，
，
所以或.
故答案为：AC．
【分析】由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解.
10．（2022高三上·邢台开学考）随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（ ）
A．A发生的概率为0.6 B．B发生且A不发生的概率为0.2
C．A或B发生的概率为0.9 D．A与B同时发生的概率0.2
【答案】B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意A与B互相独立，
，，
所以，A选项错误，，
所以，B选项正确，
A或B发生的概率为，C选项错误，
，D选项正确.
故答案为：BD
【分析】根据相互独立事件概率的知识求得正确答案.
11．（2022高三上·邢台开学考）函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（ ）
A．在区间单调递增.
B．在区间有六个零点.
C．直线是曲线的对称轴.
D．图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题可得，
所以，
由，可得，
又在区间恰有三个极值点，
∴，可得，
∴，，
当时，，则函数有增有减，A不符合题意；
当时，，
由可得，，故在区间有六个零点，B符合题意；
当时，，所以直线是曲线的对称轴，C符合题意；
图象向左平移个单位，可得，为非奇非偶函数，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数的性质可得，根据极值点的概念及三角函数的性质可得，进而可得，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
12．（2022高三上·邢台开学考）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上递增；在上递减.
B．时，有两个根.
C．当时，过能做两条切线.
D．方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.
【答案】A,B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，
对A，由得，由得，
故在上递增；在上递减，A对；
对B，，即，令，
则，由得，且单调递减；
单调递增，由，
故，故有两个零点，即有两个根，B对；
对C，设切点为，则的切线为，
由切线过得，即关于有两个解，
令，则，则时，，时，，
则在处有最大值，，
故时，关于有两个解，又，C对；
对D，令，由A得，，且时，；
时，. 则当，均有两个不等的x满足，
则要使方程有两个不相等的实数根，需只有一个根，
即有，即，此时方程的根为，
当时， ，则只需，解得；
当时， ，则只需，解得，
综上，a的取值范围是，D对.
故答案为：ABCD
【分析】对A，由导数法判断单调性即可；
对B，，即，进而用导数法讨论有2个零点时a的范围即可；
对C，设切点为，则的切线为，代入点后即可等价成方程关于有两个解，此时方法同B；
对D，先由单调性进一步得时，；时，；此时方程有两个不相等的实数根等价于满足方程只有一个根，结合判别式及根的范围讨论即可.
三、填空题
13．（2022高三上·邢台开学考）展开式中的项的系数是 .
【答案】30
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为，
令解得；令，解得.
所以展开式中的项的系数是.
故答案为：30
【分析】结合乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
14．（2022高三上·邢台开学考）数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式 （写一个符合条件的即可）.
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由题知：数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的
通项公式.
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据要求写出通项公式即可.
15．（2022高三上·邢台开学考）中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为 .
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】由题意，圆取的是正方体的内切球，则该球半径，
易知该球为正四面体的外接球，如下图：
可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，
设正四面体的棱长为，则，，
在中，则，即，
解得，即，
故答案为：.
【分析】根据题意，求正方体的内切球，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可得棱长答案.
16．（2022高三上·邢台开学考）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，内切圆的半径为r，
所以，
则，
设椭圆的左右焦点为，
则，
同理，
又内切圆的性质得，
所以，
消去得，即，
又因为，
所以，
设，
则，
所以m＋n的最大值为，
故答案为：
【分析】由，得到，再由内切圆的性质和焦半径公式得到，消去得到内切圆圆心的轨迹方程，再利用三角换元，根据三角函数的性质求解.
四、解答题
17．（2022高三上·邢台开学考）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，面积为S，且.
（1）求角A的大小.
（2）当a取最小值时，求的周长和面积.
【答案】（1）解：∵，∴，
∴
∵，∴，
又∵，∴，∴.
（2）解：方法一：由余弦定理得：，∵，
即
当时，最小为3，a取得最小值.
此时有.
