辽宁省六校2022-2023学年高三上学期数学期初考试试卷

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辽宁省六校2022-2023学年高三上学期数学期初考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·辽宁开学考）的否定是（　　）
A． B．
C．， D．：
2．（2022高三上·辽宁开学考）已知集合则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高三上·辽宁开学考）设等差数列的前项和为，若则（　　）
A．150 B．120 C．75 D．60
4．（2022高三上·辽宁开学考）在的展开式中，的系数为（　　）
A．10 B． C．30 D．
5．（2022高三上·辽宁开学考）已知函数，若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2022高三上·辽宁开学考）若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·辽宁开学考）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（　　）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
8．（2022高三上·辽宁开学考）已知函数满足：，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·辽宁开学考）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限
B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数
D．复数的模
10．（2022高三上·辽宁开学考）已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
11．（2022高三上·辽宁开学考）已知正方体 的棱长为2，则（　　）
A．直线与所成的角为
B．直线与 所成的角为
C．点到平面的距离为
D．直线与平面所成的角为
12．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2022高三上·辽宁开学考）已知，则　 　
14．（2022高三上·辽宁开学考）圆的过点的切线方程为　 　.
15．（2020高二上·舟山期末）过抛物线C： 的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则 的最小值为　 　.
16．（2022高三上·辽宁开学考）已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是　 　.
四、解答题
17．（2022高三上·辽宁开学考）已知数列的首项，，.
（1）证明：为等比数列；
（2）证明：．
18．（2022高三上·辽宁开学考）在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足____(填写序号即可)．
（1）求角C的大小；
（2）若，求周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2022高三上·辽宁开学考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
20．（2022高三上·辽宁开学考）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲 乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
21．（2022高三上·辽宁开学考）已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
22．（2022·河南模拟）已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“”的否定为：“，”.
故答案为：C.
【分析】 根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解不等式得，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】 求出集合B，利用交集定义求出A∩B.
3．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质可知，
所以，
.
故答案为：D
【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列前项和公式求出答案.
4．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
其中展开式的通项为，
所以展开式中含的项为，
所以的系数为；
故答案为：D
【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，从而求出的系数.
5．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由题设，即，
而，
所以.
故答案为：B
【分析】 由已知先求出f(-x)+ f (x)，进而可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由可得 ，
故，
而，
故，
即，
故答案为：C
【分析】根据两角差的正切公式求得，将化简为，根据齐次式的计算求得，即可求得答案.
7．【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】当，时，，此时二氧化碳处于固态，A不符合题意.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，B不符合题意.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，C不符合题意.
当，时，因， 故此时二氧化碳处于超临界状态，D符合题意.
故答案为：D
【分析】计算每个选项的的值，结合T与图的关系，可判断出答案 .
8．【答案】A
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】，
令得：，
因为，所以，
令，得：，
即，
则，
上面两式子联立得：，
所以，
故，
故是以6为周期的函数，
且
，
所以
故答案为：A
【分析】 根据题意，赋值求出，利用赋值法求出函数周期性，求出周期为6，进而求解出答案.
9．【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】，
故复数在复平面内对应的点在第三象限，A不符合题意；
所以复数的虚部为，B符合题意；
故复数的共轭复数，C不符合题意；
所以复数的模，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐项进行分析判断，可得答案.
10．【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性
【解析】【解答】解：对于，它的最小正周期，A符合题意；
在，，又在上单调递增，所以函数在上单调递增，B符合题意；
当时，，所以，则的取值范围为，C符合题意；
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，D不符合题意；
故答案为：ABC．
【分析】求出函数的周期判断A；判断函数的单调性判断B；求解函数的值域判断C；利用函数的图象的变换判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接、，因为，
所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，
故直线与所成的角为，A符合题意；
连接，因为平面，平面，
则，
因为，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，B符合题意；
因为平面，平面，
则，又，平面，平面，
∴平面，设，
则为点到平面的距离，由题可得，
即点到平面的距离为，C不符合题意；
因为平面，
所以为直线与平面所成的角，易得，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用正方体的性质，根据异面直线所成角的概念可判断A；利用线面垂直的判定定理及性质定理可判断B；根据点到平面的距离可判断C；根据线面所成角可判断D.
