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甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·靖远开学考）设集合， ，且 ，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．（2022高三上·靖远开学考）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·靖远开学考）函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高三上·靖远开学考）设正项等比数列的前4项和为90，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022高三上·靖远开学考）某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A，B，C，D，E五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（ ）
A．样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C．D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多
6．（2022高三上·靖远开学考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·靖远开学考）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A． B．8 C． D．10
8．（2022高三上·靖远开学考）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2022高三上·靖远开学考）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·靖远开学考）6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种 B．144种 C．150种 D．210种
11．（2022高三上·靖远开学考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·靖远开学考）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·靖远开学考）设是等差数列，且，，则 .
14．（2022高三上·靖远开学考）已知向量，满足，且，则 .
15．（2022高三上·靖远开学考）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为 .
16．（2022高三上·靖远开学考）“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由生成的康威圆的半径为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·靖远开学考）的内角的对边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长.
18．（2022高三上·靖远开学考）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？
（2）求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.
19．（2022高三上·靖远开学考）在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
20．（2022高三上·靖远开学考）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
21．（2022高三上·靖远开学考）已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
22．（2022高三上·靖远开学考）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．
23．（2022高三上·靖远开学考）已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解，即 ，
当即时， ，此时，不合题意；
故，即，则 ，
由于，，所以，解得。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再利用交集的运算法则结合分类讨论的方法，从而得出a的值。
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】设，，
因为，
所以，
解得，，
则。
故答案为：A
【分析】设，，再利用已知条件结合复数的加减法运算法则，再结合复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z。
3．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为，所以f（x）是奇函数，排除A，D，
当时，，，所以，排除C，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设公比为，易得，
由题设知，即，
又，所以，，即，
解得或（舍去），进而，从而。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出等比数列第五项的值。
5．【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】设女生身高频率分布直方图中的组距为，
由，得，
所以女生身高频率分布直方图中A层次频率为20%，B层次频率为30%，C层次频率为25%，D层次频率为15%，E层次频率为10%，
因为男、女生样本数未知，所以A层次中男、女生人数不能比较，即A不符合题意；
同理，D层次女生在女生样本数中频率与E层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，
但因男、女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C不符合题意；
设女生人数为n，男生人数为，但因男、女生人数可能不相等，
则B层次的学生数为，
C层次的学生数为，因为n不确定，
所以与可能不相等，即D不符合题意；
女生A，B两个层次的频率之和为50%，
所以女生的样本身高中位数为B，C层次的分界点，
男生A，B两个层次的频率之和为35%，显然中位数落在C层次内，
所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B符合题意．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用扇形图中的数据结合频数等于频率乘以样本容量的公式，得出样本中A层次中男、女生人数不能比较；利用已知条件和扇形图中的数据，再结合频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大；利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用扇形图中的数据得出D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率不一定相等；再利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合扇形图中的数据和频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出样本中B层次的学生数和C层次的学生数不一样多，进而找出叙述正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为，所以是偶函数，
当时，是增函数，
又因为，所以可化为，
可得到，解得。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再结合增函数的定义，从而判断函数为增函数，再结合偶函数的定义和增函数的性质，进而求出不等式 的解集 。
7．【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】多面体的直观图如图所示，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，
， 则直三棱柱体积为，
四棱锥体积为，所以多面体的体积为。
故答案为：D
【分析】利用三视图画出多面体的直观图，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，再利用三角形的面积公式得出的值， 再利用直三棱柱体积公式得出直三棱柱体积，再结合四棱锥的体积公式得出四棱锥体积，再结合求和法得出多面体的体积。
8．【答案】C
【知识点】奇函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当k＝0时，ω取得最小值2。
故答案为：C
【分析】由题意结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再利用为奇函数结合奇函数的定义得出，再结合，从而得出ω的最小值。
9．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设，的中点为，连接，，过作交于，
因为平面，且，可知，
由于是中点，因此平面，故平面，
又平面，因此平面平面，且平面平面，
，平面，因此平面，
所以是直线与平面所成的角，因为，所以。
故答案为：B
【分析】设，的中点为，连接，，过作交于，利用平面，且，可知，由于是中点，因此再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直证出面面垂直，因此平面平面，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，因此平面，所以是直线与平面所成的角，再利用结合正弦函数的定义和勾股定理，进而得出直线与平面所成角的正弦值。
10．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而得出不同的安排方法共有的种数。
11．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，
设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以。
【分析】设，再利用双曲线的定义得出，再利用，所以，所以，再利用，再结合勾股定理得出，由得，进而得出，再利用结合勾股定理得出，再利用双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率。
12．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立.
