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内蒙古包头市2022-2023学年高三上学期理数开学调研考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·包头开学考）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：B.
【分析】先用复数的四则运算求出复数，再写出其共轭复数即可.
2．（2022高三上·包头开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】先用列举法把集B合表示出来，再求集合A与B的并集.
3．（2022高三上·包头开学考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】定义域为，
又，故为奇函数，排除CD；
又，，显然，A不符合题意，B符合题意.
故答案为：B
【分析】判断函数为奇函数，排除CD；根据特殊值的大小，排除A选项.
4．（2022高三上·包头开学考）已知向量满足，它们的夹角为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意，向量满足，它们的夹角为，
则.
故答案为：C.
【分析】根据向量的数量积的坐标公式，准确运算，即可求解.
5．（2022高三上·包头开学考）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.5
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题，选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.
故答案为：C
【分析】选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为，则所求概率为.
6．（2022高三上·包头开学考）双曲线的一条近线方程为，则其离心率为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵渐近线方程为，即，故.
故答案为：A
【分析】由渐近线方程得，再由计算即可.
7．（2022高三上·包头开学考）在中，，则（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】，，
而，，在中，由余弦定理得：
，代入数据得：，
解得：或（舍）
故答案为：B.
【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.
8．（2022高三上·包头开学考）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】当输入的时，
S=0，K=1，K6；
S=1，，K=2，K6；
S=，，K=3，K6；
S=2，，K=4，K6；
S=，，K=5，K6；
S=3，，K=6，K6；
S=，，K=7，K6，输出S=.
故答案为：D
【分析】模拟执行程序，依次计算可得.
9．（2022高三上·包头开学考）在正方体中，E、F分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示，取的中点，连接，
在正方体中，因为是的中点，可得，
所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设，
设正方体的棱长为2，可得，
由平面，且平面A1B1C1D1，可得，
所以，
在直角中，可得.
故答案为：A.
【分析】取的中点，连接，根据，得到异面直线与所成的角，即为与所成的角，直角中，即可求解.
10．（2022高三上·包头开学考）若在是增函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【知识点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】，
根据函数图象和性质，在上单调递增，
在上单调递减.
而，所以a的最大值为.
故答案为：A.
【分析】根据函数性质，可得的单调区间，是单增区间的子集.
11．（2022高三上·包头开学考）已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的离心率为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆定义得到，由，则，所以，结合得到，求出离心率.
12．（2022高三上·包头开学考）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A．13 B．0 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，
又，所以，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
又，所以，，
，
所以，
所以
.
故答案为：D
【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以4为周期的周期函数，再求出的值，即可得解.
二、填空题
13．（2022高三上·包头开学考）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】y=(1+e)x-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，曲线在点处的切线斜率，
所求切线方程为：，即y=(1+e)x-1.
故答案为：y=(1+e)x-1.
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.
14．（2022高三上·包头开学考）若满足约束条件，则的最小值为 ．
【答案】-2
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数，可化为直线，
结合图形，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，目标函数取得最小值，
由，解得，所以目标函数的最小值为.
故答案为：-2.
【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.
15．（2022高三上·包头开学考）已知，且是第一象限角，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，解得，
又，解得或，
因为是第一象限角，所以；
故答案为：
【分析】利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
16．（2022高三上·包头开学考）已知圆锥的顶点为P，母线的夹角为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由题，，则为正三角形，，∴母线，
又与圆锥底面所成角为，∴底面半径，
∴圆锥的侧面积为.
故答案为：
【分析】由题得，为正三角形，由的面积求得PA，再由与圆锥底面所成角求得底面半径，即可根据公式求得侧面积.
三、解答题
17．（2022高三上·包头开学考）记为等差数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最大值．
【答案】（1）解：设数列的公差为，由得，
即，由，得．
所以的通项公式为．
（2）解：由（1）得．
因为，
所以当或时，取得最大值，最大值为21．
【知识点】等差数列的通项公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可求出公差，从而利用等差数列的通项公式即可求出答案；
（2）根据等差数列的前项和公式和二次函数的性质，即可直接求出答案.
18．（2022高三上·包头开学考）根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；
（2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
甲
乙
（3）根据（2）中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？
附：
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
【答案】（1）解：乙运动员的成绩更好，理由如下：
（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定．
以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．
（2）解：由茎叶图可知，列联表如下：
超过m 不超过m
甲 5 7
乙 7 5
（3）解：由于，
所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．
【知识点】茎叶图；独立性检验
【解析】【分析】（1）根据茎叶图分析数据的分布情况判断即可；
（2）根据中位数的定义求解，再完善表格即可；
（3）计算卡方并对比表格中的数据判断即可.
19．（2022高三上·包头开学考）如图，在三棱锥中，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若E是棱上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为，又D为的中点，
所以，且，
连接，所以为等腰直角三角形，
且，
，由，可知，
由，平面，可知平面．
（2）解：解法1：因为，所以，
当的面积最小时，取最小值，此时得，
这时为的中位线，且．
因为，且，平面，所以平面，故为与平面所成的角．
因为E是的中点，所以．
在中，，
所以与平面所成角的正弦值为．
解法2：同解法1，且.因为两两互相垂直，故以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
，
设平面的法向量为，则，即，
所以可取，又，
设与平面所成角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，结合等腰三角形的性质分别证明，即可；
（2） 解法1：当的面积最小时，取最小值 ，此时得，再根据 为与平面所成的角；
解法2： 以D为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量求法求解即可.
