河北省三河市2023届高三上学期数学开学联考试卷

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河北省三河市2023届高三上学期数学开学联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·三河开学考）已知集合，，则的元素个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵，
∴
故，从而的元素个数为为3。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A与集合B的交集，从而求出 的元素个数。
2．（2022高三上·三河开学考）已知虚数（）满足，则（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，，
又因为，所以，解得或，
因为为虚数，所以，故。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和复数相等的判断方法，进而结合复数为虚数的判断方法，进而得出实数b的值。
3．（2022高三上·三河开学考）函数在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题设，，则，
而，故在处的切线方程为，则。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再结合代入法求出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
4．（2022高三上·三河开学考）设某圆锥的底面半径和高分别为和，且，它的体积是，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设圆锥的体积为，由体积公式可得，
因为，圆锥的体积是，
所以，
所以。
故答案为：D.
【分析】设圆锥的体积为，再利用圆锥的体积公式和以及已知条件圆锥的体积是，进而求出圆锥的高。
5．（2022高三上·靖远开学考）函数在上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为，所以f（x）是奇函数，排除A，D，
当时，，，所以，排除C，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
6．（2022高三上·三河开学考）名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少一名志愿者，若恰有两名志愿者取社区，则不同的安排方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的3名志愿者分成两组， 1组1人，另一组2人，有种分法，
再分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有种。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理，进而得出不同的安排方法共有的种数。
7．（2022高三上·三河开学考）某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（　　）
A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多
【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】设样本中女生有人，则男生有人，
设女生身高频率分布直方图中的组距为
由频率分布直方图的性质可得，
所以，
所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%
所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A不符合题意；
层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，
层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，
由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C不符合题意；
样本中层次的学生数为，
样本中层次的学生数为，
由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D不符合题意，
女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量，进而得出无法比较层次中男，女生人数；利用已知条件结合频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大；利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率；再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，从而找出正确的选项。
8．（2022高三上·三河开学考）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论错误的是（　　）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的判断；函数的值
【解析】【解答】因为，，
取，可得，又，所以；A对；
取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C不符合题意，B对；
取，可得，又， ；
所以，D对。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性，再结合赋值法求出函数的值，从而选出结论错误的选项。
二、多选题
9．（2022高三上·三河开学考）已知函数，则（　　）
A．函数图象的一条对称轴方程为
B．函数的最小正周期为
C．是函数的一个零点
D．函数在上单调递增
【答案】B,C
【知识点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】当时，，
所以直线不是函数图象的对称轴，A不符合题意，
由正弦型函数的周期公式可得函数的周期，B对，
当时，，所以是函数的一个零点，C对，
由可得，因为函数在单调递增，在单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合题意。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象求出正弦型函数的对称轴，进而判断出直线不是函数图象的对称轴；利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出正弦型函数的最小正周期；再结合函数求零点的方法求出 是函数的一个零点；再利用已知条件结合正弦型函数的图象判断出函数在上单调递增，在上单调递减，进而找出正确的选项。
10．（2022高三上·三河开学考）在三棱锥中，，，则（　　）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】将三棱锥补形为长方体如下：其中，，
所以，，
连接，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，A对；
长方体的体积，
三棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积，B对，
为长方体的外接球的直径，，
所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥外接球，
所以三棱锥外接球的半径为；C不符合题意；
连接，交于，
因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角），
由已知，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，D对，
故答案为：ABD.
【分析】将三棱锥补形为长方体，其中，，所以，，连接，再利用线线平行和线段相等，所以四边形为平行四边形，所以，再利用四边形为正方形，所以，所以；再利用长方体的体积公式和三棱锥的体积公式得出长方体的体积、三棱锥的体积、三棱锥的体积、三棱锥的体积和三棱锥的体积，再结合作差法得出三棱锥的体积；再利用为长方体的外接球的直径结合勾股定理得出BM的长，进而得出长方体的外接球的半径，再利用长方体的外接球也是三棱锥外接球，进而得出三棱锥外接球的半径；连接，交于，再利用，所以为异面直线与所成的角（或其补角），由已知结合中点的性质得出OA、、的长，再利用余弦定理得出异面直线与所成角的余弦值，进而找出正确的选项。
11．（2022高三上·三河开学考）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为抛物线：的焦点为，
所以，所以，
所以抛物线的方程为，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，
所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为，
联立可得，
由已知方程的判别式，
设，，则，，
因为以线段为直径的圆过原点，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，由可得或与条件相矛盾，
所以，所以，，
设直线与轴的交点为，则
的面积，
所以的面积，
的面积，
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
又，，，
所以与的面积之和可能为18或。
故答案为：BC.
