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江苏省镇江市2022-2023学年高三上学期数学期初试卷
一、单选题
1．（2022高三上·镇江开学考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·镇江开学考）命题“对于任意事件，”的否定是（ ）
A．对于任意事件， B．对于任意事件，
C．存在事件， D．存在事件，
3．（2022高三上·镇江开学考）已知，为正整数，且，则在下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022高三上·镇江开学考）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格 0.5 1 1.2 1.5
则表中的值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．（2022高三上·镇江开学考）日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）约为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（ ）
A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍
6．（2022高三上·镇江开学考）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
7．（2022高三上·镇江开学考）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2022高三上·镇江开学考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（ ）
A．-12 B．-2 C．2 D．12
二、多选题
9．（2022高三上·镇江开学考）已知空间向量，，则下列选项正确的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2022高三上·镇江开学考）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点 B．没有零点
C．直线是曲线的切线 D．曲线关于直线对称
11．（2022高三上·镇江开学考）已知函数的定义域为．（ ）
A． B．
C． D．被8整除余数为7
12．（2022高三上·镇江开学考）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ）
A．从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B．从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C．从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D．从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
三、填空题
13．（2022高三上·镇江开学考）数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为，60百分位数为，则 ．
14．（2022高三上·镇江开学考）已知为自然对数底数，函数的值域为，请给出函数的一个定义域 ．
15．（2022高三上·镇江开学考）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数 ．
16．（2022高三上·镇江开学考）已知函数的导函数为，关于的不等式的解集为，则 ；且的最小值为 ．
四、解答题
17．（2022高三上·镇江开学考）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的，求正实数的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
18．（2022高三上·镇江开学考）已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
（1）求展开式中的一次项；
（2）求展开式中系数最大的项．
19．（2022高三上·镇江开学考）2022年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入（单位：百万元）与收益（单位：百万元）之间的五组数据如下表：
1 2 3 4 5
10 11 14 25 20
参考公式：①；②，其中．
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据：.
（1）请判断收益与总投入的线性相关程度，求相关系数的大小（精确到0.01）；
（2）该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表：
满意 不满意 总计
男 54 18
女 36
总计 90 60 150
问：消费者满意程度是否与性别有关？
20．（2022高三上·镇江开学考）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
（1）求二面角的大小；
（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
21．（2019高二下·阜平月考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望.
22．（2022高三上·镇江开学考）已知函数（为常数，）．
（1）求函数的零点个数；
（2）已知实数、、为函数的三个不同零点．
①如果，，求证；
②如果，且、、成等差数列，请求出、、的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】集合A中，元素是，即求函数的值域，易知；
集合B中，元素是，即求函数的定义域，所以>0，所以<2，
，.
故答案为：A
【分析】要注意集合A与B中的元素是什么，根据集合运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在事件，.
故答案为：D.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求命题的否定.
3．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：对于①，故①正确；
对于②因为，所以，故②正确；
对于③因为，故③错误；
对于④，故④正确；
故答案为：C
【分析】根据组合数的性质及排列数公式计算可得.
4．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】，，
回归直线必过样本点中心，
代入回归方程，解得：.
故答案为：D
【分析】根据回归直线必过样本点中心，代入即可求解.
5．【答案】A
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由题意可知，净化所需费用的瞬时变化率为，
，，
，
即净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的16倍，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出的值即得解.
6．【答案】A
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，A错误，符合题意；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，B正确，不符合题意；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，C正确，不符合题意；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误；根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确．
7．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，且
所以
所以，即线段的长度是.
故答案为：D.
【分析】根据向量运算法则表示，平方化简计算得解.
8．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【解答】为奇函数，即其图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
为偶函数，即其图象关于轴对称，因此的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，，由此解得，，
所以时，，
由对称性得，
所以，是周期函数，周期为4，
，
，
故答案为：B．
【分析】由已知对称性得函数的图象关于点对称，关于直线对称，由此可得周期函数，周期为4，然后利用周期性和对称性结合对数运算法则求值．
9．【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】向量，
对于A. 若，则，所以，故此选项错误；
对于B. 若，，则，故此选项正确；
对于C. 若，则，则，故此选项正确；
对于D. 若，则，所以，故此选项正确；
故答案为：BCD
【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，由，解得，即函数的定义域为，
所以，
令，解得，
故当时，，在时，，
故函数在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，A符合题意；
又，，
即在中存在一个零点，B不符合题意，
令切点为，则，即，解得或（舍去），
此时，
故不是曲线的切线，即C不符合题意；
函数，所以函数的图象关于对称，D符合题意；
故答案为：AD．
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，即可判断A、B，再设切点为，利用导数的几何意义退出矛盾即可判断C，最后根据即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】A.当时，，①A不符合题意；
B.当时，，②，
①②，解得：，B符合题意；
C.，令得，C符合题意；
D.，所以被8整除余数为1，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用赋值或，判断AB；对函数两边求导，再赋值，判断C；展开后可判断余数，判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】A.在第一次取到白球的条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，A符合题意；
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，B不符合题意；
C.设红球个数为，，则数学期望，C符合题意；
D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项.