令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立.
因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.
设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是。
故答案为：A
【分析】利用，不等式恒成立，进而转化为恒成立，
令，再利用求导的方法判断函数的单调性，则不等式恒成立等价于恒成立，再利用，，所以对任意的恒成立，恒成立，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数的取值范围。
13．【答案】81
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为，所以，又，所以公差，从而。
故答案为：81。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第三项的值，再利用等差数列的通项公式得出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式，进而得出等差数列第40项的值。
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，，则。
所以答案为：1。
【分析】利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
15．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，
所以，又，所以，
所以，则，
所以抛物线的标准方程为。
故答案为：。
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，再利用
，得出，再结合正切函数的定义得出和的值，再利用，得出，再结合三角形的面积公式和已知条件得出p的值，从而得出抛物线的标准方程。
16．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为，，
所以康威圆的圆心在的平分线上，
同理可知康威圆的圆心在的平分线上，即康威圆的圆心为的内心．
因为，，，满足，
所以，
所以的内切圆的半径，
所以，康威圆的半径。
故答案为：。
【分析】利用，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理可知康威圆的圆心在的平分线上，再利用三角形内心的定义判断出康威圆的圆心为的内心．
再利用，，结合勾股定理得出，进而得出三角形的内切圆的半径，从而结合勾股定理得出康威圆的半径。
17．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得：
所以.
展开得，
整理得，即，
又，则，所以.
（2）解：由（1）知，解得，
因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，解得，，
所以的周长为.
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合辅助角公式得出 的值， 再利用三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出ac的值，再利用正弦定理和余弦定理得出a+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长。
18．【答案】（1）解：学生甲恰好答对两题的概率
（2）解：随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
由（1）知，又，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解出学生甲恰好答对两题的概率；
(2)根据随机变量X的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解出分布列，进而计算出数学期望.
19．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为，，，所以，
所以，.
又，所以平面，从而.
因为，，所以平面.
（2）解：因为平面，所以，，又，
所以.
因为，所以.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为，所以，.
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明出AB⊥PD，从而证明出 平面；
(2)证明出PB，PA，PD两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解出二面角的正弦值.
20．【答案】（1）解：由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）解：设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1，0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由椭圆的右顶点是M (2，0)，可求a，又椭圆的离心率为 ，可求出c，进而可求b，从而可求出椭圆C的标准方程 ；
(2) 设，，显然直线l的斜率存在，直线l的方程为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 ，，求出直线AD的方程，从而可求出直线AD的定点坐标.
21．【答案】（1）解：由题意知，的定义域为，
函数有两个零点即有两个根，
等价于方程有两个根.
设，即的图像与直线有两个交点.
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当趋近0时，趋近负无穷大，
当趋近正无穷大时，趋近0，
由图可知，的取值范围是.
（2）证明：由（1）知方程的两个根分别为，则.
令，，则，
设，，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且，故.
设，则，
因为，
所以在上单调递增，
所以，即，从而.
因为，所以，
又在上单调递减，所以，即，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)将 函数有两个零点 ，问题转化为方程有两个根，即 的图像与直线有两个交点，进而利用导数判断函数单调性，数形结合，求得参数 的取值范围；
(2) 由（1）知方程的两个根分别为，则 ，利用换元法，可得令 ，，可得 ， 构造函数 ，利用导数研究其单调性，继而再构造函数 利用其单调性证明出结论.