【分析】利用抛物线：的焦点为结合抛物线求焦点坐标的方法得出p的值，进而得出抛物线的标准方程，若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出，设，，再利用韦达定理得出，，以线段为直径的圆过原点，再结合圆的直径对应的圆周角为直角结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再利用数量积的坐标表示得出t的值，再利用分类讨论的方法，当时，由可得交点坐标，与条件相矛盾，从而求出满足要求的t的值，所以，，设直线与轴的交点为，则，再利用三角形面积的关系式和三角形的面积公式以及韦达定理得出的面积，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用分类讨论的方法，进而得出与的面积之和，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合比较法得出三角形与三角形的面积之和可能的值。
12．（2022高三上·三河开学考）已知定义域为的函数的导函数为，且，，则以下错误的有（　　）
A．有唯一的极值点
B．在上单调递增
C．当关于的方程有三个实数根时，实数的取值范围为
D．的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令，则，故，（为常数），
所以，而，故，
所以，则，
令，可得或，
在、上，递增；在上，递减；
所以有2个极值点，在上不单调，A、B错误，符合题意；
由趋于负无穷时趋向于0，，，趋于正无穷时趋向于正无穷，
所以有三个实数根时的范围为，的最小值为，C错误，符合题意，D正确，不符合题意。
故答案为：ABC
【分析】令，再利用求导的方法得出，（为常数），所以，再利用代入法和已知条件得出C的值，进而求出函数f(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，从而求出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，所以有2个极值点，在上不单调，函数的最小值为，由趋于负无穷时趋向于0，，，趋于正无穷时趋向于正无穷，
进而得出有三个实数根时的取值范围，进而找出错误的选项。
三、填空题
13．（2022高三上·三河开学考）写出满足的的一个值：　 　.
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】由，即，
所以或，，则或，，
故满足要求。
故答案为：（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合辅助角公式得出或，，再利用特殊值法得出满足的的一个值。
14．（2022高三上·靖远开学考）已知向量，满足，且，则　 　.
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，，则。
所以答案为：1。
【分析】利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
15．（2022高三上·三河开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以。
故答案为：。
【分析】设关于平分线的对称点为Q，则三点共线，设，则，再利用，所以在中，由余弦定理得出，由椭圆定义可知，所以，在中，由余弦定理可得a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率。
16．（2022高三上·靖远开学考）“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由生成的康威圆的半径为　 　．
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为，，
所以康威圆的圆心在的平分线上，
同理可知康威圆的圆心在的平分线上，即康威圆的圆心为的内心．
因为，，，满足，
所以，
所以的内切圆的半径，
所以，康威圆的半径。
故答案为：。
【分析】利用，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理可知康威圆的圆心在的平分线上，再利用三角形内心的定义判断出康威圆的圆心为的内心．
再利用，，结合勾股定理得出，进而得出三角形的内切圆的半径，从而结合勾股定理得出康威圆的半径。
四、解答题
17．（2022高三上·三河开学考）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，
展开得，所以，
因为，所以．
（2）解：由（1）知，解得，
因为，
由余弦定理得，
即，解得，，
所以△ABC的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用（1）中角B的值和已知条件，再结合三角形的面积公式得出ac的值，再利用 结合余弦定理得出a+c的值，进而得出b的值，再利用三角形的周长公式得出三角形△ABC的周长。
18．（2022高三上·三河开学考）记为数列的前项和，已知，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）若是等差数列，且，，求集合中元素的个数.
【答案】（1）证明：当，则，而，可得，
所以，又，
所以是首项为，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知：，令的公差为，则，
所以，故，
所以，故，，
所以且，则，
又，故，共有8个值，
所以集合中元素的个数为8.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法和递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而证出数列是首项为，公比为2的等比数列。
（2） 由（1）结合等比数列的通项公式知：，令的公差为，再利用已知条件结合等差数列的通项公式得出，再利用等差数列的通项公式得出，所以，故，，所以且，进而结合对数函数的单调性得出实数k的取值范围，进而得出集合中元素的个数。
19．（2022高三上·靖远开学考）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？
（2）求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：学生甲恰好答对两题的概率
（2）解：随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
由（1）知，又，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解出学生甲恰好答对两题的概率；
(2)根据随机变量X的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解出分布列，进而计算出数学期望.
