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湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷
一、单选题
1．（2022·重庆模拟）已知集合 为全集 的子集，若 ，则 （ ）
A．A B． C．U D．
【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以有 ，则 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合集合之间的关系，即可得出，然后由补集和并集的定义即可得出答案。
2．（2022高三上·湖北开学考）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，由可知，即，故定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，A不正确；
对于B，由知定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数，由在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上单调递增，B符合题意；
对于C，由知，函数定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，因为，故在上不单调，C不正确；
对于D，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，D不正确；
故答案为：B.
【分析】由函数的定义域判断A，由函数奇偶性及反比例函数单调性判断B，由特殊值判断C，根据导数判断函数的单调性判断D.
3．（2022高三上·湖北开学考）已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ）
A．-405 B．405 C．-81 D．81
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令，可得所有项的系数之和为，
则，
由题意，即，
所以展开式中含项的系数为．
故答案为：A．
【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.
4．（2022高三上·湖北开学考）在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当，时，有，但是钝角三角形；
当是锐角三角形时，，且为锐角，则
故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】举反例说明充分性不成立即可，必要性由，且为锐角，则成立．
5．（2022高三上·湖北开学考）设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】因为命题“”是假命题，
所以，
又可化为，即，
当时，，
所以在上恒成立，
所以其中，
当时有最小值为1，此时有最大值为3，
所以，
故实数的取值范围是，
故答案为：D
【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.
6．（2022高三上·湖北开学考）一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
则，整理可得：，
，
，，
，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.
故答案为：A.
【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
7．（2022高三上·湖北开学考）甲 乙 丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（ ）
A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答
C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，A符合题意；
5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B不符合题意；
如果3人都正确解答了所有题，则C不符合题意；
如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】用反证法说明A正确，用反例说明BCD错误．
8．（2022高三上·湖北开学考）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】分析可知，，同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出.
二、多选题
9．（2022高三上·湖北开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质
【解析】【解答】由题意，.
对A，，成立，A符合题意；
对B，，不成立，B不符合题意；
对C，，成立，C符合题意；
对D，因为，故，当且仅当时取等号，但，故，成立，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据指数与对数的互化，求出，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.
10．（2022高三上·湖北开学考）已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，则下列结论正确的是（ ）
A．在上为减函数 B．在上
C．在上为增函数 D．关于对称
【答案】B,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性
【解析】【解答】因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
所以，
又，
所以，
所以函数的周期为4，其图象关于轴对称，
当时，，则函数在上递减，
根据对称性可得在单调递增，
再结合周期性可得在上为增函数，A不符合题意，
因为当时，，
在小于0，根据对称性可得在小于0，B符合题意；
的图象关于轴对称，所以，，
所以不可能在上为增函数，C不符合题意；
因为，，
所以
所以的图象关于轴对称，
因为的周期为，所以关于对称，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由已知可得的图象关于中心对称，且关于轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.
11．（2022高三上·湖北开学考）甲乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，故，而，且，
，C符合题意；
A：，正确；
B：，错误；
D：因为，
又，故，故随着的增大而增大.
故的最小值为，正确.
故答案为：ACD
【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，进而表达出，结合组合数的公式求解可得，再逐个选项判断即可.
12．（2022高三上·湖北开学考）关于函数，下列结论中正确的有（ ）
A．当时，的图象与轴相切
B．若在上有且只有一个零点，则满足条件的的值有3个
C．存在，使得存在三个极值点
D．当时，存在唯一极小值点，且
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A，，即，
由函数的图像可知方程有两个根：，，
，
即斜率为0的切线其切点不在x轴上，A不符合题意；
对于B，，令，
，单调递增，
单调递减，，
结合图像可知满足在上有且只有一个零点的的值
有3个：0，，，B符合题意；
对于C，，
，可知单调递减，
单调递增， 单调递减，
，
故时，有三个实数根，存在三个极值点，
C符合题意；
对于D，，由图像可知此方程有唯一实根，
因为，所以，，
，，
可知，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】运用导数研究函数的性质及其大致图像，将选项中的几个问题转化为函数问题，通过研究其图像与性质解决.
三、填空题
13．（2022高三上·湖北开学考）若函数为偶函数，则 .
【答案】1
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为函数为偶函数，且为奇函数，故为奇函数.
故，即，即，故.
故答案为：1
【分析】根据两函数相乘的奇偶性可得为奇函数，再根据奇函数满足化简求解即可.
