安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）已知复数， 则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·安徽开学考）已知集合， 若， 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·安徽开学考）已知向量满足， 则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2022高三上·安徽开学考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作， 其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B．3π C． D．
5．（2022高三上·安徽开学考）如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）
A．14 B．18 C．30 D．36
6．（2022高三上·安徽开学考）已知， 且， 则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·安徽开学考）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．1 C． D．-1
8．（2022高三上·安徽开学考）设正项等比数列的前项乘积为， 已知，则的（ ）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024
C．最小值为 D．最小值为
9．（2022高三上·安徽开学考）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（ ）
A． B．或 C．或 D．或
10．（2022高三上·安徽开学考）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（ ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
11．（2022高三上·安徽开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·安徽开学考）若， 函数的图象恒在函数的图象上方(无公共点)， 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·安徽开学考）已知曲线在处的切线与直线垂直， 则实数 .
14．（2022高三上·安徽开学考）已知甲盒装有3个红球，个白球， 乙盒装有3个红球， 1个白球， 丙盒装有2个红球， 2个白球， 这些球除颜色以外完全相同. 先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球， 若取得白球的概率是，则 .
15．（2022高三上·安徽开学考）有下列命题：
①函数在定义域内是增函数；
②函数的最小正周期为；
③直线为函数图像的一条对称轴；
④函数的值域为.
其中所有正确命题的序号为 .
16．（2022高三上·安徽开学考）已知正方体的棱长为2，点为的中点， 则三棱锥的外接球的表面积为 .
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（2022高三上·安徽开学考）已知锐角的内角的对边分别为， 且.
（1）求；
（2）若，且的面积为， 求的周长.
19．（2022高三上·安徽开学考）为了促进落实“科技助农”服务， 某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛， 先进行选拔赛. 选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛， 答对3题者进入正赛， 答错3题者则被淘汰. 设选手甲答对每个题的概率均为，且答每个题互不影响.
（1）求选手甲进入正赛的概率；
（2）设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量，求的分布列及数学期望.
20．（2022高三上·安徽开学考）如图， 在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022高三上·安徽开学考）已知函数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若，求证：.
22．（2022高三上·安徽开学考）已知为椭圆的右焦点， 点在椭圆上，且轴.
（1）求的方程；
（2）已知点及椭圆上，两点满足，过点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为
则，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再利用复数求模公式得出复数z的共轭复数的模。
2．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】时， ， ，，所以 即；
时， ， ，不可能；
时， ，，不可能.
故答案为：C .
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数m的取值范围。
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】，
又，平方得，将已知代入可得
，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模公式，再利用数量积的运算法则，进而得出的值。
4．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，
圆锥高，母线长，
圆锥的侧面积为，解得，
所以圆锥的体积为。
故答案为：A.
【分析】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得圆锥高和母线长，再利用圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积结合已知条件得出r的值，再结合圆锥的体积公式得出圆锥的体积。
5．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为，
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为，
所以满足条件的方案数为30-12=18种。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和作差法得出不同的安排方案种数。
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由，平方可得，可得，
因为，可得，则，
所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平方法和同角三角函数基本关系以及二倍角的正弦公式，进而得出的值，再利用结合构造法和余弦型函数的图象求值域的方法，进而得出，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出的值。
7．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆，即，圆心为，半径，
直线，即，令，解得，即直线恒过定点，
又因为，所以点在圆内部，
所以当直线时弦长最短，又，所以，即，解得。
故答案为：D
【分析】将圆转化为标准方程为，从而得出圆心坐标和半径长，将直线转化为，令，进而得出直线恒过的定点M的坐标，再利用两点求距离公式得出，所以点在圆内部，再结合几何法得出当直线时弦长最短，再利用两点求斜率公式得出直线CM的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线l的斜率，从而得出实数m的值。
8．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，
因为，即，
化简可得，
且，所以，
所以，且等比数列各项为正，所以，
即等比数列是递减数列，且，
所以有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，
则，
所以的最大值为32。
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，利用结合已知条件和求积的方法得出的值，再利用等比数列的通项公式得出数列 的第五项的值，再结合等比数列的通项公式和已知条件得出的值，再利用等比数列各项为正，进而得出公比的值，从而判断出等比数列是递减数列，且，
所以有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，进而结合求积法得出的最大值， 从而找出正确的选项。
9．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为焦点，设，令，
由，消可得
，，所以，
所以所以，解得：
所以的斜率为，则的倾斜角或。
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，设，令，再利用直线与抛物线相交结合判别式法得出再结合韦达定理得出，再利用结合向量共线的坐标表示得出，所以进而得出，进而结合直线的斜率与m的关系式得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式对称直线的倾斜角。
10．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由双曲线方程知，，
恰好为圆的直径，所以，如图所示：
由双曲线定义知，，
∴，
所以，
∴。
故答案为：D.
