江苏省南京市六校2022-2023学年高二上学期数学期初联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·南京开学考）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·南京开学考）已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
3．（2022高二上·南京开学考）如图，用K A1 A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1 A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K A1 A2正常工作的概率依次是0.9 0.7 0.7，则系统正常工作（ ）
A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.9
4．（2022高二上·南京开学考）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·南京开学考）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
6．（2021高二上·湖北月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
7．（2022高二上·南京开学考）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高二上·南京开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若的面积的最大值为8，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·南京开学考）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和全是男生
10．（2022高二上·南京开学考）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点（2，3）
B．直线在y轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线的距离为1
11．（2022高二上·南京开学考）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
12．（2022高二上·南京开学考）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为，则下面结论正确的是（ ）
A．满足的点的轨迹长度为
B．点存在无数个位置满足直线平面
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．若是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为
三、填空题
13．（2022高二上·南京开学考）同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为 .
14．（2022高二上·南京开学考）四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为 .
15．（2022高二上·南京开学考）在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 .
16．（2022高二上·南京开学考）在平面直角坐标系xOy中，点，，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二上·南京开学考）已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）AB边中线所在的直线方程；
（2）的外接圆的方程.
18．（2022高二上·南京开学考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点E F分别是棱PC和PD的中点.
（1）求证：EF平面PAB；
（2）若AP=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，求直线PB和平面ABCD所成角的正切值.
19．（2022高二上·南京开学考）在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶.
（1）求每对亲子获得飞机玩具的概率；
（2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.
20．（2022高二上·南京开学考）已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
21．（2022高二上·南京开学考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，，点D为BC中点.
（1）求证：平面⊥平面AC1D；
（2）求点C到平面AC1D的距离.
22．（2022高二上·南京开学考）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合直线平行的性质，设出所求直线，再结合该直线过点A(2， 3)，即可求解出答案.
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A：如图所示，，，但；A不符合题意；
B：如图所示，，，，，
所以，，，B不符合题意，
C：如图所示，，，，，但α与β相交，C不符合题意；
D：因为，所以，，
取点，则，，
假设直线与平面不垂直，
又，则过点在平面内可作一条直线与平面垂直，记为，
同理，在平面内过点可作直线，因为过点有且仅有一条直线垂直与平面，
所以直线与直线重合，所以，，所以，又，
与平面与平面有且仅有一条交线矛盾，故假设不成立，所以D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐项进行判断，即可得答案.
3．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】并联的元件正常工作的概率为，
故系统正常工作的概率为，
故答案为：C.
【分析】利用对立事件可得A1、A2至少有一个正常工作的概率，再利用积事件的概率计算公式，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，
则由得
而
所以
即底面半径为
故答案为：B.
【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为 ，构造方程，可求出圆锥的底面半径 .
5．【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】根据题意，设点的坐标为，则
，故直线为：，即，
故到直线上的距离为：，
又因为，
所以由 得，
解得或，即为或.
故答案为：B.
【分析】首先求出直线AB的方程，再结合A， B， P为顶点的三角形的面积为 ，建立方程求出点P的坐标.
6．【答案】D
【知识点】随机事件；互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．A D ，A∪C＝D
B，D为互斥事件，B∩D＝ ；
A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件即可得出：A D ，A∪C＝D，B，D为互斥事件，B∩D＝ ，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】化简方程可得，
方程对应的曲线为以为圆心，以2为半径的圆在轴上方的部分（含点，）；
当直线与半圆相切时，，，
所以，
当直线过点时，，
所以实数的取值范围为，
故答案为：C.
【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆C方程：，圆心，
因为点在圆内，所以，
即，解得：，
如图所示：
设，则，
此时，，
此时是等腰直角三角形，
则圆心到直线的距离，
则有，即，
解得：或，
综上：
故答案为：A
【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系，即可求出实数的取值范围 .
9．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A中两个事件是互斥事件，恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生，它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；
B中两个事件不是互斥事件，两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；
C中两个事件不是互斥事件，至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；
D中两个事件是互斥事件，至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.
故答案为：AD
【分析】 根据互斥事件的概念，逐项进行判断，即可得答案.