13．【答案】10
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】中位数，
因为，所以60百分位数，所以.
故答案为：10.
【分析】由中位数和60百分位数的求法计算即可.
14．【答案】[0，ln3]答案不唯一
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】令，则，其图像如图所示，
因为，
由解得，所以在是增函数，
由解得，所以在是减函数，
所以当时，取得最小值，
令，整理得，解得或，
所以函数的值域为时，
可取，
代入，并解得，即，
故答案为：[0，ln3] 答案不唯一.
【分析】换元，令，得，先研究函数的值域为，对应的的取值范围，然后代入，得到答案.
15．【答案】
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.
故答案为：.
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得，，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
16．【答案】0；
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为关于的不等式的解集为，则，
由韦达定理可得，可得，，可得，
，则，
所以，，
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：0；.
【分析】利用二次不等式的解集与方程之间的关系可得出，，求出，代值计算可得，利用基本不等式可求得的最小值.
17．【答案】（1）解：
因，则．
当时，，所以．
（2）解：选①因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集．
所以．经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件
所以是的真子集．
所以，经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；
（2）若选①，则是 的真子集．若选②，则是 是的真子集，根据集合的包含关系，列不等式，即可求解的取值范围.
18．【答案】（1）解：因为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则，．
设，
令，得，所以展开式中的一次项为.
（2）解：令，当时，
令，可得：，
即，
或．
所以系数最大的项为：，．
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】(1)由第5项二项式系数最大，可求得，再根据二项式的展开公式求一次项即可；
(2)令，根据可得或 ，代入二项式的展开式中，即可求得答案.
19．【答案】（1）解：由表格中的数据得，．
所以
．
所以收益与总投入的线性相关程度较强，且相关系数约为0.84．
（2）解：列联表为
满意 不满意 总计
男 54 18 72
女 36 42 78
总计 90 60 150
零假设消费者满意程度与性别无关，
．
所以消费者满意程度与性别无关的概率小于0.001．
所以有99.9%的把握认为消费者满意程度与性别有关．
【知识点】独立性检验；相关系数
【解析】【分析】（1）计算出 ， ，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得的值，即可得出结论；
（2）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
20．【答案】（1）解：因为面，面，所以，．
，，平面，
所以平面，而平面，所以
分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量．
因为，，．
所以，取，得．所以．
因为，，，，
所以，取得，，所以．
因，
设二面角的大小为，为钝角，则，而，所以．
（2）解：假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，
因为，所以，解得．
．
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明 ，，， 分别以，，为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；
（2） 假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，由，求出即可得解．
21．【答案】（1）解： ，即可知 的概率分布及其期望.
试题
（2）解：顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为 ，∴ ，
于是 ， ， ，
，故X的分布列为
0 1 2 3
X的数学期望为
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据二项分布的特点，求出相应的概率即可；
（2）根据n次独立重复试验的概率公式，求出随机变量的可能取值和相应的概率，列出分布列，即可求出数学期望.
22．【答案】（1）解：由可得，令，
则函数的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，
，由可得或，列表如下：
0
0 0
增 极大值0 减 极小值 增
如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当或时，直线与函数的图象有两个公共点；
当时，直线与函数的图象有三个公共点.
综上所述，当或时，有1个零点；
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点．
（2）证明：①由（1）可知，当，时，不妨设，则，
由可得，可得，
因为，则，
所以，，，则，
由基本不等式可得，所以，.
综上所述，；
②因为、、是函数的三个不同的零点，
所以，，
因为、、成等差数列，所以，
所以，，解得.
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】（1） 由可得，令， 利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出在不同取值下，函数的零点个数；
（2）①设 ，则， 由已知可得，化简可得出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可证得结论成立；
②分析可得，结合题意可得出关于 、、 的方程组，即可得解.