【分析】由双曲线方程知焦点坐标，所以利用焦距的定义得出恰好为圆的直径，再利用圆的直径所对的圆周角为直角，所以，由双曲线定义知，再利用勾股定理得出的值，进而得出，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
11．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
因为在上为增函数，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
因为在上为增函数，
所以，所以，即，
，
因为在上为增函数，且，
所以，
所以，
所以，
综上所述，，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合比较法比较出a，b，c三者的大小。
12．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题知，函数的图象恒在函数的图象上方，
所以对于恒成立，
即，即对于恒成立，
令，则，
而在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以对于恒成立，
令，则，
所以当时，；
当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
所以，又。
故答案为：A.
【分析】由题知，函数的图象恒在函数的图象上方，
所以对于恒成立，即对于恒成立，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以对于恒成立，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合求出实数a的取值范围。
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
直线的斜率为，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数m的值。
14．【答案】4
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】从甲盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从乙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从丙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
因为随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，
取得白球的概率是，所以，
解得：。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出实数m的值。
15．【答案】③④
【知识点】函数的值域；含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质；图形的对称性
【解析】【解答】对于①，由的图像（如图）易知①错；
对于②，因为，而，即，故不是的一个周期，故②错；
对于③，，，所以，故为的一条对称轴，故③对；
对于④，当时，，，，
，；
当时，，，，，；综上，，故④对.
故答案为：③④.
【分析】利用已知条件结合正切函数的图象判断其单调性；再结合已知条件结合绝对值的定义和三角型函数的最小正周期公式得出函数 的最小正周期；再结合已知条件和诱导公式和函数对称轴求解方法得出直线为函数图像的一条对称轴；再利用已知条件结合分类讨论的方法和绝对值的定义，从而借助辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用x的取值范围和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法得出函数 的值域 ，从而找出正确的命题的序号。
16．【答案】14π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图所示，是中点，的外接圆的圆心应该是和的垂直平分线的交点，而的垂直平分线是直线， 的垂直平分线是直线，
所以的交点就是的外接圆的圆心.
过点作底面的垂线，则三棱锥的外接球球心在垂线上.
设的中点为，连接，
因为，所以，所以四边形是矩形，
所以，
在△中，.
由余弦定理得.
所以.
所以三棱锥的外接球的表面积为。
故答案为：14π。
【分析】 利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质和三棱锥与球的位置关系，从而利用球的表面积公式得出三棱锥的外接球的表面积。
17．【答案】（1）解：因为，，
令 ， 则 ， 即， 解得，
由题知， 由， 两边同除以，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）解：由（1）及条件可得，
所以
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，从 而判断出数列是首项为，公差为的等差数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用数列的通项公式得出数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法求出数列 的前项和。
18．【答案】（1）解：由正弦定理及已知得 ，
.
又为锐角三角形，
.
（2）解：由条件知 ，
又 ，
或 ，
当时， 为等边三角形， 故其周长为6，
当时， 由余弦定理得，即，
此时 ， 则 ，
故此时为钝角三角形， 不符合题意，
综上的周长为 6 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角C的正弦值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理得出a，b的值，再结合分类讨论的方法和三角形的形状，从而结合余弦定理和三角形的周长公式得出三角形 的周长。
19．【答案】（1）解：设 “选手甲进人正赛” 为事件， 选手甲答对每个题的概率均为， 答错每个题的概率均为.当甲连续答对3道题时， 进入正赛的概率为；
当甲前3个题2对1错，第 4 题对时， 进入正赛的概率为 ；
当甲前4个题2对2错， 第5题对时， 进入正赛的概率为 .
故
（2）解：由题可知的所有可能取值为3，4，5.
则 ，
，
，
的分布列为
3 4 5
则 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出选手甲进入正赛的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
20．【答案】（1）证明：由已知得，，，
，，
，，
，
又，且，平面，
平面，
又平面，
，
在正三角形中，为的中点，则，
又，且，平面
平面；
（2）解：如图所示，取的中点为，的中点为，
由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 由已知得，，，再利用勾股定理得出，再利用，，进而得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以
平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，在正三角形中，为的中点，再结合正三角形三线合一，则，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 取的中点为，的中点为，由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线与平面所成角的正弦值。
21．【答案】（1）解：，
在上是增函数，在上恒成立，可得在上恒成立.
