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湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北开学考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·湖北开学考）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．25
3．（2022高三上·湖北开学考）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·湖北开学考）已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（ ）
A．1078 B．1068 C．566 D．556
6．（2022高三上·湖北开学考）我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺）
A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺
7．（2022高三上·湖北开学考）已知是自然对数的底数，若，则有（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·湖北开学考）一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·湖北开学考）下列说法正确的是（ ）
A．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位数为7
B．若，则
C．已知，若，则相互独立
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
10．（2022高三上·湖北开学考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在上有4个零点
D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
11．（2022高三上·湖北开学考）已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
12．（2022高三上·湖北开学考）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．若的导函数为，定义域为，则
C．的图象关于点中心对称
D．设数列为等差数列，若，则
三、填空题
13．（2022高三上·湖北开学考）在中，是边上的点，且，设，则 .
14．（2022高三上·湖北开学考）已知展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为 .
15．（2022高三上·湖北开学考）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是 .
16．（2022高三上·湖北开学考）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为 .
四、解答题
17．（2022高三上·湖北开学考）已知数列前项和为，且.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
18．（2022高三上·湖北开学考）如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点、是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
19．（2022高三上·湖北开学考）在中，内角满足.
（1）求证：；
（2）求最小值.
20．（2022高三上·湖北开学考）设某种植物幼苗从观察之日起，第天的高度为（cm），测得的一些数据如下表所示：
第天 1 4 9 16 25 36 49
高度（cm） 0 4 7 9 11 12 13
附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率的最小二乘估计为.
（1）根据以上数据判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程（给出判断即可，不需说明理由）？
（2）根据（1）的判断，建立关于的经验回归方程，估计第100天幼苗的高度（估计的高度精确到小数点后第二位）；
（3）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.
21．（2022高三上·湖北开学考）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
22．（2022高三上·湖北开学考）已知函数是自然对数的底数.
（1）当时，设的最小值为，求证：；
（2）求证：当时，.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，解得，即；
故答案为：D
【分析】依题意可得，解得即可.
2．【答案】C
【知识点】复数求模
【解析】【解答】因为复数，
所以.
故答案为：C
【分析】利用复数模的运算性质直接求解.
3．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，由，得或与相交.A不符合题意；
对于B，若，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线.所以B不符合题意；
对于C，若，由线面垂直的性质定理知，所以C符合题意；
对于D，若，则与可能相交，也可能平行.所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，对照四个选项一一判断.
4．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
5．【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】设公差为d ，公比为q，
由题，，则，，
联立可解得，，所以，，
∴的前10项和为，
故答案为：A
【分析】设公差为d ，公比为q，由，结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果.
6．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，
设棱台的高为，由可得，
解得，可得正四棱台体积为
，故答案为：B.
【分析】设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高，由棱台的体积公式可得结果.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
又因为，
所以，
即，
又因为，且递减，
所以，
故答案为：A
【分析】由条件变形为，令，利用导数法求解.
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则
②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则
③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则
故由全概率公式，，
同理，
故答案为：D
【分析】由题取值为0、1、2，对第一步取出球的情况分类讨论，分别求出对应第二步取出个白球的条件概率，最后用全概率公式即可求出第二步取出个白球的概率，最后求用公式求期望即可.
9．【答案】B,C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】对于A，，从小到大排序后第75百分位数为，故A错误；
对于B，对称轴，，故正确；
对于C，由，可得，即，
所以，故相互独立，正确；
对于D，根据，可判断与有关且犯错误的概率超过0.05，故错误.
故答案为：BC
【分析】对于A，结合百分位数的定义，即可得到结果；对于B，结合正态分布的对称性求解；对于C，利用对立与条件概率的公式即可；对于D，利用临界值即可做出判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为，所以A符合题意；
当时， ，函数在上先增后减，无单调性，B不正确；
令，得，故，因为，所以，C符合题意；
把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时． 取得最小值－2，D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】先对函数化简变形得，然后利用余弦函数的性质逐个分析判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，B符合题意；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】根据点在椭圆外，即可求出，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则的取值范围是，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为错；
由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；
，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，C对；
由选项知，当时，，
由等差数列性质，以此类推倒序相加，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】A.由导数的几何意义及是奇函数得到是偶函数判断；B.由的对称性， 为奇函数判断；C.由，结合为奇函数判断；D.由C得到时，，再结合等差数列性质判断.
13．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题，是边上的点，且，
，
∴
故答案为：
【分析】结合向量运算法则，，即可化简求得结果.