20．（2022高三上·包头开学考）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
（1）求C和的方程；
（2）求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．
所以焦点的坐标为，
设的方程为且，
联立方程组，整理得，
所以，
所以．
由题设知，解得或（舍去），所以的方程为
（2）解：由（1）得线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得，或，即圆心坐标为或，
又由抛物线的准线方程为，
可得点或到准线的距离分别为或，
即圆的半径分别为或，
所以圆的方程为或．
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设的方程为，代入点的坐标得 ，得到的方程为， 设的方程为且，联立方程组，由韦达定理求得，结合，求得，即可得到直线的方程；
（2）由（1）得线段中点坐标为， 得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.
21．（2022高三上·包头开学考）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论的零点情况．
【答案】（1）解：当时，则，可得，
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，；
当时，等价于，
令，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以在单调递增；在单调递减，
且当时，，当时，；当时，，
如图所示，可得为的极大值，
当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；
当时，与有2个交点，即有2个零点；
当时，与有3个交点，即有3个零点．
综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；
当时，有3个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）根据题意转化为， 令 ，利用导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.
22．（2022高三上·包头开学考）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
【答案】（1）解：曲线C的普通方程为，
当时，l的普通方程为，
由解得或
所以C与l的交点坐标为．
（2）解：l的普通方程为，
C上的点到l的距离．
当时，d的最大值为，由题设得，
所以；
当时，d的最大值为，由题设得，
所以．
【知识点】点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）求出曲线C的普通方程和直线l的普通方程，联立即可求出交点坐标；
（2）设C上的点坐标为，根据点到直线的距离公式即可求得a.
23．（2022高三上·包头开学考）已知．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：因为，，，
所以
，当且仅当时取等号．
（2）证明：因为
所以，所以，所以，
当且仅当时取等号．
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）利用整式的乘法化简，再利用乘法公式及完全平方数的非负性证明即可；
（2）利用基本不等式计算可得.
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内蒙古包头市2022-2023学年高三上学期理数开学调研考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·包头开学考）设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·包头开学考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高三上·包头开学考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高三上·包头开学考）已知向量满足，它们的夹角为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022高三上·包头开学考）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.6 D．0.5
6．（2022高三上·包头开学考）双曲线的一条近线方程为，则其离心率为（ ）
A．3 B． C． D．5
7．（2022高三上·包头开学考）在中，，则（ ）
A． B．5 C． D．6
8．（2022高三上·包头开学考）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
9．（2022高三上·包头开学考）在正方体中，E、F分别为棱和的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·包头开学考）若在是增函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
11．（2022高三上·包头开学考）已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·包头开学考）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A．13 B．0 C．-1 D．1
二、填空题
13．（2022高三上·包头开学考）曲线在点处的切线方程为 ．
14．（2022高三上·包头开学考）若满足约束条件，则的最小值为 ．
15．（2022高三上·包头开学考）已知，且是第一象限角，则 ．
16．（2022高三上·包头开学考）已知圆锥的顶点为P，母线的夹角为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·包头开学考）记为等差数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最大值．
18．（2022高三上·包头开学考）根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；
（2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
甲
乙
（3）根据（2）中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？
附：
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
19．（2022高三上·包头开学考）如图，在三棱锥中，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若E是棱上的动点，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值．
20．（2022高三上·包头开学考）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
（1）求C和的方程；
（2）求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
21．（2022高三上·包头开学考）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论的零点情况．
22．（2022高三上·包头开学考）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
23．（2022高三上·包头开学考）已知．证明：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：B.
【分析】先用复数的四则运算求出复数，再写出其共轭复数即可.
2．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：D.
【分析】先用列举法把集B合表示出来，再求集合A与B的并集.
3．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】定义域为，
又，故为奇函数，排除CD；
又，，显然，A不符合题意，B符合题意.
故答案为：B
【分析】判断函数为奇函数，排除CD；根据特殊值的大小，排除A选项.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意，向量满足，它们的夹角为，
则.
故答案为：C.
【分析】根据向量的数量积的坐标公式，准确运算，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题，选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为.
故答案为：C
【分析】选中的2人恰好是男女同学各1名的数量为，则所求概率为.
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵渐近线方程为，即，故.
故答案为：A
【分析】由渐近线方程得，再由计算即可.
7．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】，，
而，，在中，由余弦定理得：
，代入数据得：，
解得：或（舍）
故答案为：B.
【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.
8．【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】【解答】当输入的时，
S=0，K=1，K6；
S=1，，K=2，K6；
S=，，K=3，K6；
S=2，，K=4，K6；
S=，，K=5，K6；
S=3，，K=6，K6；
S=，，K=7，K6，输出S=.
故答案为：D
【分析】模拟执行程序，依次计算可得.