10．【答案】B,C,D
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，A不符合题意；
对B，在轴上的截距为，B符合题意；
对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，
即，C符合题意；
对D，因为直线垂直于轴，故过作直线的垂线，垂足为，所以点到直线的距离为，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由直线系方程求出直线所过定点坐标判断A；求出直线在y轴上的截距判断B；由直线方程得斜率，进一步得到倾斜角判断C；求出点到直线的距离判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由圆的方程知：圆心，半径，
对于AB，四边形的面积，
则当最短时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，，
此时，A符合题意；
又，此时，B符合题意；
对于C，设，，，
则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，
又为两切线交点，，
则两点坐标满足方程：，即方程为：；
当最小时，，直线方程为：，
由得：，即，
方程为：，即，C不符合题意；
对于D，由C知：方程为：；
又，即，
方程可整理为：，
由得：，过定点，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当|AP|最短时，面积最小，可判断A；等面积法，即由A选项的四边形面积求弦长，可判断B；两垂直直线的斜率相乘等于-1，两平行直线斜率相等，可判断C；由向量积公式求定点坐标，可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于A，平面，平面，；
四边形为正方形，；
又平面，，平面，
点轨迹即为平面与平面的交线，即为，
点轨迹的轨迹长度为，A符合题意；
对于B，，平面，平面，平面；
同理可得：平面，又，平面，
平面平面，
轨迹为平面与平面的交线，即，
点存在无数个位置满足直线平面，B符合题意；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设，，，则，
，
，
则当时，；
与夹角大于，C不符合题意；
对于D，由C可得空间直角坐标系如下，
则，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，，
又平面轴，平面的一个法向量，
，，
即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由线面垂直的判定和性质推得当点M在线段A1D上时，有CM⊥AD1，可判断A；由面面平行的判定和性质可判断B；由异面直线所成角的定义可判断C；由二倍角的平面角的定义计算可判断D.
13．【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】随机试验连续抛掷两枚骰子的样本空间包含下列基本事件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件，向上的点数之和为5包含的基本事件有4个，分别为：
（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
向上的点数之和为5的概率．
故答案为：
【分析】 利用列举法得到同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有36种结果，而向上的点数之和为5的结果有4种情况，由此能求出向上的点数之和等于5的概率.
14．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为PA⊥面ABCD，平面ABCD，
所以，，
又因为底面ABCD为矩形，
所以两两垂直，
故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，如图所示，
故外接球O的直径为，半径为，
球O的体积为
故答案为：
【分析】 根据线面垂直得到PA， AB， AD两两垂直，故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，求出外接球半径，进而求出球O的体积 .
15．【答案】
【知识点】三点共线
【解析】【解答】设关于直线的对称点为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立.
而，
解得，故，故直线，
故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.
故答案为：.
【分析】首先利用点关于线的对称关系求出点C的坐标，进一步利用两点坐标确定直线BC的方程，进一步建立方程组求出点P的坐标.
16．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】根据题意，设，则，
，
，整理得，
将代入，整理得，
由于方程有解，故，即，即
解得：，即.
故答案为：.
【分析】设，根据条件得到一元二次方程，再由，求出实数m的取值范围.
17．【答案】（1）解：设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：.
（2）解：设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得：
，解得，
所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：.
【知识点】直线的点斜式方程；圆的一般方程
【解析】【分析】(1)直接利用中点坐标求出M的坐标，进一步求出AB边的中线的直线的方程；
(2)直接利用圆的一般式建立方程组，进步确定D、 E、F的值， 最后求出圆的方程.
18．【答案】（1）证明：∵点E F分别是棱PC和PD的中点，∴ EFCD
又∵四边形ABCD是正方形，∴ CDAB，∴ EFAB，
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，∴ EF平面PAB
（2）解：取AD中点G，连接PG，BG，∵AP=PD，G是AD中点，∴ PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG 平面PAD，
∴ P G⊥平面ABCD，平面ABCD，故，
∴∠PBG为直线PB和平面ABCD所成角，
因为AP=PD=2，AD=2，故在△ PAG中，，在△ABG中，，∴ tan∠PBG=，
即直线PB和平面ABCD所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明出EF平面PAB；
(2)取AD中点G，连接PG， BG，利用面面垂直的性质证明PG⊥平面ABCD，然后解三角形，即可求出 直线PB和平面ABCD所成角的正切值.
19．【答案】（1）解：样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}共16个样本点.
记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共4个.