14．（2022高三上·湖北开学考）将语文 数学 英语 物理 化学 生物六本书排成一排，其中语文 数学相邻，且物理 化学不相邻，则不同的排法共有种 .（用数字作答）
【答案】144
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有种；
再把其与英语书、生物书进行全排列，有种；
再用插空法安排物理书 化学书，有种；
所以一共有.
故答案为：144
【分析】先利用捆绑法安排语文书、数学书，再用插空法安排物理书 化学书即可求解.
15．（2022高三上·湖北开学考）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，解得，
当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可.
16．（2022高三上·湖北开学考）已知正数满足，则的最大值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设，则，
所以，当且仅当时取等号.
所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
【分析】设，则，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.
四、解答题
17．（2022高三上·湖北开学考）已知为等比数列，分别是下表第一 二 三行中的数，且中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且.
第一列 第二列 第三列
第一行 1 5 2
第二行 4 3 10
第三行 9 8 20
（1）求数列的通项公式；
（2）若，其中表示不超过的最大整数，如，求数列的前80项的和.
【答案】（1）解：由题意知
所以等比数列的公比.
设等差数列公差为，则
所以，所以.
（2）解：由（1）可得，当时，，当时，，当时，.
故
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）先根据题意可得 ，进而可得，再根据等差数列的基本量关系求解可得；
（2）先分别求出当时的值，从而确定中等于0，1，2的值，再求和即可.
18．（2022高三上·湖北开学考）如图①，在梯形中，为的中点，以为折痕把折起，连接，得到如图②的几何体.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：在图①中
因为为中点所以，
所以为平行四边形，所以，同理可证
在图②中，取中点，连接，
因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为平面平面，
所以平面平面且交线为，所以过点作，
则平面，因为，
所以四棱锥的体积，
所以，所以与重合，所以平面，
以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
平面法向量为，设平面法向量为，
因为，
所以，得，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用等边三角形三线合一证明出平面，进而得到；
（2）利用体积证明出平面 ，进而以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 ，表示出坐标进而求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（2022高三上·湖北开学考）在中，，点在边上，平分.
（1）若，求；
（2）若，且的面积为，求的长.
【答案】（1）解：由，得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
，故，
所以，
即，
所以
（2）解：由已知，设，所以，另设.
由，可得，
所以，
因为，所以，所以，
又，
又，所以，
所以，
所以.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，从而可得，再由，展开即可求解；
（2） 设，所以，另设，利用三角形的面积公式可得，从而解得，根据三角形的面积求出，再由余弦定理即可求解.
20．（2022高三上·湖北开学考）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 大学 大学 大学
当年毕业人数（千人） 3 4 5 6
自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．
（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，
，
所以
故得关于的线性回归方程为
（2）解：（ⅰ）将代入，
所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）
（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2
，
∴
，故的取值范围为
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）首先求，再根据参考公式求，，即可求得回归直线方程；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额；
（ⅱ）首先列出随机变量X的所有可能值为0，1，2 ，并求解对应的概率和数学期望，并求，即可求解.
21．（2022高三上·湖北开学考）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）解：由轴时，为等腰直角三角形，可得，
所以，即，故，结合，解得．
故双曲线C的离心率为2
（2）解：因为，所以双曲线C：，
由题知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立直线与双曲线的方程得，
化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线：，直线：，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，
即，
将①②③代入，可得，
即，解得或，
故以为直径的圆过定点，．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意得，即，化简即可；
（2）双曲线C：，设直线 ：，，，联立得，结合韦达定理， 设直线：，直线：，，设是以为直径的圆上的任意一点，则，再代入韦达定理化简求值即可.
22．（2022高三上·湖北开学考）已知函数.
（1）判断函数的零点个数；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，即，
显然当时，没有零点，
则，令，
由得；由，得
在上是减函数，在上是增函数，
则当时，，又；
故当或，即当时，没有零点；
当或，即当或时，有一个零点；
当，即当时，有2个零点.
（2）解：由题知，
，.
令
由得；由得
时，.
对恒成立，记
在为增函数，
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点
【解析】【分析】（1） ，即， 当时没有零点，则 ，令，再求导分析函数的单调性与最值，进而数形结合分析零点个数即可；
（2）将原不等式转化为恒成立，再令，转化为 对恒成立 ，再构造函数，求导分析单调性与最值即可.