令，则，
当时，在上是增函数，，
，解得或，
即实数的取值范围是
（2）证明：，令，则，
在上单调递增，
因为，，所以存在时，，
存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
当且仅当即时等号成立，
当，
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再利用均值不等式求最值的方法，进而证出不等式 成立。
22．【答案】（1）解：由点在椭圆上，且轴，
则，所以椭圆方程为，
代入点，得，解得或，
又，所以，，
所以椭圆方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，可设，
则，，，
又，即，，解得，此时直线为轴，不成立；
当直线斜率存在时，可设，代入椭圆方程，
得，，即，
设，，
则，
又，，
即，
化简可得，即或，
当时，直线的方程为，过点，与点重合，不成立，
当时，直线的方程为，恒过点，
综上所述，直线经过点，
而过点作直线的垂线的垂足的轨迹为以为直径的圆（坐标原点除外），
其中，，
圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，点除外，即为点的轨迹方程.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由点在椭圆上，且轴，进而得出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式设出椭圆方程为，再利用代入法得出的值，再结合，进而得出满足要求的，的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线的斜率不存在时，可设，
则，，再利用向量的坐标表示得出，，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，即，再结合数量积的坐标表示得出t的值，从而得出此时直线为轴，不成立；当直线斜率存在时，可设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，设，，再结合韦达定理得出，再利用
结合数量积的坐标表示得出m的值，再利用分类讨论的方法和直线恒过定点的性质得出直线经过点，而过点作直线的垂线的垂足的轨迹为以为直径的圆（坐标原点除外），其中，，再利用中点坐标公式得出圆心坐标，再结合中点的性质和两点距离公式得出圆的半径长，进而得出圆的标准方程，从而得出点除外的点的轨迹方程。
1 / 1安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·安徽开学考）已知复数， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】因为
则，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再利用复数求模公式得出复数z的共轭复数的模。
2．（2022高三上·安徽开学考）已知集合， 若， 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】时， ， ，，所以 即；
时， ， ，不可能；
时， ，，不可能.
故答案为：C .
【分析】利用已知条件结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出实数m的取值范围。
3．（2022高三上·安徽开学考）已知向量满足， 则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】，
又，平方得，将已知代入可得
，所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模公式，再利用数量积的运算法则，进而得出的值。
4．（2022高三上·安徽开学考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作， 其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B．3π C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，
圆锥高，母线长，
圆锥的侧面积为，解得，
所以圆锥的体积为。
故答案为：A.
【分析】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得圆锥高和母线长，再利用圆锥的侧面积公式得出圆锥的侧面积结合已知条件得出r的值，再结合圆锥的体积公式得出圆锥的体积。
5．（2022高三上·安徽开学考）如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（ ）
A．14 B．18 C．30 D．36
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为，
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为，
所以满足条件的方案数为30-12=18种。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和作差法得出不同的安排方案种数。
6．（2022高三上·安徽开学考）已知， 且， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由，平方可得，可得，
因为，可得，则，
所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平方法和同角三角函数基本关系以及二倍角的正弦公式，进而得出的值，再利用结合构造法和余弦型函数的图象求值域的方法，进而得出，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出的值。
7．（2022高三上·安徽开学考）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．1 C． D．-1
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆，即，圆心为，半径，
直线，即，令，解得，即直线恒过定点，
又因为，所以点在圆内部，
所以当直线时弦长最短，又，所以，即，解得。
故答案为：D
【分析】将圆转化为标准方程为，从而得出圆心坐标和半径长，将直线转化为，令，进而得出直线恒过的定点M的坐标，再利用两点求距离公式得出，所以点在圆内部，再结合几何法得出当直线时弦长最短，再利用两点求斜率公式得出直线CM的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线l的斜率，从而得出实数m的值。
8．（2022高三上·安徽开学考）设正项等比数列的前项乘积为， 已知，则的（ ）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024
C．最小值为 D．最小值为
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，
因为，即，
化简可得，
且，所以，
所以，且等比数列各项为正，所以，
即等比数列是递减数列，且，
所以有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，
则，
所以的最大值为32。
故答案为：A.