故每对亲子获得飞机玩具的概率为
（2）解：同（1），记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有
（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（4，1），（4，2）共7个.
所以，
事件C包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共5个，
所以.
所以P（B）>P（C），即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】 (1)根据古典概型求解出每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)分别求出两种情况的概率，再比较大小，即可得结论.
20．【答案】（1）解：方程可化为，
要使直线不经过第四象限，则，
解得，
所以k的取值范围为.
（2）解：由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
此时，直线的方程为.
【知识点】基本不等式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 由此求得 的取值范围；
(2)由题意可得 ，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线的方程.
21．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
平行四边形为菱形，
三棱柱为直三棱柱，平面
平面，，
，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
平面，平面⊥平面AC1D；
（2）解：设点到平面的距离为
平面，平面，
，为三棱锥高，
在中，CD=1，AC=2，∴AD=，，
在中，AC=CC1=2，∴AC1=，
在中，CD=1，CC1=2，∴CD1=，
在等腰中，，
，
，
，可得，
点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)推导出 ， 平面 ，C1C⊥BC， BC⊥AC，从而BC⊥面 ， BC⊥AC1，A1C⊥AC1，进而AC1⊥平面A1CB，由此能证明出平面⊥平面AC1D；
(2) 设点到平面的距离为 ，由 ， 利用等体积法能求出点到平面的距离.
22．【答案】（1）解：由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
（2）解：设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
【知识点】圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1) 由题意可设圆的圆心的坐标为 ，代入直线方程求得b，可得圆心坐标，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求半径，则可求出 的方程；
(2)①设 ，由得 ，再由D在圆C上，即可求得曲线的方程；
②当直线AB的斜率不存在时，有轴平分， 当直线A B的斜率存在时， 设直线AB的方程为，，，， 联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合 ，求得t为定值，即可得到在x轴正半轴上存在定点N，使得x轴平分∠ANB.
1 / 1江苏省南京市六校2022-2023学年高二上学期数学期初联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·南京开学考）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由题意设所求方程为，
因为直线经过点，
所以，即，所以所求直线为.
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合直线平行的性质，设出所求直线，再结合该直线过点A(2， 3)，即可求解出答案.
2．（2022高二上·南京开学考）已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A：如图所示，，，但；A不符合题意；
B：如图所示，，，，，
所以，，，B不符合题意，
C：如图所示，，，，，但α与β相交，C不符合题意；
D：因为，所以，，
取点，则，，
假设直线与平面不垂直，
又，则过点在平面内可作一条直线与平面垂直，记为，
同理，在平面内过点可作直线，因为过点有且仅有一条直线垂直与平面，
所以直线与直线重合，所以，，所以，又，
与平面与平面有且仅有一条交线矛盾，故假设不成立，所以D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐项进行判断，即可得答案.
3．（2022高二上·南京开学考）如图，用K A1 A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1 A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K A1 A2正常工作的概率依次是0.9 0.7 0.7，则系统正常工作（ ）
A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.9
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】并联的元件正常工作的概率为，
故系统正常工作的概率为，
故答案为：C.
【分析】利用对立事件可得A1、A2至少有一个正常工作的概率，再利用积事件的概率计算公式，即可得出答案.
4．（2022高二上·南京开学考）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，
则由得
而
所以
即底面半径为
故答案为：B.
【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为 ，构造方程，可求出圆锥的底面半径 .
5．（2022高二上·南京开学考）点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ）
A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）
C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）
【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】根据题意，设点的坐标为，则
，故直线为：，即，
故到直线上的距离为：，
又因为，
所以由 得，
解得或，即为或.
故答案为：B.
【分析】首先求出直线AB的方程，再结合A， B， P为顶点的三角形的面积为 ，建立方程求出点P的坐标.
6．（2021高二上·湖北月考）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．A D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【答案】D
【知识点】随机事件；互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．A D ，A∪C＝D
B，D为互斥事件，B∩D＝ ；
A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件即可得出：A D ，A∪C＝D，B，D为互斥事件，B∩D＝ ，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2022高二上·南京开学考）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】化简方程可得，
方程对应的曲线为以为圆心，以2为半径的圆在轴上方的部分（含点，）；
当直线与半圆相切时，，，
所以，
当直线过点时，，
所以实数的取值范围为，
故答案为：C.
【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b的取值范围.
