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上海市八校联考2023届高三上学期数学开学考试试卷
一、填空题
1．（2022高三上·上海市开学考）已知集合，，则 ．
【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】，，
所以.
故答案为：
【分析】 直接利用并集运算的定义求解出答案.
2．（2022高三上·上海市开学考）在复平面内，复数z对应的点为，则 ．
【答案】2
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为复数z对应的点为，所以，
所以．
故答案为：2
【分析】 利用复数几何意义和运算法则直接求解出答案.
3．（2022高三上·上海市开学考）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为，
令，解得，即的系数为，
故答案为：1
【分析】 求出展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可求解出 的系数 .
4．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
5．（2022高三上·上海市开学考）已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则 ．
【答案】1
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设，由题意得，
当公比时，有，解得，．
当公比时， 是常数列，不满足是、的等差中项.
综上：，.
故答案为：1
【分析】 根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组，即可求解出答案.
6．（2022高三上·上海市开学考）已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】圆的圆心，
因为直线是圆的一条对称轴，
故直线经过圆心，即得，
则，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为．
故答案为：.
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得，再由基本不等式求得ab的最大值.
7．（2022高三上·上海市开学考）在中，，和的平分线交于点D．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，
由正弦定理得，
且有，联立得：，
因为CD平分，所以，
解得：，
是锐角，．
故答案为：
【分析】在△ABC中，结合正弦定理和正弦的二倍角公式，可得，再由余弦的二倍角公式求解出 的值 .
8．（2022高三上·上海市开学考）已知、是单位向量，且，设向量，当时，的最小值为 ．
【答案】
【知识点】向量的模；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】当时，，
则，
当时，的最小值为．
故答案为：
【分析】 由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解出 的最小值 .
9．（2022高三上·上海市开学考）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
【分析】令，由题意得的值域为，结合的值域为，即可求出实数的取值范围 .
10．（2022高三上·上海市开学考）已知，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；点到直线的距离公式
【解析】【解答】
变形得，
设，，
因为点的轨迹方程为：，且点在上，
所以，
整理得：，即，
解得.
所以的最大值为.
故答案为：
【分析】 依题意变形可得，即圆与直线有交点，再运用点到直线距离公式，可得关于的一元二次不等式，求解出的最大值.
11．（2022高三上·上海市开学考）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设瓷碗所在球的半径为R，则有，得，
设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离（也可在下方，此时）如图1所示，
则瓷碗的截面圆半径，面积为，
图2中，在以过球心的截面圆为底面圆，以为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，
易知，故圆环面积也为，
即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理，（备注：瓷碗是图3中上方倒扣的部分）
当时，如图4所示：
此时：
由祖暅原理得：图3中与之间部分几何体的体积：
圆柱的体积-圆锥的体积，
所以瓷碗的体积（注：半球体积）
故答案为：.
【分析】设瓷碗所在球的半径为R，则有，得，由题意构造几何体，然后结合祖恒原理求解出该球形瓷碗的体积 .
12．（2022高三上·上海市开学考）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【解答】由曲线上存在点，使得，即，
下面证明，因为在定义域上严格递增，
假设，则，
不满足，同理，不满足，
所以，那么函数，
即函数在有解，所以，
即，，令，
则，
，，单调递增，
又，所以，所以a的取值范围是．
故答案为：
【分析】根据证明，即函数在有解，即求，的范围，对函数利用导数即可求出 a的取值范围 .
二、单选题
13．下列说法中正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两个平面平行
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；
由平面平行的判定定理知垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确；
平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；
垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确．
故选B．
【分析】平行于同一直线的两个平面相交或平行；由平面平行的判定定理知B正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两个平面平行或相交．
14．（2021高二下·河北期末）假设 ， 是两个事件，且 ， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A选项，由 ， 可知 ，A选项正确；
对于B选项， 成立的条件为 ， 是两个独立事件，故错误；
对于C选项，由 ，故当 时才有 ，故错误；
对于D选项，由题知 ，故 ，即 ， 是两个独立事件时 成立，故错误.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合条件概率公式，再利用独立事件乘法求概率公式，从而求出结论一定成立的选项。
15．（2022高三上·上海市开学考）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：
因为，则，且，
由图可知，不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据图中信息作出函数、的图象，数形结合，可求出不等式的解集.