【分析】设等比数列的公比为，利用结合已知条件和求积的方法得出的值，再利用等比数列的通项公式得出数列 的第五项的值，再结合等比数列的通项公式和已知条件得出的值，再利用等比数列各项为正，进而得出公比的值，从而判断出等比数列是递减数列，且，
所以有最大值，最大值是前4项积或者前5项积，进而结合求积法得出的最大值， 从而找出正确的选项。
9．（2022高三上·安徽开学考）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为焦点，设，令，
由，消可得
，，所以，
所以所以，解得：
所以的斜率为，则的倾斜角或。
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，设，令，再利用直线与抛物线相交结合判别式法得出再结合韦达定理得出，再利用结合向量共线的坐标表示得出，所以进而得出，进而结合直线的斜率与m的关系式得出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式对称直线的倾斜角。
10．（2022高三上·安徽开学考）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（ ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由双曲线方程知，，
恰好为圆的直径，所以，如图所示：
由双曲线定义知，，
∴，
所以，
∴。
故答案为：D.
【分析】由双曲线方程知焦点坐标，所以利用焦距的定义得出恰好为圆的直径，再利用圆的直径所对的圆周角为直角，所以，由双曲线定义知，再利用勾股定理得出的值，进而得出，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
11．（2022高三上·安徽开学考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，
所以，所以，
因为在上为增函数，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
因为在上为增函数，
所以，所以，即，
，
因为在上为增函数，且，
所以，
所以，
所以，
综上所述，，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合比较法比较出a，b，c三者的大小。
12．（2022高三上·安徽开学考）若， 函数的图象恒在函数的图象上方(无公共点)， 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题知，函数的图象恒在函数的图象上方，
所以对于恒成立，
即，即对于恒成立，
令，则，
而在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，所以对于恒成立，
令，则，
所以当时，；
当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
所以，又。
故答案为：A.
【分析】由题知，函数的图象恒在函数的图象上方，
所以对于恒成立，即对于恒成立，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以对于恒成立，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合求出实数a的取值范围。
二、填空题
13．（2022高三上·安徽开学考）已知曲线在处的切线与直线垂直， 则实数 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】因为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
直线的斜率为，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数m的值。
14．（2022高三上·安徽开学考）已知甲盒装有3个红球，个白球， 乙盒装有3个红球， 1个白球， 丙盒装有2个红球， 2个白球， 这些球除颜色以外完全相同. 先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球， 若取得白球的概率是，则 .
【答案】4
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】从甲盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从乙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
从丙盒中机取一个球，取得白球的概率是，
因为随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，
取得白球的概率是，所以，
解得：。
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出实数m的值。
15．（2022高三上·安徽开学考）有下列命题：
①函数在定义域内是增函数；
②函数的最小正周期为；
③直线为函数图像的一条对称轴；
④函数的值域为.
其中所有正确命题的序号为 .
【答案】③④
【知识点】函数的值域；含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质；图形的对称性
【解析】【解答】对于①，由的图像（如图）易知①错；
对于②，因为，而，即，故不是的一个周期，故②错；
对于③，，，所以，故为的一条对称轴，故③对；
对于④，当时，，，，
，；
当时，，，，，；综上，，故④对.
故答案为：③④.
【分析】利用已知条件结合正切函数的图象判断其单调性；再结合已知条件结合绝对值的定义和三角型函数的最小正周期公式得出函数 的最小正周期；再结合已知条件和诱导公式和函数对称轴求解方法得出直线为函数图像的一条对称轴；再利用已知条件结合分类讨论的方法和绝对值的定义，从而借助辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用x的取值范围和构造法以及正弦型函数的图象求值域的方法得出函数 的值域 ，从而找出正确的命题的序号。
16．（2022高三上·安徽开学考）已知正方体的棱长为2，点为的中点， 则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】14π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图所示，是中点，的外接圆的圆心应该是和的垂直平分线的交点，而的垂直平分线是直线， 的垂直平分线是直线，
所以的交点就是的外接圆的圆心.
过点作底面的垂线，则三棱锥的外接球球心在垂线上.
设的中点为，连接，
因为，所以，所以四边形是矩形，
所以，
在△中，.
由余弦定理得.
所以.