14．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令，得，解得，
所以的展开式的通项，
则展开式的第项为．
故答案为：
【分析】令，即可求出展开式系数和，从而求出，再写出展开式的通项，即可得解.
15．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为，过点的直线不过圆心，
所以该直线的斜率存在，设其方程为，即，
所以圆心到该直线的距离为，
因为，
所以，
故答案为：
【分析】设出直线方程，然后表示出圆心到该直线的距离，然后求出距离的范围，然后用距离表示出面积，即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】正中，为的中点，则，
而平面，平面，则，
而，、平面，则平面，
平面，所以，，
平面，平面，，
所以，的中点到点、、、的距离相等，
即三棱锥外接球球心为中点，
从而，点是三棱锥外接球球心，
设球的半径为，则，，
因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，
因为、分别为、的中点，则，故平面，如图，
则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，即有，解得，
所以，，所以球的体积为.
故答案为：.
【分析】分析可知三棱锥外接球球心为中点，求出到平面的距离为，可得出到平面距离的最大值为，利用锥体体积可得出，求出，可得出球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
数列为等差数列，且，
又时，，
，
（2）解：，
，
，
，
两式相减得，
，
，
，
.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）由，利用数列通项和前n项和的关系得到，再利用等差数列的定义求解；
（2）易得，再利用错位相减法求解.
18．【答案】（1）证明：由题意，且圆锥的轴截面为等边三角形，则，平面，
，
取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，则，故平面，且，
所以，为直线与平面所成角，即，
由，解得，，
则，，
在中，，所以，
平面，平面，则，
，、平面，平面，
平面，.
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，则，
因此，二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接、，利用线面角的定义可求得，利用勾股定理可证得，结合已知条件证明出平面 ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
19．【答案】（1）证明：因为，由正弦定理得，从而，
则，
所以，
即有.
（2）解：由（1），有，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为3.
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可证结论；
（2）利用，得出，结合基本不等式求得最小值.
20．【答案】（1）解：根据表中数据可得更适宜作为关于的经验回归方程
（2）解：令，则，根据已知数据表得到如下表：
1 4 9 16 25 36 49
1 2 3 4 5 6 7
0 4 7 9 11 12 13
故关于的经验回归方程
令；
（3）解：这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4
随机变量的期望值.
【知识点】最小二乘法；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据表中数据可得答案；
（2）根据公式算出答案即可；
（3）这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中 ，然后可算出答案.
21．【答案】（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）证明：（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线的标准方程为 ，代入点求解；
（2）（i）当直线斜率存在时，设， 与双曲线联立，根据，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.
22．【答案】（1）证明：当时，
由于，故存在，使得
由基本初等函数性质知，在递增，
所以当时，递减；当时，递增，
所以
设函数在恒成立，
故在递减，，所以.
（2）证明：方法一：
当时，由基本初等函数性质知，在递增，
令，，
则在上恒成立，
所以单调递减，
所以，
即，，
因为，所以，
故，
所以
所以存在使得，即：，
两边取自然对数得：
当时，递减；当时，递增
，
因为，故
方法二：，由于，所以，
故只需证，即，设，
在单调递增，且，故时单调递减；
时单调递增，所以
原不等式成立.
方法三：，注意到与
互为反函数，其图像关于对称，故只需证当时，，
令，，
，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
因为，所以，
两边同除以得：
因为单调递增，
所以，
所以当时，，证毕.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，利用零点存在性定理，确定存在使得导函数为0，利用导函数的单调性得到，构造，求导后得到单调性，得到；
（2）方法一：求导后对导函数变形，得到导函数的单调性，结合零点存在性定理得到存在使得，两边取对数后得到，利用隐零点得到，利用放缩法，基本不等式证明出结论；
方法二：对不等式变形，结合放缩法，只需证明，构造函数，得到其最小值故证明出结论；
方法三：注意到与互为反函数，其图像关于对称，只需证当 时，，构造 ，，求导得到其单调性，求出其最小值大于等于0，从而证明出结论.
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湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北开学考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，解得，即；
故答案为：D
【分析】依题意可得，解得即可.
2．（2022高三上·湖北开学考）已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．25
【答案】C
【知识点】复数求模
【解析】【解答】因为复数，
所以.
故答案为：C
【分析】利用复数模的运算性质直接求解.
3．（2022高三上·湖北开学考）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，由，得或与相交.A不符合题意；
对于B，若，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线.所以B不符合题意；
对于C，若，由线面垂直的性质定理知，所以C符合题意；
对于D，若，则与可能相交，也可能平行.所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，对照四个选项一一判断.