9．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示，取的中点，连接，
在正方体中，因为是的中点，可得，
所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，设，
设正方体的棱长为2，可得，
由平面，且平面A1B1C1D1，可得，
所以，
在直角中，可得.
故答案为：A.
【分析】取的中点，连接，根据，得到异面直线与所成的角，即为与所成的角，直角中，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】正弦函数的单调性
【解析】【解答】，
根据函数图象和性质，在上单调递增，
在上单调递减.
而，所以a的最大值为.
故答案为：A.
【分析】根据函数性质，可得的单调区间，是单增区间的子集.
11．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的离心率为.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆定义得到，由，则，所以，结合得到，求出离心率.
12．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，
又，所以，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
又，所以，，
，
所以，
所以
.
故答案为：D
【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以4为周期的周期函数，再求出的值，即可得解.
13．【答案】y=(1+e)x-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，曲线在点处的切线斜率，
所求切线方程为：，即y=(1+e)x-1.
故答案为：y=(1+e)x-1.
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.
14．【答案】-2
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数，可化为直线，
结合图形，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，目标函数取得最小值，
由，解得，所以目标函数的最小值为.
故答案为：-2.
【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，解得，
又，解得或，
因为是第一象限角，所以；
故答案为：
【分析】利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
16．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】由题，，则为正三角形，，∴母线，
又与圆锥底面所成角为，∴底面半径，
∴圆锥的侧面积为.
故答案为：
【分析】由题得，为正三角形，由的面积求得PA，再由与圆锥底面所成角求得底面半径，即可根据公式求得侧面积.
17．【答案】（1）解：设数列的公差为，由得，
即，由，得．
所以的通项公式为．
（2）解：由（1）得．
因为，
所以当或时，取得最大值，最大值为21．
【知识点】等差数列的通项公式；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可求出公差，从而利用等差数列的通项公式即可求出答案；
（2）根据等差数列的前项和公式和二次函数的性质，即可直接求出答案.
18．【答案】（1）解：乙运动员的成绩更好，理由如下：
（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，只有的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定．
以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．
（2）解：由茎叶图可知，列联表如下：
超过m 不超过m
甲 5 7
乙 7 5
（3）解：由于，
所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．
【知识点】茎叶图；独立性检验
【解析】【分析】（1）根据茎叶图分析数据的分布情况判断即可；
（2）根据中位数的定义求解，再完善表格即可；
（3）计算卡方并对比表格中的数据判断即可.
19．【答案】（1）证明：因为，又D为的中点，
所以，且，
连接，所以为等腰直角三角形，
且，
，由，可知，
由，平面，可知平面．
（2）解：解法1：因为，所以，
当的面积最小时，取最小值，此时得，
这时为的中位线，且．
因为，且，平面，所以平面，故为与平面所成的角．
因为E是的中点，所以．
在中，，
所以与平面所成角的正弦值为．
解法2：同解法1，且.因为两两互相垂直，故以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
，
设平面的法向量为，则，即，
所以可取，又，
设与平面所成角为，则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，结合等腰三角形的性质分别证明，即可；
（2） 解法1：当的面积最小时，取最小值 ，此时得，再根据 为与平面所成的角；
解法2： 以D为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量求法求解即可.
20．【答案】（1）解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．
所以焦点的坐标为，
设的方程为且，
联立方程组，整理得，
所以，
所以．
由题设知，解得或（舍去），所以的方程为
（2）解：由（1）得线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得，或，即圆心坐标为或，
又由抛物线的准线方程为，
可得点或到准线的距离分别为或，
即圆的半径分别为或，
所以圆的方程为或．
【知识点】圆的标准方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设的方程为，代入点的坐标得 ，得到的方程为， 设的方程为且，联立方程组，由韦达定理求得，结合，求得，即可得到直线的方程；
（2）由（1）得线段中点坐标为， 得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.
21．【答案】（1）解：当时，则，可得，
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，；
当时，等价于，
令，则，
当时，；
当时，；
当时，；
所以在单调递增；在单调递减，
且当时，，当时，；当时，，
如图所示，可得为的极大值，
当，即时，与只有1个交点，即只有1个零点；
当时，与有2个交点，即有2个零点；
当时，与有3个交点，即有3个零点．
综上，时，只有1个零点；当时，有2个零点；
当时，有3个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）根据题意转化为， 令 ，利用导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.
22．【答案】（1）解：曲线C的普通方程为，
当时，l的普通方程为，
由解得或
所以C与l的交点坐标为．
（2）解：l的普通方程为，
C上的点到l的距离．
当时，d的最大值为，由题设得，
所以；
当时，d的最大值为，由题设得，
所以．
【知识点】点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）求出曲线C的普通方程和直线l的普通方程，联立即可求出交点坐标；
（2）设C上的点坐标为，根据点到直线的距离公式即可求得a.
23．【答案】（1）证明：因为，，，
所以
，当且仅当时取等号．
（2）证明：因为
所以，所以，所以，
当且仅当时取等号．
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）利用整式的乘法化简，再利用乘法公式及完全平方数的非负性证明即可；
（2）利用基本不等式计算可得.
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