12．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
此外，除官方给出答案外，还存在另一种切线与双曲线交于同一支的情况(以下只给出解析过程，目前暂未发现官方给出说明，故单选题题型与答案暂不更改)
如图所示，当切线与双曲线交于同一侧时，过点F2作F2⊥MN，由(1)得，OG1=a，易得F2H=2a，
又∵，
∴，
解得NF2=，
由，
∴NF1=，
在△NF1F2中，由余弦定理得
，
整理得：，
∴，故A选项亦正确，
故选：C(A选项亦正确).
【分析】依题意设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解.
13．【答案】20
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，所以，
因为，
所以，
故答案为：20
【分析】 首先求得向量的平方，然后结合向量的运算法则计算其值，即可得答案.
14．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上，则，则切线的斜率，则切线的方程为，变形可得；
故答案为：
【分析】 根据题意，点在圆上，求出切线的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案.
15．【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】当 的斜率不存在的时候， 为通径且 ，故 .
当 的斜率存在的时候，设 ， ，
由 可得 ，
所以 .
又 .
又
当且仅当 时取等号.
故答案为：9.
【分析】先证明 ，再结合基本不等式即可得解.
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形，
易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为．
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
故，
所以，两边平方整理得，再平方可得，所以（负值舍去）．
故球的体积．
故答案为：．
【分析】由题意圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形，易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为， 利用三角形与三角形用半径表示出梯形的高7，得到R的方程，求解出该球的体积 .
17．【答案】（1）证明 ：因为，
所以．
又，所以数列是公比为3的等比数列．
（2）证明：因为数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，
所以，
所以，
所以．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)将已知递推公式 ， 两边同时加1，可得数列是公比为3的等比数列；
(2)根据(1)的结果计算出数列 的通项公式，得到数列{bn}的通项公式，再由裂项相消法求和证明出 ．
18．【答案】（1）解：若选①，因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以
若选②，因为，
由正弦定理得，
所以，即，
，，，
又，.
（2）解：由余弦定理得，
因此，
，当且仅当时等号成立，
所以的周长
因此的周长的最大值为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式化简即可求解；选②：利用正弦定理化简即可求解；
(2)利用正弦定理求出a， b的关系式，再利用三角函数的性质以及A的范围即可求解出 周长的最大值．
19．【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面，底面，则
又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则，所以
又，所以面
面，所以
（2）解：点D是线段BC的中点．取的中，则，且
由（1）可知面，则面
过作，垂足为，连结，
所以为D﹣CA1﹣A的平面角
由AA1＝AC＝4，则，则为等腰三角形，且，
所以， 直角三角形中，
在直角三角形中，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由条件先证明 面 ，从而可证明出 AB⊥A1C；
(2)取AB的中E，则可得 面， 过作，垂足为，连结， 所以 为D﹣CA1﹣A的平面角 ，然后在直角三角形EHD中求解出二面角D﹣CA1﹣A的余弦值.
20．【答案】（1）解：因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；
（2）解：甲同学的两题得分的可能取值为
所以，，
，
所以的分布列为：
因此（分），
乙同学第11题可能得分为：，，
，
乙同学第12题可能得分为：，，
，
乙同学的两题得分的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
因此(分)，
因为，所以甲同学的方案更优.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)甲同学每题均随机选取一项，甲同学两题得分合计为4分，则两题均部分选对，即可求出 甲同学两题得分合计为4分的概率；
(2)甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，分别求出甲乙的概率，分布列及期望，再进行比较可得结论.
21．【答案】（1）解：由题意知，故可设椭圆方程为，
由在上可得，，
解得或（舍去），
故所求椭圆的方程为.
（2）解：设直线，，
把代入椭圆方程整理可得：
，
设，则，
，
从而得点，
在上式中以代替，得，
即直线的斜率为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解出椭圆的方程；
(2) 设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以以代替，求出Q点坐标，由两点坐标求出直线的斜率.
22．【答案】（1）解：由题意知，，
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递减；
若，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：因为，所以有两个零点，即有两个零点．
若，由（1）知，至多有一个零点．
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．
①当时，由于，故只有一个零点：
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即．
又，故在上有一个零点．
存在，则．
又，因此在上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，由对函数的性质即可得出函数的单调性，再对a分情况讨论由此即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)由(1)的结论结合函数零点的定义，对a分情况讨论由零点存在性定理即可得出零点的个数，由此即可得出满足题意的a的取值范围。
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辽宁省六校2022-2023学年高三上学期数学期初考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·辽宁开学考）的否定是（　　）
A． B．
C．， D．：
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“”的否定为：“，”.