4．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
5．（2022高三上·湖北开学考）已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（ ）
A．1078 B．1068 C．566 D．556
【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】设公差为d ，公比为q，
由题，，则，，
联立可解得，，所以，，
∴的前10项和为，
故答案为：A
【分析】设公差为d ，公比为q，由，结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果.
6．（2022高三上·湖北开学考）我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺）
A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，
设棱台的高为，由可得，
解得，可得正四棱台体积为
，故答案为：B.
【分析】设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高，由棱台的体积公式可得结果.
7．（2022高三上·湖北开学考）已知是自然对数的底数，若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
又因为，
所以，
即，
又因为，且递减，
所以，
故答案为：A
【分析】由条件变形为，令，利用导数法求解.
8．（2022高三上·湖北开学考）一个袋子中装有形状大小完全相同的4个小球，其中2个黑球，2个白球.第一步：从袋子里随机取出2个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再从袋子里随机取出2个球，计第二步取出的2个球中白球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】①计第一步取出2个白球为事件A，即第二步袋子有4个黑球，则
②计第一步取出两球为1黑1白为事件，即第二步袋子有3个黑球1个白球，则
③计第一步取出两个黑球为事件C，即第二步袋子有2个黑球2个白球，则
故由全概率公式，，
同理，
故答案为：D
【分析】由题取值为0、1、2，对第一步取出球的情况分类讨论，分别求出对应第二步取出个白球的条件概率，最后用全概率公式即可求出第二步取出个白球的概率，最后求用公式求期望即可.
二、多选题
9．（2022高三上·湖北开学考）下列说法正确的是（ ）
A．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第75百分位数为7
B．若，则
C．已知，若，则相互独立
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
【答案】B,C
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】对于A，，从小到大排序后第75百分位数为，故A错误；
对于B，对称轴，，故正确；
对于C，由，可得，即，
所以，故相互独立，正确；
对于D，根据，可判断与有关且犯错误的概率超过0.05，故错误.
故答案为：BC
【分析】对于A，结合百分位数的定义，即可得到结果；对于B，结合正态分布的对称性求解；对于C，利用对立与条件概率的公式即可；对于D，利用临界值即可做出判断.
10．（2022高三上·湖北开学考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在上有4个零点
D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】因为，所以A符合题意；
当时， ，函数在上先增后减，无单调性，B不正确；
令，得，故，因为，所以，C符合题意；
把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时． 取得最小值－2，D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】先对函数化简变形得，然后利用余弦函数的性质逐个分析判断即可.
11．（2022高三上·湖北开学考）已知椭圆的左 右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，B符合题意；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】根据点在椭圆外，即可求出，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则的取值范围是，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.
12．（2022高三上·湖北开学考）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．若的导函数为，定义域为，则
C．的图象关于点中心对称
D．设数列为等差数列，若，则
【答案】B,C,D
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为错；
由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；
，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，C对；
由选项知，当时，，
由等差数列性质，以此类推倒序相加，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】A.由导数的几何意义及是奇函数得到是偶函数判断；B.由的对称性， 为奇函数判断；C.由，结合为奇函数判断；D.由C得到时，，再结合等差数列性质判断.
三、填空题
13．（2022高三上·湖北开学考）在中，是边上的点，且，设，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】由题，是边上的点，且，
，
∴
故答案为：
【分析】结合向量运算法则，，即可化简求得结果.
14．（2022高三上·湖北开学考）已知展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为 .
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令，得，解得，
所以的展开式的通项，
则展开式的第项为．
故答案为：
【分析】令，即可求出展开式系数和，从而求出，再写出展开式的通项，即可得解.
15．（2022高三上·湖北开学考）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】因为，过点的直线不过圆心，
所以该直线的斜率存在，设其方程为，即，
所以圆心到该直线的距离为，
因为，
所以，
故答案为：
【分析】设出直线方程，然后表示出圆心到该直线的距离，然后求出距离的范围，然后用距离表示出面积，即可得到答案.
16．（2022高三上·湖北开学考）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】正中，为的中点，则，
而平面，平面，则，
而，、平面，则平面，
平面，所以，，
平面，平面，，
所以，的中点到点、、、的距离相等，
即三棱锥外接球球心为中点，
从而，点是三棱锥外接球球心，
设球的半径为，则，，
因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接，
因为、分别为、的中点，则，故平面，如图，
则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，即有，解得，
所以，，所以球的体积为.
故答案为：.