22．【答案】（1）解：因为曲线C的参数方程为，（θ为参数），
所以曲线C的普通方程为．
由，得，即，
因为，，所以直线l的直角坐标方程为．
（2）解：因为直线l的斜率为-1，所以l的倾斜角为，
所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．
设点A，B对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，，
所以．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，可得曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)利用直线l的方程的斜率求出直线 的参数方程，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出 的值．
23．【答案】（1）证明：由已知可得
，
当且仅当时，等号成立．
又a，b，c均为正数，所以．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立．
【知识点】平均值不等式
【解析】【分析】(1)利用基本不等式和 ， 求解即可得 ；
(2)利用基本不等式求证出 ．
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甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·靖远开学考）设集合， ，且 ，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解，即 ，
当即时， ，此时，不合题意；
故，即，则 ，
由于，，所以，解得。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再利用交集的运算法则结合分类讨论的方法，从而得出a的值。
2．（2022高三上·靖远开学考）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】设，，
因为，
所以，
解得，，
则。
故答案为：A
【分析】设，，再利用已知条件结合复数的加减法运算法则，再结合复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z。
3．（2022高三上·靖远开学考）函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为，所以f（x）是奇函数，排除A，D，
当时，，，所以，排除C，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
4．（2022高三上·靖远开学考）设正项等比数列的前4项和为90，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设公比为，易得，
由题设知，即，
又，所以，，即，
解得或（舍去），进而，从而。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出等比数列第五项的值。
5．（2022高三上·靖远开学考）某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A，B，C，D，E五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（ ）
A．样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C．D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多
【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】设女生身高频率分布直方图中的组距为，
由，得，
所以女生身高频率分布直方图中A层次频率为20%，B层次频率为30%，C层次频率为25%，D层次频率为15%，E层次频率为10%，
因为男、女生样本数未知，所以A层次中男、女生人数不能比较，即A不符合题意；
同理，D层次女生在女生样本数中频率与E层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，
但因男、女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C不符合题意；
设女生人数为n，男生人数为，但因男、女生人数可能不相等，
则B层次的学生数为，
C层次的学生数为，因为n不确定，
所以与可能不相等，即D不符合题意；
女生A，B两个层次的频率之和为50%，
所以女生的样本身高中位数为B，C层次的分界点，
男生A，B两个层次的频率之和为35%，显然中位数落在C层次内，
所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B符合题意．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用扇形图中的数据结合频数等于频率乘以样本容量的公式，得出样本中A层次中男、女生人数不能比较；利用已知条件和扇形图中的数据，再结合频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大；利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用扇形图中的数据得出D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率不一定相等；再利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合扇形图中的数据和频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出样本中B层次的学生数和C层次的学生数不一样多，进而找出叙述正确的选项。
6．（2022高三上·靖远开学考）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为，所以是偶函数，
当时，是增函数，
又因为，所以可化为，
可得到，解得。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再结合增函数的定义，从而判断函数为增函数，再结合偶函数的定义和增函数的性质，进而求出不等式 的解集 。
7．（2022高三上·靖远开学考）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】多面体的直观图如图所示，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，
， 则直三棱柱体积为，
四棱锥体积为，所以多面体的体积为。
故答案为：D
【分析】利用三视图画出多面体的直观图，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，再利用三角形的面积公式得出的值， 再利用直三棱柱体积公式得出直三棱柱体积，再结合四棱锥的体积公式得出四棱锥体积，再结合求和法得出多面体的体积。
8．（2022高三上·靖远开学考）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】奇函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当k＝0时，ω取得最小值2。
故答案为：C
【分析】由题意结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再利用为奇函数结合奇函数的定义得出，再结合，从而得出ω的最小值。
9．（2022高三上·靖远开学考）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设，的中点为，连接，，过作交于，
因为平面，且，可知，
由于是中点，因此平面，故平面，
又平面，因此平面平面，且平面平面，
，平面，因此平面，
所以是直线与平面所成的角，因为，所以。
故答案为：B
【分析】设，的中点为，连接，，过作交于，利用平面，且，可知，由于是中点，因此再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直证出面面垂直，因此平面平面，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，因此平面，所以是直线与平面所成的角，再利用结合正弦函数的定义和勾股定理，进而得出直线与平面所成角的正弦值。
10．（2022高三上·靖远开学考）6名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种 B．144种 C．150种 D．210种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而得出不同的安排方法共有的种数。
11．（2022高三上·靖远开学考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，
设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以。
【分析】设，再利用双曲线的定义得出，再利用，所以，所以，再利用，再结合勾股定理得出，由得，进而得出，再利用结合勾股定理得出，再利用双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率。
12．（2022高三上·靖远开学考）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立.
令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立.
因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.
设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是。
故答案为：A
【分析】利用，不等式恒成立，进而转化为恒成立，
令，再利用求导的方法判断函数的单调性，则不等式恒成立等价于恒成立，再利用，，所以对任意的恒成立，恒成立，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数的取值范围。
二、填空题
13．（2022高三上·靖远开学考）设是等差数列，且，，则 .