20．（2022高三上·靖远开学考）在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为，，，所以，
所以，.
又，所以平面，从而.
因为，，所以平面.
（2）解：因为平面，所以，，又，
所以.
因为，所以.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为，所以，.
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明出AB⊥PD，从而证明出 平面；
(2)证明出PB，PA，PD两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解出二面角的正弦值.
21．（2022高三上·三河开学考）已知函数（）.
（1）当时，对于函数，存在，使得成立，求满足条件的最大整数；（）
（2）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由已知可得，，，
所以，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
因为，所以
所以函数在上的的最大值为，最小值为，
因为存在，使得成立，
所以，
所以，又，故，
所以满足条件的最大整数的值为4；
（2）解：不等式，可化为，
因为，所以，
由已知在上恒成立；
所以，
设，则，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
又，所以，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1） 由已知可得，，，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合，所以，进而得出函数在上的最值，再利用存在，使得成立，所以，进而得出实数m的取值范围，从而得出满足条件的最大整数的值。
（2） 将不等式化为，再利用，所以，由已知在上恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法得出，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而得出实数的取值范围。
22．（2022高三上·三河开学考）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【答案】（1）解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）证明：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即，
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式和代入法以及双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出且，设，再利用韦达定理，则，利用点斜式求出直线的方程为，再利用赋值法得出点M的坐标，同理可得点N的坐标，再结合为的中点和中点坐标公式得出或，再利用分类讨论的方法和直线的点斜式方程求定点的方法得出满足要求的实数m的值，再结合勾股定理得出为定值，由为直角三角形，且为斜边，从而证出当为的中点时，。
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河北省三河市2023届高三上学期数学开学联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·三河开学考）已知集合，，则的元素个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022高三上·三河开学考）已知虚数（）满足，则（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
3．（2022高三上·三河开学考）函数在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·三河开学考）设某圆锥的底面半径和高分别为和，且，它的体积是，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022高三上·靖远开学考）函数在上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·三河开学考）名志愿者要到，，三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少一名志愿者，若恰有两名志愿者取社区，则不同的安排方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．（2022高三上·三河开学考）某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在，，，，五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（　　）
A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多
8．（2022高三上·三河开学考）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论错误的是（　　）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
二、多选题
9．（2022高三上·三河开学考）已知函数，则（　　）
A．函数图象的一条对称轴方程为
B．函数的最小正周期为
C．是函数的一个零点
D．函数在上单调递增
10．（2022高三上·三河开学考）在三棱锥中，，，则（　　）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球半径为
D．异面直线与所成角的余弦值为
11．（2022高三上·三河开学考）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·三河开学考）已知定义域为的函数的导函数为，且，，则以下错误的有（　　）
A．有唯一的极值点
B．在上单调递增
C．当关于的方程有三个实数根时，实数的取值范围为
D．的最小值为
三、填空题
13．（2022高三上·三河开学考）写出满足的的一个值：　 　.
14．（2022高三上·靖远开学考）已知向量，满足，且，则　 　.
15．（2022高三上·三河开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为　 　.
16．（2022高三上·靖远开学考）“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由生成的康威圆的半径为　 　．
四、解答题
17．（2022高三上·三河开学考）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．
18．（2022高三上·三河开学考）记为数列的前项和，已知，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）若是等差数列，且，，求集合中元素的个数.
19．（2022高三上·靖远开学考）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题.
（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？
（2）求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.
20．（2022高三上·靖远开学考）在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
21．（2022高三上·三河开学考）已知函数（）.
（1）当时，对于函数，存在，使得成立，求满足条件的最大整数；（）
（2）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（2022高三上·三河开学考）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵，
∴
故，从而的元素个数为为3。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A与集合B的交集，从而求出 的元素个数。
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，，
又因为，所以，解得或，
因为为虚数，所以，故。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和复数相等的判断方法，进而结合复数为虚数的判断方法，进而得出实数b的值。
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题设，，则，
而，故在处的切线方程为，则。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再结合代入法求出切点坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
4．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设圆锥的体积为，由体积公式可得，
因为，圆锥的体积是，
所以，
所以。
故答案为：D.