16．（2022高三上·上海市开学考）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（ ）
①的图象关于直线对称；②在上是增函数；
③的最大值为；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】①因为，
所以的图象不关于直线对称，错误；
②，
当时，，则，
所以在上是增函数，正确；
③因为的周期为，的周期为，所以的周期为，不妨取一个周期上求其最值，
令得或，当或时，，此时，所以在和上递增，当时，，此时，但不恒为零，所以在上递减，又，所以，，所以正确；
④若，不妨取，，
因为，，，
所以，正确．
故答案为：C．
【分析】 根据三角函数的对称性判断A；根据三角函数的单调性判断B；利用导数求最值判断答案C；根据三角函数的最值判断答案D.
三、解答题
17．（2022高三上·上海市开学考）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽车销量占比
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，
则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．
（2）解：由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽年销量 0.0625 0.112 0.168 0.275 0.456 0.54 1.16
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，
则随机变量X可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
所以．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据销量图列式求解即可求出这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
(2)求得X的可能取值及对应概率，求出 X的分布列 ，进而求得数学期望．
18．（2021高二上·越秀期末）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且．
（1）求的离心率；
（2）若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程．
【答案】（1）解：由已知得，的方程为，由通径可知，，，因为，得，又，化简得，解得，所以的离心率为.
（2）解：由（1）得，，所以的四个顶点坐标为，的准线方程为，则由已知得，所以得，可得的标准方程为，的标准方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)由已知条件结合抛物线的简单性质，即可求出a与c的关系，然后由椭圆里a、b、c的关系以及离心率公式，由整体思想计算出e的取值。
(2)由(1)的结论即可求出点的坐标，由此即可求出抛物线准线的方程，从而求出a、b、c的取值，进而得出椭圆和抛物线的方程。
19．（2022高三上·上海市开学考）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设半面平面，，平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：，平面，平面，平面，
因为四边形为矩形，则，
平面，平面，平面，
，、平面，因此，平面平面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为平面平面，且平面的一个法向量为，
所以，平面的一个法向量为，故，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)证明出AB//平面CDF，AE//平面CDF，再利用面面平行的判定定理可证得平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值．
20．（2022高三上·上海市开学考）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围；
（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得：
，
故曲线在点处的切线的方程.
（2）解：由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，
故①且，解得
②且，解得
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
综上：的取值范围为.
（3）解：可以分三种情况讨论：①②③
若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；
若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值，故的取值范围.
若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；
综上所述函数存在最小值， 的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)函数 ，f(0)= 1通过求导可得f'(x)，可得切线斜率f'(0)，利用点斜式可求得曲线在点处的切线的方程；
(2) ， ，通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可求出 的取值范围；
(3)结合(2)可得 或 时，f (x)不存在最小值，对 时， 趋向， 趋向于0 ，即可求解得a的取值范围.
21．（2022高三上·上海市开学考）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.
【答案】（1）是，
∵，
∴，
当时，，
故，
那么当时，，符合题意，
故数列是数列；
（2）解：由题意知，该数列的前项和为，，
由数列是数列，可知，故公差，
对满足的任意都成立，则，解得，
故的取值范围为；
（3）解：(3)①若是数列，则，
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
由，，故，可得；
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
又当时，当时不成立，
故有或，解得，
∴当是数列时，与满足的条件为或；
②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数，
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；
若中的每一项都在中，同理可得；
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，
不妨设，中最大的项在中，设为，
则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.
【知识点】函数恒成立问题；数列递推式
【解析】【分析】(1)求出数列 的通项，根据P数列的定义判断，即可得数列是数列；
(2)由P数列的定义建立不等式，求解即可得 的取值范围；
(3)通过反证法即可得出结论.
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上海市八校联考2023届高三上学期数学开学考试试卷
一、填空题
1．（2022高三上·上海市开学考）已知集合，，则 ．
2．（2022高三上·上海市开学考）在复平面内，复数z对应的点为，则 ．
3．（2022高三上·上海市开学考）在的展开式中，的系数为 ．
4．（2021·全国乙卷）已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为 .