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江苏省镇江市2022-2023学年高三上学期数学期初试卷
一、单选题
1．（2022高三上·镇江开学考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】集合A中，元素是，即求函数的值域，易知；
集合B中，元素是，即求函数的定义域，所以>0，所以<2，
，.
故答案为：A
【分析】要注意集合A与B中的元素是什么，根据集合运算求解即可.
2．（2022高三上·镇江开学考）命题“对于任意事件，”的否定是（ ）
A．对于任意事件， B．对于任意事件，
C．存在事件， D．存在事件，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在事件，.
故答案为：D.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求命题的否定.
3．（2022高三上·镇江开学考）已知，为正整数，且，则在下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：对于①，故①正确；
对于②因为，所以，故②正确；
对于③因为，故③错误；
对于④，故④正确；
故答案为：C
【分析】根据组合数的性质及排列数公式计算可得.
4．（2022高三上·镇江开学考）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为，
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格 0.5 1 1.2 1.5
则表中的值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】，，
回归直线必过样本点中心，
代入回归方程，解得：.
故答案为：D
【分析】根据回归直线必过样本点中心，代入即可求解.
5．（2022高三上·镇江开学考）日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）约为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（ ）
A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍
【答案】A
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由题意可知，净化所需费用的瞬时变化率为，
，，
，
即净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的16倍，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出的值即得解.
6．（2022高三上·镇江开学考）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】A
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，A错误，符合题意；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，B正确，不符合题意；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，C正确，不符合题意；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误；根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确．
7．（2022高三上·镇江开学考）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为，且
所以
所以，即线段的长度是.
故答案为：D.
【分析】根据向量运算法则表示，平方化简计算得解.
8．（2022高三上·镇江开学考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则的值是（ ）
A．-12 B．-2 C．2 D．12
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【解答】为奇函数，即其图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
为偶函数，即其图象关于轴对称，因此的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，，由此解得，，
所以时，，
由对称性得，
所以，是周期函数，周期为4，
，
，
故答案为：B．
【分析】由已知对称性得函数的图象关于点对称，关于直线对称，由此可得周期函数，周期为4，然后利用周期性和对称性结合对数运算法则求值．
二、多选题
9．（2022高三上·镇江开学考）已知空间向量，，则下列选项正确的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】向量，
对于A. 若，则，所以，故此选项错误；
对于B. 若，，则，故此选项正确；
对于C. 若，则，则，故此选项正确；
对于D. 若，则，所以，故此选项正确；
故答案为：BCD
【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.
10．（2022高三上·镇江开学考）已知函数，则（ ）
A．有一个极值点 B．没有零点
C．直线是曲线的切线 D．曲线关于直线对称
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，由，解得，即函数的定义域为，
所以，
令，解得，
故当时，，在时，，
故函数在上单调递增，上单调递减，所以在处取得极大值，A符合题意；
又，，
即在中存在一个零点，B不符合题意，
令切点为，则，即，解得或（舍去），
此时，
故不是曲线的切线，即C不符合题意；
函数，所以函数的图象关于对称，D符合题意；
故答案为：AD．
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，即可判断A、B，再设切点为，利用导数的几何意义退出矛盾即可判断C，最后根据即可判断D.
11．（2022高三上·镇江开学考）已知函数的定义域为．（ ）
A． B．
C． D．被8整除余数为7
【答案】B,C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】A.当时，，①A不符合题意；
B.当时，，②，
①②，解得：，B符合题意；
C.，令得，C符合题意；
D.，所以被8整除余数为1，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用赋值或，判断AB；对函数两边求导，再赋值，判断C；展开后可判断余数，判断D.
12．（2022高三上·镇江开学考）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ）
A．从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B．从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C．从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D．从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】A.在第一次取到白球的条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，A符合题意；
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，B不符合题意；
C.设红球个数为，，则数学期望，C符合题意；
D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项.
三、填空题
13．（2022高三上·镇江开学考）数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为，60百分位数为，则 ．
【答案】10
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】中位数，
因为，所以60百分位数，所以.
故答案为：10.
【分析】由中位数和60百分位数的求法计算即可.
14．（2022高三上·镇江开学考）已知为自然对数底数，函数的值域为，请给出函数的一个定义域 ．
【答案】[0，ln3]答案不唯一
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】令，则，其图像如图所示，
因为，
由解得，所以在是增函数，
由解得，所以在是减函数，
所以当时，取得最小值，
令，整理得，解得或，
所以函数的值域为时，
可取，
代入，并解得，即，
故答案为：[0，ln3] 答案不唯一.