8．（2022高二上·南京开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若的面积的最大值为8，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆C方程：，圆心，
因为点在圆内，所以，
即，解得：，
如图所示：
设，则，
此时，，
此时是等腰直角三角形，
则圆心到直线的距离，
则有，即，
解得：或，
综上：
故答案为：A
【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系，即可求出实数的取值范围 .
二、多选题
9．（2022高二上·南京开学考）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和全是男生
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A中两个事件是互斥事件，恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生，它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；
B中两个事件不是互斥事件，两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；
C中两个事件不是互斥事件，至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；
D中两个事件是互斥事件，至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.
故答案为：AD
【分析】 根据互斥事件的概念，逐项进行判断，即可得答案.
10．（2022高二上·南京开学考）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点（2，3）
B．直线在y轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．点（1，3）到直线的距离为1
【答案】B,C,D
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，A不符合题意；
对B，在轴上的截距为，B符合题意；
对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，
即，C符合题意；
对D，因为直线垂直于轴，故过作直线的垂线，垂足为，所以点到直线的距离为，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由直线系方程求出直线所过定点坐标判断A；求出直线在y轴上的截距判断B；由直线方程得斜率，进一步得到倾斜角判断C；求出点到直线的距离判断D.
11．（2022高二上·南京开学考）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
【答案】A,B,D
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由圆的方程知：圆心，半径，
对于AB，四边形的面积，
则当最短时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，，
此时，A符合题意；
又，此时，B符合题意；
对于C，设，，，
则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，
又为两切线交点，，
则两点坐标满足方程：，即方程为：；
当最小时，，直线方程为：，
由得：，即，
方程为：，即，C不符合题意；
对于D，由C知：方程为：；
又，即，
方程可整理为：，
由得：，过定点，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当|AP|最短时，面积最小，可判断A；等面积法，即由A选项的四边形面积求弦长，可判断B；两垂直直线的斜率相乘等于-1，两平行直线斜率相等，可判断C；由向量积公式求定点坐标，可判断D.
12．（2022高二上·南京开学考）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为，则下面结论正确的是（ ）
A．满足的点的轨迹长度为
B．点存在无数个位置满足直线平面
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．若是棱的中点，平面与平面所成锐二面角的正切值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于A，平面，平面，；
四边形为正方形，；
又平面，，平面，
点轨迹即为平面与平面的交线，即为，
点轨迹的轨迹长度为，A符合题意；
对于B，，平面，平面，平面；
同理可得：平面，又，平面，
平面平面，
轨迹为平面与平面的交线，即，
点存在无数个位置满足直线平面，B符合题意；
对于C，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设，，，则，
，
，
则当时，；
与夹角大于，C不符合题意；
对于D，由C可得空间直角坐标系如下，
则，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，，
又平面轴，平面的一个法向量，
，，
即平面与平面所成锐二面角的正切值为，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由线面垂直的判定和性质推得当点M在线段A1D上时，有CM⊥AD1，可判断A；由面面平行的判定和性质可判断B；由异面直线所成角的定义可判断C；由二倍角的平面角的定义计算可判断D.
三、填空题
13．（2022高二上·南京开学考）同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为 .
【答案】
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】随机试验连续抛掷两枚骰子的样本空间包含下列基本事件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件，向上的点数之和为5包含的基本事件有4个，分别为：
（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
向上的点数之和为5的概率．
故答案为：
【分析】 利用列举法得到同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有36种结果，而向上的点数之和为5的结果有4种情况，由此能求出向上的点数之和等于5的概率.
14．（2022高二上·南京开学考）四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为PA⊥面ABCD，平面ABCD，
所以，，
又因为底面ABCD为矩形，
所以两两垂直，
故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，如图所示，
故外接球O的直径为，半径为，
球O的体积为
故答案为：
【分析】 根据线面垂直得到PA， AB， AD两两垂直，故四棱锥P-ABCD的外接球可以补形为长方体的外接球，求出外接球半径，进而求出球O的体积 .
15．（2022高二上·南京开学考）在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 .
【答案】
【知识点】三点共线
【解析】【解答】设关于直线的对称点为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立.
而，
解得，故，故直线，
故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.
故答案为：.
【分析】首先利用点关于线的对称关系求出点C的坐标，进一步利用两点坐标确定直线BC的方程，进一步建立方程组求出点P的坐标.