【分析】设圆锥的体积为，再利用圆锥的体积公式和以及已知条件圆锥的体积是，进而求出圆锥的高。
5．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为，所以f（x）是奇函数，排除A，D，
当时，，，所以，排除C，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
6．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】先选出2名志愿者安排到A社区，有种方法，
再把剩下的3名志愿者分成两组， 1组1人，另一组2人，有种分法，
再分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有种。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理，进而得出不同的安排方法共有的种数。
7．【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】设样本中女生有人，则男生有人，
设女生身高频率分布直方图中的组距为
由频率分布直方图的性质可得，
所以，
所以女生身高频率分布直方图中层次频率为20%，层次频率为30%，层次频率为25%，层次频率为15%，层次频率为10%
所以样本中层次的女生人数为，男生人数为，由于的取值未知，所以无法比较层次中男，女生人数，A不符合题意；
层次女生在女生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，
层次男生在男生样本数中频率为15%，所以在整个样本中频率为，
由于的取值未知，所以无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率，C不符合题意；
样本中层次的学生数为，
样本中层次的学生数为，
由于的取值未知，所以无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，D不符合题意，
女生中，两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为，层次的分界点，而男生，两个层次的频率之和为35%，，，两个层次的频率之和为65%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量，进而得出无法比较层次中男，女生人数；利用已知条件结合频率分布直方图求中位数的方法，进而估计出样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大；利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而无法比较层次的女生和层次的男生在整个样本中频率；再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而无法比较样本中层次的学生数和层次的学生数的大小，从而找出正确的选项。
8．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的判断；函数的值
【解析】【解答】因为，，
取，可得，又，所以；A对；
取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C不符合题意，B对；
取，可得，又， ；
所以，D对。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，从而判断出函数的奇偶性，再结合赋值法求出函数的值，从而选出结论错误的选项。
9．【答案】B,C
【知识点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】当时，，
所以直线不是函数图象的对称轴，A不符合题意，
由正弦型函数的周期公式可得函数的周期，B对，
当时，，所以是函数的一个零点，C对，
由可得，因为函数在单调递增，在单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合题意。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象求出正弦型函数的对称轴，进而判断出直线不是函数图象的对称轴；利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式得出正弦型函数的最小正周期；再结合函数求零点的方法求出 是函数的一个零点；再利用已知条件结合正弦型函数的图象判断出函数在上单调递增，在上单调递减，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】将三棱锥补形为长方体如下：其中，，
所以，，
连接，
因为，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又四边形为正方形，所以，
所以，A对；
长方体的体积，
三棱锥的体积，三棱锥的体积，三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积，B对，
为长方体的外接球的直径，，
所以长方体的外接球的半径为，长方体的外接球也是三棱锥外接球，
所以三棱锥外接球的半径为；C不符合题意；
连接，交于，
因为，所以为异面直线与所成的角（或其补角），
由已知，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，D对，
故答案为：ABD.
【分析】将三棱锥补形为长方体，其中，，所以，，连接，再利用线线平行和线段相等，所以四边形为平行四边形，所以，再利用四边形为正方形，所以，所以；再利用长方体的体积公式和三棱锥的体积公式得出长方体的体积、三棱锥的体积、三棱锥的体积、三棱锥的体积和三棱锥的体积，再结合作差法得出三棱锥的体积；再利用为长方体的外接球的直径结合勾股定理得出BM的长，进而得出长方体的外接球的半径，再利用长方体的外接球也是三棱锥外接球，进而得出三棱锥外接球的半径；连接，交于，再利用，所以为异面直线与所成的角（或其补角），由已知结合中点的性质得出OA、、的长，再利用余弦定理得出异面直线与所成角的余弦值，进而找出正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】因为抛物线：的焦点为，
所以，所以，
所以抛物线的方程为，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，
所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为，
联立可得，
由已知方程的判别式，
设，，则，，
因为以线段为直径的圆过原点，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，由可得或与条件相矛盾，
所以，所以，，
设直线与轴的交点为，则
的面积，
所以的面积，
的面积，
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
又，，，
所以与的面积之和可能为18或。
故答案为：BC.