故答案为：C.
【分析】 根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得答案.
2．（2022高三上·辽宁开学考）已知集合则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解不等式得，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】 求出集合B，利用交集定义求出A∩B.
3．（2022高三上·辽宁开学考）设等差数列的前项和为，若则（　　）
A．150 B．120 C．75 D．60
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质可知，
所以，
.
故答案为：D
【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列前项和公式求出答案.
4．（2022高三上·辽宁开学考）在的展开式中，的系数为（　　）
A．10 B． C．30 D．
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
其中展开式的通项为，
所以展开式中含的项为，
所以的系数为；
故答案为：D
【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，从而求出的系数.
5．（2022高三上·辽宁开学考）已知函数，若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由题设，即，
而，
所以.
故答案为：B
【分析】 由已知先求出f(-x)+ f (x)，进而可求出答案.
6．（2022高三上·辽宁开学考）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由可得 ，
故，
而，
故，
即，
故答案为：C
【分析】根据两角差的正切公式求得，将化简为，根据齐次式的计算求得，即可求得答案.
7．（2022高三上·辽宁开学考）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（　　）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】当，时，，此时二氧化碳处于固态，A不符合题意.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，B不符合题意.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，C不符合题意.
当，时，因， 故此时二氧化碳处于超临界状态，D符合题意.
故答案为：D
【分析】计算每个选项的的值，结合T与图的关系，可判断出答案 .
8．（2022高三上·辽宁开学考）已知函数满足：，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】，
令得：，
因为，所以，
令，得：，
即，
则，
上面两式子联立得：，
所以，
故，
故是以6为周期的函数，
且
，
所以
故答案为：A
【分析】 根据题意，赋值求出，利用赋值法求出函数周期性，求出周期为6，进而求解出答案.
二、多选题
9．（2022高三上·辽宁开学考）已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．复数在复平面内对应的点在第四象限
B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数
D．复数的模
【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】，
故复数在复平面内对应的点在第三象限，A不符合题意；
所以复数的虚部为，B符合题意；
故复数的共轭复数，C不符合题意；
所以复数的模，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐项进行分析判断，可得答案.
10．（2022高三上·辽宁开学考）已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性
【解析】【解答】解：对于，它的最小正周期，A符合题意；
在，，又在上单调递增，所以函数在上单调递增，B符合题意；
当时，，所以，则的取值范围为，C符合题意；
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，D不符合题意；
故答案为：ABC．
【分析】求出函数的周期判断A；判断函数的单调性判断B；求解函数的值域判断C；利用函数的图象的变换判断D.
11．（2022高三上·辽宁开学考）已知正方体 的棱长为2，则（　　）
A．直线与所成的角为
B．直线与 所成的角为
C．点到平面的距离为
D．直线与平面所成的角为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】连接、，因为，
所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，
故直线与所成的角为，A符合题意；
连接，因为平面，平面，
则，
因为，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，B符合题意；
因为平面，平面，
则，又，平面，平面，
∴平面，设，
则为点到平面的距离，由题可得，
即点到平面的距离为，C不符合题意；
因为平面，
所以为直线与平面所成的角，易得，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用正方体的性质，根据异面直线所成角的概念可判断A；利用线面垂直的判定定理及性质定理可判断B；根据点到平面的距离可判断C；根据线面所成角可判断D.
12．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
此外，除官方给出答案外，还存在另一种切线与双曲线交于同一支的情况(以下只给出解析过程，目前暂未发现官方给出说明，故单选题题型与答案暂不更改)
如图所示，当切线与双曲线交于同一侧时，过点F2作F2⊥MN，由(1)得，OG1=a，易得F2H=2a，
又∵，
∴，
解得NF2=，
由，
∴NF1=，
在△NF1F2中，由余弦定理得
，
整理得：，
∴，故A选项亦正确，
故选：C(A选项亦正确).
【分析】依题意设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，可判断 在双曲线的右支，设 ， ，即可求出 ， ， ，在 中由 求出 ，再由正弦定理求出 ， ，最后根据双曲线的定义得到 ，即可得解.
三、填空题
13．（2022高三上·辽宁开学考）已知，则　 　
【答案】20
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，所以，
因为，
所以，
故答案为：20
【分析】 首先求得向量的平方，然后结合向量的运算法则计算其值，即可得答案.