16．（2022高二上·南京开学考）在平面直角坐标系xOy中，点，，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】根据题意，设，则，
，
，整理得，
将代入，整理得，
由于方程有解，故，即，即
解得：，即.
故答案为：.
【分析】设，根据条件得到一元二次方程，再由，求出实数m的取值范围.
四、解答题
17．（2022高二上·南京开学考）已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）AB边中线所在的直线方程；
（2）的外接圆的方程.
【答案】（1）解：设AB中点为，，，，直线CM斜率，由点斜式得AB边中线方程为：.
（2）解：设外接圆的一般方程为： ，把，，三点坐标代入圆的一般方程得：
，解得，
所求圆的一般方程为：，化为标准方程为：.
【知识点】直线的点斜式方程；圆的一般方程
【解析】【分析】(1)直接利用中点坐标求出M的坐标，进一步求出AB边的中线的直线的方程；
(2)直接利用圆的一般式建立方程组，进步确定D、 E、F的值， 最后求出圆的方程.
18．（2022高二上·南京开学考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点E F分别是棱PC和PD的中点.
（1）求证：EF平面PAB；
（2）若AP=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，求直线PB和平面ABCD所成角的正切值.
【答案】（1）证明：∵点E F分别是棱PC和PD的中点，∴ EFCD
又∵四边形ABCD是正方形，∴ CDAB，∴ EFAB，
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，∴ EF平面PAB
（2）解：取AD中点G，连接PG，BG，∵AP=PD，G是AD中点，∴ PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG 平面PAD，
∴ P G⊥平面ABCD，平面ABCD，故，
∴∠PBG为直线PB和平面ABCD所成角，
因为AP=PD=2，AD=2，故在△ PAG中，，在△ABG中，，∴ tan∠PBG=，
即直线PB和平面ABCD所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明出EF平面PAB；
(2)取AD中点G，连接PG， BG，利用面面垂直的性质证明PG⊥平面ABCD，然后解三角形，即可求出 直线PB和平面ABCD所成角的正切值.
19．（2022高二上·南京开学考）在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶.
（1）求每对亲子获得飞机玩具的概率；
（2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.
【答案】（1）解：样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}共16个样本点.
记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共4个.
故每对亲子获得飞机玩具的概率为
（2）解：同（1），记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有
（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（4，1），（4，2）共7个.
所以，
事件C包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共5个，
所以.
所以P（B）>P（C），即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】 (1)根据古典概型求解出每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)分别求出两种情况的概率，再比较大小，即可得结论.
20．（2022高二上·南京开学考）已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（O为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
【答案】（1）解：方程可化为，
要使直线不经过第四象限，则，
解得，
所以k的取值范围为.
（2）解：由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
此时，直线的方程为.
【知识点】基本不等式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 由此求得 的取值范围；
(2)由题意可得 ，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线的方程.
21．（2022高二上·南京开学考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，，点D为BC中点.
（1）求证：平面⊥平面AC1D；
（2）求点C到平面AC1D的距离.
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
平行四边形为菱形，
三棱柱为直三棱柱，平面
平面，，
，
，平面，平面，
平面，，
，平面，平面，
平面，平面⊥平面AC1D；
（2）解：设点到平面的距离为
平面，平面，
，为三棱锥高，
在中，CD=1，AC=2，∴AD=，，
在中，AC=CC1=2，∴AC1=，
在中，CD=1，CC1=2，∴CD1=，
在等腰中，，
，
，
，可得，
点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)推导出 ， 平面 ，C1C⊥BC， BC⊥AC，从而BC⊥面 ， BC⊥AC1，A1C⊥AC1，进而AC1⊥平面A1CB，由此能证明出平面⊥平面AC1D；
(2) 设点到平面的距离为 ，由 ， 利用等体积法能求出点到平面的距离.
22．（2022高二上·南京开学考）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
（2）解：设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
【知识点】圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1) 由题意可设圆的圆心的坐标为 ，代入直线方程求得b，可得圆心坐标，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求半径，则可求出 的方程；
(2)①设 ，由得 ，再由D在圆C上，即可求得曲线的方程；
②当直线AB的斜率不存在时，有轴平分， 当直线A B的斜率存在时， 设直线AB的方程为，，，， 联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合 ，求得t为定值，即可得到在x轴正半轴上存在定点N，使得x轴平分∠ANB.
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