所以三棱锥的外接球的表面积为。
故答案为：14π。
【分析】 利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质和三棱锥与球的位置关系，从而利用球的表面积公式得出三棱锥的外接球的表面积。
三、解答题
17．（2022高三上·安徽开学考）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，，
令 ， 则 ， 即， 解得，
由题知， 由， 两边同除以，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）解：由（1）及条件可得，
所以
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，从 而判断出数列是首项为，公差为的等差数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用数列的通项公式得出数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法求出数列 的前项和。
18．（2022高三上·安徽开学考）已知锐角的内角的对边分别为， 且.
（1）求；
（2）若，且的面积为， 求的周长.
【答案】（1）解：由正弦定理及已知得 ，
.
又为锐角三角形，
.
（2）解：由条件知 ，
又 ，
或 ，
当时， 为等边三角形， 故其周长为6，
当时， 由余弦定理得，即，
此时 ， 则 ，
故此时为钝角三角形， 不符合题意，
综上的周长为 6 .
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角C的正弦值，再利用三角形为锐角三角形，从而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合正弦定理得出a，b的值，再结合分类讨论的方法和三角形的形状，从而结合余弦定理和三角形的周长公式得出三角形 的周长。
19．（2022高三上·安徽开学考）为了促进落实“科技助农”服务， 某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛， 先进行选拔赛. 选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛， 答对3题者进入正赛， 答错3题者则被淘汰. 设选手甲答对每个题的概率均为，且答每个题互不影响.
（1）求选手甲进入正赛的概率；
（2）设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：设 “选手甲进人正赛” 为事件， 选手甲答对每个题的概率均为， 答错每个题的概率均为.当甲连续答对3道题时， 进入正赛的概率为；
当甲前3个题2对1错，第 4 题对时， 进入正赛的概率为 ；
当甲前4个题2对2错， 第5题对时， 进入正赛的概率为 .
故
（2）解：由题可知的所有可能取值为3，4，5.
则 ，
，
，
的分布列为
3 4 5
则 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出选手甲进入正赛的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再利用二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
20．（2022高三上·安徽开学考）如图， 在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：由已知得，，，
，，
，，
，
又，且，平面，
平面，
又平面，
，
在正三角形中，为的中点，则，
又，且，平面
平面；
（2）解：如图所示，取的中点为，的中点为，
由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 由已知得，，，再利用勾股定理得出，再利用，，进而得出，再利用线线垂直证出线面垂直，所以
平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，在正三角形中，为的中点，再结合正三角形三线合一，则，再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 取的中点为，的中点为，由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，进而得出直线与平面所成角的正弦值。
21．（2022高三上·安徽开学考）已知函数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若，求证：.
【答案】（1）解：，
在上是增函数，在上恒成立，可得在上恒成立.
令，则，
当时，在上是增函数，，
，解得或，
即实数的取值范围是
（2）证明：，令，则，
在上单调递增，
因为，，所以存在时，，
存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
当且仅当即时等号成立，
当，
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再利用均值不等式求最值的方法，进而证出不等式 成立。
22．（2022高三上·安徽开学考）已知为椭圆的右焦点， 点在椭圆上，且轴.
（1）求的方程；
（2）已知点及椭圆上，两点满足，过点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程
【答案】（1）解：由点在椭圆上，且轴，
则，所以椭圆方程为，
代入点，得，解得或，
又，所以，，
所以椭圆方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，可设，
则，，，
又，即，，解得，此时直线为轴，不成立；
当直线斜率存在时，可设，代入椭圆方程，
得，，即，
设，，
则，
又，，
即，
化简可得，即或，
当时，直线的方程为，过点，与点重合，不成立，
当时，直线的方程为，恒过点，
综上所述，直线经过点，
而过点作直线的垂线的垂足的轨迹为以为直径的圆（坐标原点除外），
其中，，
圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，点除外，即为点的轨迹方程.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由点在椭圆上，且轴，进而得出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式设出椭圆方程为，再利用代入法得出的值，再结合，进而得出满足要求的，的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线的斜率不存在时，可设，
则，，再利用向量的坐标表示得出，，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，即，再结合数量积的坐标表示得出t的值，从而得出此时直线为轴，不成立；当直线斜率存在时，可设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，设，，再结合韦达定理得出，再利用
结合数量积的坐标表示得出m的值，再利用分类讨论的方法和直线恒过定点的性质得出直线经过点，而过点作直线的垂线的垂足的轨迹为以为直径的圆（坐标原点除外），其中，，再利用中点坐标公式得出圆心坐标，再结合中点的性质和两点距离公式得出圆的半径长，进而得出圆的标准方程，从而得出点除外的点的轨迹方程。
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