【分析】换元，令，得，先研究函数的值域为，对应的的取值范围，然后代入，得到答案.
15．（2022高三上·镇江开学考）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数 ．
【答案】
【知识点】共线向量与共面向量
【解析】【解答】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.
故答案为：.
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得，，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
16．（2022高三上·镇江开学考）已知函数的导函数为，关于的不等式的解集为，则 ；且的最小值为 ．
【答案】0；
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为关于的不等式的解集为，则，
由韦达定理可得，可得，，可得，
，则，
所以，，
，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：0；.
【分析】利用二次不等式的解集与方程之间的关系可得出，，求出，代值计算可得，利用基本不等式可求得的最小值.
四、解答题
17．（2022高三上·镇江开学考）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的，求正实数的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
【答案】（1）解：
因，则．
当时，，所以．
（2）解：选①因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集．
所以．经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件
所以是的真子集．
所以，经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；
（2）若选①，则是 的真子集．若选②，则是 是的真子集，根据集合的包含关系，列不等式，即可求解的取值范围.
18．（2022高三上·镇江开学考）已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
（1）求展开式中的一次项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）解：因为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则，．
设，
令，得，所以展开式中的一次项为.
（2）解：令，当时，
令，可得：，
即，
或．
所以系数最大的项为：，．
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】(1)由第5项二项式系数最大，可求得，再根据二项式的展开公式求一次项即可；
(2)令，根据可得或 ，代入二项式的展开式中，即可求得答案.
19．（2022高三上·镇江开学考）2022年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入（单位：百万元）与收益（单位：百万元）之间的五组数据如下表：
1 2 3 4 5
10 11 14 25 20
参考公式：①；②，其中．
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据：.
（1）请判断收益与总投入的线性相关程度，求相关系数的大小（精确到0.01）；
（2）该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表：
满意 不满意 总计
男 54 18
女 36
总计 90 60 150
问：消费者满意程度是否与性别有关？
【答案】（1）解：由表格中的数据得，．
所以
．
所以收益与总投入的线性相关程度较强，且相关系数约为0.84．
（2）解：列联表为
满意 不满意 总计
男 54 18 72
女 36 42 78
总计 90 60 150
零假设消费者满意程度与性别无关，
．
所以消费者满意程度与性别无关的概率小于0.001．
所以有99.9%的把握认为消费者满意程度与性别有关．
【知识点】独立性检验；相关系数
【解析】【分析】（1）计算出 ， ，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得的值，即可得出结论；
（2）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
20．（2022高三上·镇江开学考）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
（1）求二面角的大小；
（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为面，面，所以，．
，，平面，
所以平面，而平面，所以
分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量．
因为，，．
所以，取，得．所以．
因为，，，，
所以，取得，，所以．
因，
设二面角的大小为，为钝角，则，而，所以．
（2）解：假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，
因为，所以，解得．
．
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）证明 ，，， 分别以，，为，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；
（2） 假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，由，求出即可得解．
21．（2019高二下·阜平月考）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）解： ，即可知 的概率分布及其期望.
试题
（2）解：顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为 ，∴ ，
于是 ， ， ，
，故X的分布列为
0 1 2 3
X的数学期望为
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据二项分布的特点，求出相应的概率即可；
（2）根据n次独立重复试验的概率公式，求出随机变量的可能取值和相应的概率，列出分布列，即可求出数学期望.
22．（2022高三上·镇江开学考）已知函数（为常数，）．
（1）求函数的零点个数；
（2）已知实数、、为函数的三个不同零点．
①如果，，求证；
②如果，且、、成等差数列，请求出、、的值．
【答案】（1）解：由可得，令，
则函数的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，
，由可得或，列表如下：
0
0 0
增 极大值0 减 极小值 增
如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当或时，直线与函数的图象有两个公共点；
当时，直线与函数的图象有三个公共点.
综上所述，当或时，有1个零点；
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点．
（2）证明：①由（1）可知，当，时，不妨设，则，
由可得，可得，
因为，则，
所以，，，则，
由基本不等式可得，所以，.
综上所述，；
②因为、、是函数的三个不同的零点，
所以，，
因为、、成等差数列，所以，
所以，，解得.
【知识点】函数的零点
【解析】【分析】（1） 由可得，令， 利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出在不同取值下，函数的零点个数；
（2）①设 ，则， 由已知可得，化简可得出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可证得结论成立；
②分析可得，结合题意可得出关于 、、 的方程组，即可得解.
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