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湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷
一、单选题
1．（2022·重庆模拟）已知集合 为全集 的子集，若 ，则 （ ）
A．A B． C．U D．
2．（2022高三上·湖北开学考）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·湖北开学考）已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（ ）
A．-405 B．405 C．-81 D．81
4．（2022高三上·湖北开学考）在中，“”是“是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高三上·湖北开学考）设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·湖北开学考）一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
7．（2022高三上·湖北开学考）甲 乙 丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（ ）
A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答
C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答
8．（2022高三上·湖北开学考）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·湖北开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·湖北开学考）已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，则下列结论正确的是（ ）
A．在上为减函数 B．在上
C．在上为增函数 D．关于对称
11．（2022高三上·湖北开学考）甲乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
12．（2022高三上·湖北开学考）关于函数，下列结论中正确的有（ ）
A．当时，的图象与轴相切
B．若在上有且只有一个零点，则满足条件的的值有3个
C．存在，使得存在三个极值点
D．当时，存在唯一极小值点，且
三、填空题
13．（2022高三上·湖北开学考）若函数为偶函数，则 .
14．（2022高三上·湖北开学考）将语文 数学 英语 物理 化学 生物六本书排成一排，其中语文 数学相邻，且物理 化学不相邻，则不同的排法共有种 .（用数字作答）
15．（2022高三上·湖北开学考）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 .
16．（2022高三上·湖北开学考）已知正数满足，则的最大值是 .
四、解答题
17．（2022高三上·湖北开学考）已知为等比数列，分别是下表第一 二 三行中的数，且中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且.
第一列 第二列 第三列
第一行 1 5 2
第二行 4 3 10
第三行 9 8 20
（1）求数列的通项公式；
（2）若，其中表示不超过的最大整数，如，求数列的前80项的和.
18．（2022高三上·湖北开学考）如图①，在梯形中，为的中点，以为折痕把折起，连接，得到如图②的几何体.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（2022高三上·湖北开学考）在中，，点在边上，平分.
（1）若，求；
（2）若，且的面积为，求的长.
20．（2022高三上·湖北开学考）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 大学 大学 大学
当年毕业人数（千人） 3 4 5 6
自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．
（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．
21．（2022高三上·湖北开学考）设，为双曲线：的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线C的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（2022高三上·湖北开学考）已知函数.
（1）判断函数的零点个数；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，所以有 ，则 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合集合之间的关系，即可得出，然后由补集和并集的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，由可知，即，故定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，A不正确；
对于B，由知定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数，由在上单调递减，所以在上单调递增，所以在上单调递增，B符合题意；
对于C，由知，函数定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，因为，故在上不单调，C不正确；
对于D，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，D不正确；
故答案为：B.
【分析】由函数的定义域判断A，由函数奇偶性及反比例函数单调性判断B，由特殊值判断C，根据导数判断函数的单调性判断D.
3．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令，可得所有项的系数之和为，
则，
由题意，即，
所以展开式中含项的系数为．
故答案为：A．
【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当，时，有，但是钝角三角形；
当是锐角三角形时，，且为锐角，则
故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】举反例说明充分性不成立即可，必要性由，且为锐角，则成立．
5．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】因为命题“”是假命题，
所以，
又可化为，即，
当时，，
所以在上恒成立，
所以其中，
当时有最小值为1，此时有最大值为3，
所以，
故实数的取值范围是，
故答案为：D
【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，
则，整理可得：，
，
，，
，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.
故答案为：A.
【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
7．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，A符合题意；
5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B不符合题意；
如果3人都正确解答了所有题，则C不符合题意；
如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】用反证法说明A正确，用反例说明BCD错误．
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】分析可知，，同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出.
9．【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质
【解析】【解答】由题意，.
对A，，成立，A符合题意；
对B，，不成立，B不符合题意；
对C，，成立，C符合题意；
对D，因为，故，当且仅当时取等号，但，故，成立，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据指数与对数的互化，求出，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性
【解析】【解答】因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
所以，
又，
所以，
所以函数的周期为4，其图象关于轴对称，
当时，，则函数在上递减，
根据对称性可得在单调递增，
再结合周期性可得在上为增函数，A不符合题意，
因为当时，，
在小于0，根据对称性可得在小于0，B符合题意；
的图象关于轴对称，所以，，
所以不可能在上为增函数，C不符合题意；
因为，，
所以
所以的图象关于轴对称，
因为的周期为，所以关于对称，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】由已知可得的图象关于中心对称，且关于轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.