【分析】分析可知三棱锥外接球球心为中点，求出到平面的距离为，可得出到平面距离的最大值为，利用锥体体积可得出，求出，可得出球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.
四、解答题
17．（2022高三上·湖北开学考）已知数列前项和为，且.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：，
，
，
，
数列为等差数列，且，
又时，，
，
（2）解：，
，
，
，
两式相减得，
，
，
，
.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）由，利用数列通项和前n项和的关系得到，再利用等差数列的定义求解；
（2）易得，再利用错位相减法求解.
18．（2022高三上·湖北开学考）如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点、是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：由题意，且圆锥的轴截面为等边三角形，则，平面，
，
取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，则，故平面，且，
所以，为直线与平面所成角，即，
由，解得，，
则，，
在中，，所以，
平面，平面，则，
，、平面，平面，
平面，.
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，则，
因此，二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接、，利用线面角的定义可求得，利用勾股定理可证得，结合已知条件证明出平面 ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
19．（2022高三上·湖北开学考）在中，内角满足.
（1）求证：；
（2）求最小值.
【答案】（1）证明：因为，由正弦定理得，从而，
则，
所以，
即有.
（2）解：由（1），有，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为3.
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可证结论；
（2）利用，得出，结合基本不等式求得最小值.
20．（2022高三上·湖北开学考）设某种植物幼苗从观察之日起，第天的高度为（cm），测得的一些数据如下表所示：
第天 1 4 9 16 25 36 49
高度（cm） 0 4 7 9 11 12 13
附：对于一组数据，其经验回归直线方程的斜率的最小二乘估计为.
（1）根据以上数据判断与哪一个更适宜作为关于的经验回归方程（给出判断即可，不需说明理由）？
（2）根据（1）的判断，建立关于的经验回归方程，估计第100天幼苗的高度（估计的高度精确到小数点后第二位）；
（3）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：根据表中数据可得更适宜作为关于的经验回归方程
（2）解：令，则，根据已知数据表得到如下表：
1 4 9 16 25 36 49
1 2 3 4 5 6 7
0 4 7 9 11 12 13
故关于的经验回归方程
令；
（3）解：这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4
随机变量的期望值.
【知识点】最小二乘法；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据表中数据可得答案；
（2）根据公式算出答案即可；
（3）这7天中幼苗高度大于的有4天，服从超几何分布，其中 ，然后可算出答案.
21．（2022高三上·湖北开学考）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.
【答案】（1）解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的标准方程为
代入点坐标，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）证明：（i）当直线斜率存在时，设，
设，联立与双曲线，
化简得，
，即，
则有，
又，
因为，
所以，
所以，
化简，得，即，
所以，
且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点
（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
与双曲线方程联立解得，此时也过点，
综上，直线过定点.
由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线的标准方程为 ，代入点求解；
（2）（i）当直线斜率存在时，设， 与双曲线联立，根据，结合韦达定理求解；（ii）当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，同上求解.
22．（2022高三上·湖北开学考）已知函数是自然对数的底数.
（1）当时，设的最小值为，求证：；
（2）求证：当时，.
【答案】（1）证明：当时，
由于，故存在，使得
由基本初等函数性质知，在递增，
所以当时，递减；当时，递增，
所以
设函数在恒成立，
故在递减，，所以.
（2）证明：方法一：
当时，由基本初等函数性质知，在递增，
令，，
则在上恒成立，
所以单调递减，
所以，
即，，
因为，所以，
故，
所以
所以存在使得，即：，
两边取自然对数得：
当时，递减；当时，递增
，
因为，故
方法二：，由于，所以，
故只需证，即，设，
在单调递增，且，故时单调递减；
时单调递增，所以
原不等式成立.
方法三：，注意到与
互为反函数，其图像关于对称，故只需证当时，，
令，，
，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
因为，所以，
两边同除以得：
因为单调递增，
所以，
所以当时，，证毕.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求导，利用零点存在性定理，确定存在使得导函数为0，利用导函数的单调性得到，构造，求导后得到单调性，得到；
（2）方法一：求导后对导函数变形，得到导函数的单调性，结合零点存在性定理得到存在使得，两边取对数后得到，利用隐零点得到，利用放缩法，基本不等式证明出结论；
方法二：对不等式变形，结合放缩法，只需证明，构造函数，得到其最小值故证明出结论；
方法三：注意到与互为反函数，其图像关于对称，只需证当 时，，构造 ，，求导得到其单调性，求出其最小值大于等于0，从而证明出结论.
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