【答案】81
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为，所以，又，所以公差，从而。
故答案为：81。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第三项的值，再利用等差数列的通项公式得出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式，进而得出等差数列第40项的值。
14．（2022高三上·靖远开学考）已知向量，满足，且，则 .
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，，则。
所以答案为：1。
【分析】利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
15．（2022高三上·靖远开学考）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，
所以，又，所以，
所以，则，
所以抛物线的标准方程为。
故答案为：。
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，再利用
，得出，再结合正切函数的定义得出和的值，再利用，得出，再结合三角形的面积公式和已知条件得出p的值，从而得出抛物线的标准方程。
16．（2022高三上·靖远开学考）“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由生成的康威圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为，，
所以康威圆的圆心在的平分线上，
同理可知康威圆的圆心在的平分线上，即康威圆的圆心为的内心．
因为，，，满足，
所以，
所以的内切圆的半径，
所以，康威圆的半径。
故答案为：。
【分析】利用，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理可知康威圆的圆心在的平分线上，再利用三角形内心的定义判断出康威圆的圆心为的内心．
再利用，，结合勾股定理得出，进而得出三角形的内切圆的半径，从而结合勾股定理得出康威圆的半径。
三、解答题
17．（2022高三上·靖远开学考）的内角的对边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长.
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得：
所以.
展开得，
整理得，即，
又，则，所以.
（2）解：由（1）知，解得，
因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，解得，，
所以的周长为.
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合辅助角公式得出 的值， 再利用三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出ac的值，再利用正弦定理和余弦定理得出a+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 的周长。
18．（2022高三上·靖远开学考）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？
（2）求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：学生甲恰好答对两题的概率
（2）解：随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
由（1）知，又，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解出学生甲恰好答对两题的概率；
(2)根据随机变量X的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解出分布列，进而计算出数学期望.
19．（2022高三上·靖远开学考）在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为，，，所以，
所以，.
又，所以平面，从而.
因为，，所以平面.
（2）解：因为平面，所以，，又，
所以.
因为，所以.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为，所以，.
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明出AB⊥PD，从而证明出 平面；
(2)证明出PB，PA，PD两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解出二面角的正弦值.
20．（2022高三上·靖远开学考）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）解：设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1，0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由椭圆的右顶点是M (2，0)，可求a，又椭圆的离心率为 ，可求出c，进而可求b，从而可求出椭圆C的标准方程 ；
(2) 设，，显然直线l的斜率存在，直线l的方程为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 ，，求出直线AD的方程，从而可求出直线AD的定点坐标.
21．（2022高三上·靖远开学考）已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）解：由题意知，的定义域为，
函数有两个零点即有两个根，
等价于方程有两个根.
设，即的图像与直线有两个交点.
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当趋近0时，趋近负无穷大，
当趋近正无穷大时，趋近0，
由图可知，的取值范围是.
（2）证明：由（1）知方程的两个根分别为，则.
令，，则，
设，，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且，故.
设，则，
因为，
所以在上单调递增，
所以，即，从而.
因为，所以，
又在上单调递减，所以，即，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)将 函数有两个零点 ，问题转化为方程有两个根，即 的图像与直线有两个交点，进而利用导数判断函数单调性，数形结合，求得参数 的取值范围；
(2) 由（1）知方程的两个根分别为，则 ，利用换元法，可得令 ，，可得 ， 构造函数 ，利用导数研究其单调性，继而再构造函数 利用其单调性证明出结论.
22．（2022高三上·靖远开学考）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．
【答案】（1）解：因为曲线C的参数方程为，（θ为参数），
所以曲线C的普通方程为．
由，得，即，
因为，，所以直线l的直角坐标方程为．
（2）解：因为直线l的斜率为-1，所以l的倾斜角为，
所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．
设点A，B对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，，
所以．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，可得曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)利用直线l的方程的斜率求出直线 的参数方程，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出 的值．
23．（2022高三上·靖远开学考）已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：由已知可得
，
当且仅当时，等号成立．
又a，b，c均为正数，所以．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，整理得，
所以，
当且仅当时，等号成立．
【知识点】平均值不等式
【解析】【分析】(1)利用基本不等式和 ， 求解即可得 ；
(2)利用基本不等式求证出 ．
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