14．（2022高三上·辽宁开学考）圆的过点的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】根据题意，圆的圆心为，半径，点在圆上，则，则切线的斜率，则切线的方程为，变形可得；
故答案为：
【分析】 根据题意，点在圆上，求出切线的斜率，即可得切线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案.
15．（2020高二上·舟山期末）过抛物线C： 的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则 的最小值为　 　.
【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】当 的斜率不存在的时候， 为通径且 ，故 .
当 的斜率存在的时候，设 ， ，
由 可得 ，
所以 .
又 .
又
当且仅当 时取等号.
故答案为：9.
【分析】先证明 ，再结合基本不等式即可得解.
16．（2022高三上·辽宁开学考）已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是　 　.
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形，
易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为．
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
故，
所以，两边平方整理得，再平方可得，所以（负值舍去）．
故球的体积．
故答案为：．
【分析】由题意圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形，易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为， 利用三角形与三角形用半径表示出梯形的高7，得到R的方程，求解出该球的体积 .
四、解答题
17．（2022高三上·辽宁开学考）已知数列的首项，，.
（1）证明：为等比数列；
（2）证明：．
【答案】（1）证明 ：因为，
所以．
又，所以数列是公比为3的等比数列．
（2）证明：因为数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，
所以，
所以，
所以．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)将已知递推公式 ， 两边同时加1，可得数列是公比为3的等比数列；
(2)根据(1)的结果计算出数列 的通项公式，得到数列{bn}的通项公式，再由裂项相消法求和证明出 ．
18．（2022高三上·辽宁开学考）在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足____(填写序号即可)．
（1）求角C的大小；
（2）若，求周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：若选①，因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以
若选②，因为，
由正弦定理得，
所以，即，
，，，
又，.
（2）解：由余弦定理得，
因此，
，当且仅当时等号成立，
所以的周长
因此的周长的最大值为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式化简即可求解；选②：利用正弦定理化简即可求解；
(2)利用正弦定理求出a， b的关系式，再利用三角函数的性质以及A的范围即可求解出 周长的最大值．
19．（2022高三上·辽宁开学考）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；
【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面，底面，则
又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则，所以
又，所以面
面，所以
（2）解：点D是线段BC的中点．取的中，则，且
由（1）可知面，则面
过作，垂足为，连结，
所以为D﹣CA1﹣A的平面角
由AA1＝AC＝4，则，则为等腰三角形，且，
所以， 直角三角形中，
在直角三角形中，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由条件先证明 面 ，从而可证明出 AB⊥A1C；
(2)取AB的中E，则可得 面， 过作，垂足为，连结， 所以 为D﹣CA1﹣A的平面角 ，然后在直角三角形EHD中求解出二面角D﹣CA1﹣A的余弦值.
20．（2022高三上·辽宁开学考）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲 乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
【答案】（1）解：因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；
（2）解：甲同学的两题得分的可能取值为
所以，，
，
所以的分布列为：
因此（分），
乙同学第11题可能得分为：，，
，
乙同学第12题可能得分为：，，
，
乙同学的两题得分的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
因此(分)，
因为，所以甲同学的方案更优.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)甲同学每题均随机选取一项，甲同学两题得分合计为4分，则两题均部分选对，即可求出 甲同学两题得分合计为4分的概率；
(2)甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，分别求出甲乙的概率，分布列及期望，再进行比较可得结论.
21．（2022高三上·辽宁开学考）已知椭圆的两个焦点为，点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
【答案】（1）解：由题意知，故可设椭圆方程为，
由在上可得，，
解得或（舍去），
故所求椭圆的方程为.
（2）解：设直线，，
把代入椭圆方程整理可得：
，
设，则，
，
从而得点，
在上式中以代替，得，
即直线的斜率为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据焦点坐标及椭圆过点列出方程即可求解出椭圆的方程；
(2) 设直线，联立椭圆方程，求出P点坐标，再由以以代替，求出Q点坐标，由两点坐标求出直线的斜率.
22．（2022·河南模拟）已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，，
的定义域为，．
若，则，所以在上单调递减；
若，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：因为，所以有两个零点，即有两个零点．
若，由（1）知，至多有一个零点．
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为．
①当时，由于，故只有一个零点：
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即．
又，故在上有一个零点．
存在，则．
又，因此在上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，由对函数的性质即可得出函数的单调性，再对a分情况讨论由此即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)由(1)的结论结合函数零点的定义，对a分情况讨论由零点存在性定理即可得出零点的个数，由此即可得出满足题意的a的取值范围。
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