【分析】利用抛物线：的焦点为结合抛物线求焦点坐标的方法得出p的值，进而得出抛物线的标准方程，若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出，设，，再利用韦达定理得出，，以线段为直径的圆过原点，再结合圆的直径对应的圆周角为直角结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，再利用数量积的坐标表示得出t的值，再利用分类讨论的方法，当时，由可得交点坐标，与条件相矛盾，从而求出满足要求的t的值，所以，，设直线与轴的交点为，则，再利用三角形面积的关系式和三角形的面积公式以及韦达定理得出的面积，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用分类讨论的方法，进而得出与的面积之和，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合比较法得出三角形与三角形的面积之和可能的值。
12．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令，则，故，（为常数），
所以，而，故，
所以，则，
令，可得或，
在、上，递增；在上，递减；
所以有2个极值点，在上不单调，A、B错误，符合题意；
由趋于负无穷时趋向于0，，，趋于正无穷时趋向于正无穷，
所以有三个实数根时的范围为，的最小值为，C错误，符合题意，D正确，不符合题意。
故答案为：ABC
【分析】令，再利用求导的方法得出，（为常数），所以，再利用代入法和已知条件得出C的值，进而求出函数f(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，从而求出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，所以有2个极值点，在上不单调，函数的最小值为，由趋于负无穷时趋向于0，，，趋于正无穷时趋向于正无穷，
进而得出有三个实数根时的取值范围，进而找出错误的选项。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】【解答】由，即，
所以或，，则或，，
故满足要求。
故答案为：（答案不唯一）。
【分析】利用已知条件结合辅助角公式得出或，，再利用特殊值法得出满足的的一个值。
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以，，则。
所以答案为：1。
【分析】利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量的模的公式，进而得出的值。
15．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以。
故答案为：。
【分析】设关于平分线的对称点为Q，则三点共线，设，则，再利用，所以在中，由余弦定理得出，由椭圆定义可知，所以，在中，由余弦定理可得a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率。
16．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为，，
所以康威圆的圆心在的平分线上，
同理可知康威圆的圆心在的平分线上，即康威圆的圆心为的内心．
因为，，，满足，
所以，
所以的内切圆的半径，
所以，康威圆的半径。
故答案为：。
【分析】利用，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理可知康威圆的圆心在的平分线上，再利用三角形内心的定义判断出康威圆的圆心为的内心．
再利用，，结合勾股定理得出，进而得出三角形的内切圆的半径，从而结合勾股定理得出康威圆的半径。
17．【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，
展开得，所以，
因为，所以．
（2）解：由（1）知，解得，
因为，
由余弦定理得，
即，解得，，
所以△ABC的周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用（1）中角B的值和已知条件，再结合三角形的面积公式得出ac的值，再利用 结合余弦定理得出a+c的值，进而得出b的值，再利用三角形的周长公式得出三角形△ABC的周长。
18．【答案】（1）证明：当，则，而，可得，
所以，又，
所以是首项为，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知：，令的公差为，则，
所以，故，
所以，故，，
所以且，则，
又，故，共有8个值，
所以集合中元素的个数为8.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法和递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而证出数列是首项为，公比为2的等比数列。
（2） 由（1）结合等比数列的通项公式知：，令的公差为，再利用已知条件结合等差数列的通项公式得出，再利用等差数列的通项公式得出，所以，故，，所以且，进而结合对数函数的单调性得出实数k的取值范围，进而得出集合中元素的个数。
19．【答案】（1）解：学生甲恰好答对两题的概率
（2）解：随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
由（1）知，又，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解出学生甲恰好答对两题的概率；
(2)根据随机变量X的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解出分布列，进而计算出数学期望.
20．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为，，，所以，
所以，.
又，所以平面，从而.
因为，，所以平面.
（2）解：因为平面，所以，，又，
所以.
因为，所以.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为，所以，.
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明出AB⊥PD，从而证明出 平面；
(2)证明出PB，PA，PD两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解出二面角的正弦值.
21．【答案】（1）解：由已知可得，，，
所以，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
因为，所以
所以函数在上的的最大值为，最小值为，
因为存在，使得成立，
所以，
所以，又，故，
所以满足条件的最大整数的值为4；
（2）解：不等式，可化为，
因为，所以，
由已知在上恒成立；
所以，
设，则，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
又，所以，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1） 由已知可得，，，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合，所以，进而得出函数在上的最值，再利用存在，使得成立，所以，进而得出实数m的取值范围，从而得出满足条件的最大整数的值。
（2） 将不等式化为，再利用，所以，由已知在上恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法得出，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而得出实数的取值范围。
22．【答案】（1）解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）证明：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即，
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式和代入法以及双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） 由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出且，设，再利用韦达定理，则，利用点斜式求出直线的方程为，再利用赋值法得出点M的坐标，同理可得点N的坐标，再结合为的中点和中点坐标公式得出或，再利用分类讨论的方法和直线的点斜式方程求定点的方法得出满足要求的实数m的值，再结合勾股定理得出为定值，由为直角三角形，且为斜边，从而证出当为的中点时，。
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