11．【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，故，而，且，
，C符合题意；
A：，正确；
B：，错误；
D：因为，
又，故，故随着的增大而增大.
故的最小值为，正确.
故答案为：ACD
【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，进而表达出，结合组合数的公式求解可得，再逐个选项判断即可.
12．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A，，即，
由函数的图像可知方程有两个根：，，
，
即斜率为0的切线其切点不在x轴上，A不符合题意；
对于B，，令，
，单调递增，
单调递减，，
结合图像可知满足在上有且只有一个零点的的值
有3个：0，，，B符合题意；
对于C，，
，可知单调递减，
单调递增， 单调递减，
，
故时，有三个实数根，存在三个极值点，
C符合题意；
对于D，，由图像可知此方程有唯一实根，
因为，所以，，
，，
可知，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】运用导数研究函数的性质及其大致图像，将选项中的几个问题转化为函数问题，通过研究其图像与性质解决.
13．【答案】1
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】因为函数为偶函数，且为奇函数，故为奇函数.
故，即，即，故.
故答案为：1
【分析】根据两函数相乘的奇偶性可得为奇函数，再根据奇函数满足化简求解即可.
14．【答案】144
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有种；
再把其与英语书、生物书进行全排列，有种；
再用插空法安排物理书 化学书，有种；
所以一共有.
故答案为：144
【分析】先利用捆绑法安排语文书、数学书，再用插空法安排物理书 化学书即可求解.
15．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】令，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，解得，
当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可.
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】设，则，
所以，当且仅当时取等号.
所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
【分析】设，则，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.
17．【答案】（1）解：由题意知
所以等比数列的公比.
设等差数列公差为，则
所以，所以.
（2）解：由（1）可得，当时，，当时，，当时，.
故
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）先根据题意可得 ，进而可得，再根据等差数列的基本量关系求解可得；
（2）先分别求出当时的值，从而确定中等于0，1，2的值，再求和即可.
18．【答案】（1）证明：在图①中
因为为中点所以，
所以为平行四边形，所以，同理可证
在图②中，取中点，连接，
因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为平面平面，
所以平面平面且交线为，所以过点作，
则平面，因为，
所以四棱锥的体积，
所以，所以与重合，所以平面，
以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
平面法向量为，设平面法向量为，
因为，
所以，得，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用等边三角形三线合一证明出平面，进而得到；
（2）利用体积证明出平面 ，进而以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 ，表示出坐标进而求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．【答案】（1）解：由，得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
，故，
所以，
即，
所以
（2）解：由已知，设，所以，另设.
由，可得，
所以，
因为，所以，所以，
又，
又，所以，
所以，
所以.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，从而可得，再由，展开即可求解；
（2） 设，所以，另设，利用三角形的面积公式可得，从而解得，根据三角形的面积求出，再由余弦定理即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意得，
，
所以
故得关于的线性回归方程为
（2）解：（ⅰ）将代入，
所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）
（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2
，
∴
，故的取值范围为
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）首先求，再根据参考公式求，，即可求得回归直线方程；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额；
（ⅱ）首先列出随机变量X的所有可能值为0，1，2 ，并求解对应的概率和数学期望，并求，即可求解.
21．【答案】（1）解：由轴时，为等腰直角三角形，可得，
所以，即，故，结合，解得．
故双曲线C的离心率为2
（2）解：因为，所以双曲线C：，
由题知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立直线与双曲线的方程得，
化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线：，直线：，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，
即，
将①②③代入，可得，
即，解得或，
故以为直径的圆过定点，．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意得，即，化简即可；
（2）双曲线C：，设直线 ：，，，联立得，结合韦达定理， 设直线：，直线：，，设是以为直径的圆上的任意一点，则，再代入韦达定理化简求值即可.
22．【答案】（1）解：，即，
显然当时，没有零点，
则，令，
由得；由，得
在上是减函数，在上是增函数，
则当时，，又；
故当或，即当时，没有零点；
当或，即当或时，有一个零点；
当，即当时，有2个零点.
（2）解：由题知，
，.
令
由得；由得
时，.
对恒成立，记
在为增函数，
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点
【解析】【分析】（1） ，即， 当时没有零点，则 ，令，再求导分析函数的单调性与最值，进而数形结合分析零点个数即可；
（2）将原不等式转化为恒成立，再令，转化为 对恒成立 ，再构造函数，求导分析单调性与最值即可.
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