为直角三角形，.
周长为，面积.
方法二：中，由正弦定理得：，即，.
∵，.∴
当时，，a有最小值.
此时，，.
周长为，面积为.
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）结合面积公式，倍角公式对进行恒等变换即可得出，即可进一步讨论求得角A的大小；
（2）方法一：由余弦定理得出，即可得时a取最小值，进而可求的周长和面积；
方法二：由正弦定理得出，即可得时a取最小值，进而可求的周长和面积.
18．（2022高三上·邢台开学考）数列的前n项积.数列的前n项和.
（1）求数列、的通项公式.
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）解：前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
（2）解：
记前n项和为
①
②
①－②得
∴，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用（）求，利用（）求；
（2）由错位相减法求和．
19．（2022高三上·邢台开学考）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：取中点为，连接，
在中，∵为的中点，为中点，
∴，
在正方形中，∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
∴平面；
（2）解：在正三角形中，为的中点，
∴，
又∵，平面，平面，
∴AM⊥平面，平面PCD，
∴AM⊥DC，
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，
∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝2，则，，，，，
，，，，
设平面MDN的法向量为，
，令，则，
设平面PDC的法向量为，
，令，则，
∴，
∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）取中点为 ，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得平面ABCD⊥平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
20．（2022高三上·邢台开学考）全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：
（1）若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？
（2）若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.
【答案】（1）解：依题意，总分x的所有可能取值为0，10，30，
若甲参赛，记“甲在第i轮答题且答对”为事件，
所以x的分布列为
x 0 10 30
P 0.04 0.56 0.4
∴
同理可得，若乙参赛，记“乙在第i轮答题且答对”分别为事件
所以x的分布列为
x 0 10 30
P 0.25 0.35 0.4
同理可得若乙参赛，可得乙得分期望为15.5.
∵
∴安排甲参赛得分期望高于乙参赛得分期望，安排甲参赛更合适.
（2）解：设“甲在第i轮回答B组题”的事件为，
则事件发生包括“甲在第三轮回答A组题且回答正确”和“甲在第三轮回答B组题且回答正确”.
∴
同理：，而
∴
∴甲参赛且第四轮正好回答B组题概率为0.632.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）总分的所有可能取值为0，10，30，分别求出甲、乙取得各分数的概率，求出得分期望比较即可；
（2）设“甲在第i轮回答B组题”的事件为 ， ， 则事件发生包括“甲在第轮回答A组题且正确”和“甲在第轮回答B组题（如有）且正确”，第一轮只能回答A组题，从第二轮起回答A组题与回答B组题为互斥事件.
21．（2022高三上·邢台开学考）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.
（1）求点的轨迹方程.
（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.
【答案】（1）解：由题意得，，
设，，，
则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，
∴；
（2）解：∵，
设直线方程为，则方程为，
联立，得（且），
设，得，，
同理设，得，，
，，
∴，即，
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，由题可得 ，， 根据斜率公式结合条件即得；
（2）由题可设直线 方程为，则方程为，与联立可得 ，进而可得，然后根据斜率关系即得.
22．（2022高三上·邢台开学考）已知函数.
（1）若的最小值为0，求a的值；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）解：，∴
当时，，则，不符合题意.
当时，，
∴时，，时，，则在处有最大值，无最小值，不符合题意.
当时，.
∴时，，时，，则在处有最小值，
∴
综上所述，最小值为0时，.
（2）解：由恒成立，得恒成立，
即，
即，
即
令，则
∴在R上单调递增.
由得
∴，∴
设
所以当，，单调递增，当，，单调递减，
∴当时，有最大值为0，∴，即，
所以a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对a分类讨论，用导数法讨论的最小值，建立方程求解即可；
（2）将恒成立等价成恒成立，进一步化成，即可构造函数，用导数法分析单调性，将恒成立等价成，即恒成立，最后用导数法求 最大值即可求得a的取值范围.
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