5．（2022高三上·上海市开学考）已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则 ．
6．（2022高三上·上海市开学考）已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为 ．
7．（2022高三上·上海市开学考）在中，，和的平分线交于点D．若，则的值为 ．
8．（2022高三上·上海市开学考）已知、是单位向量，且，设向量，当时，的最小值为 ．
9．（2022高三上·上海市开学考）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
10．（2022高三上·上海市开学考）已知，则的最大值为 ．
11．（2022高三上·上海市开学考）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为 ．
12．（2022高三上·上海市开学考）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ．
二、单选题
13．下列说法中正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两个平面平行
14．（2021高二下·河北期末）假设 ， 是两个事件，且 ， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022高三上·上海市开学考）已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022高三上·上海市开学考）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（ ）
①的图象关于直线对称；②在上是增函数；
③的最大值为；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．（2022高三上·上海市开学考）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽车销量占比
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
18．（2021高二上·越秀期末）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且．
（1）求的离心率；
（2）若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程．
19．（2022高三上·上海市开学考）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设半面平面，，平面，求二面角的正弦值．
20．（2022高三上·上海市开学考）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）若函数在处取得极大值，求的取值范围；
（3）若函数存在最小值，直接写出的取值范围.
21．（2022高三上·上海市开学考）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】，，
所以.
故答案为：
【分析】 直接利用并集运算的定义求解出答案.
2．【答案】2
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为复数z对应的点为，所以，
所以．
故答案为：2
【分析】 利用复数几何意义和运算法则直接求解出答案.
3．【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为，
令，解得，即的系数为，
故答案为：1
【分析】 求出展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可求解出 的系数 .
4．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
5．【答案】1
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设，由题意得，
当公比时，有，解得，．
当公比时， 是常数列，不满足是、的等差中项.
综上：，.
故答案为：1
【分析】 根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组，即可求解出答案.
6．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】圆的圆心，
因为直线是圆的一条对称轴，
故直线经过圆心，即得，
则，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为．
故答案为：.
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得，再由基本不等式求得ab的最大值.
7．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，
由正弦定理得，
且有，联立得：，
因为CD平分，所以，
解得：，
是锐角，．
故答案为：
【分析】在△ABC中，结合正弦定理和正弦的二倍角公式，可得，再由余弦的二倍角公式求解出 的值 .
8．【答案】
【知识点】向量的模；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】当时，，
则，
当时，的最小值为．
故答案为：
【分析】 由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解出 的最小值 .
9．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
【分析】令，由题意得的值域为，结合的值域为，即可求出实数的取值范围 .
10．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；点到直线的距离公式
【解析】【解答】
变形得，
设，，
因为点的轨迹方程为：，且点在上，
所以，
整理得：，即，
解得.
所以的最大值为.
故答案为：
【分析】 依题意变形可得，即圆与直线有交点，再运用点到直线距离公式，可得关于的一元二次不等式，求解出的最大值.
11．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设瓷碗所在球的半径为R，则有，得，
设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离（也可在下方，此时）如图1所示，
则瓷碗的截面圆半径，面积为，
图2中，在以过球心的截面圆为底面圆，以为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，
易知，故圆环面积也为，
即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理，（备注：瓷碗是图3中上方倒扣的部分）
当时，如图4所示：
此时：
由祖暅原理得：图3中与之间部分几何体的体积：
圆柱的体积-圆锥的体积，
所以瓷碗的体积（注：半球体积）
故答案为：.
【分析】设瓷碗所在球的半径为R，则有，得，由题意构造几何体，然后结合祖恒原理求解出该球形瓷碗的体积 .
12．【答案】．
【知识点】分析法和综合法
【解析】【解答】由曲线上存在点，使得，即，
下面证明，因为在定义域上严格递增，
假设，则，
不满足，同理，不满足，
所以，那么函数，
即函数在有解，所以，
即，，令，
则，
，，单调递增，
又，所以，所以a的取值范围是．
故答案为：
【分析】根据证明，即函数在有解，即求，的范围，对函数利用导数即可求出 a的取值范围 .
13．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；
由平面平行的判定定理知垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确；
平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；
垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确．
故选B．
【分析】平行于同一直线的两个平面相交或平行；由平面平行的判定定理知B正确；平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两个平面平行或相交．
14．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A选项，由 ， 可知 ，A选项正确；
对于B选项， 成立的条件为 ， 是两个独立事件，故错误；
对于C选项，由 ，故当 时才有 ，故错误；
对于D选项，由题知 ，故 ，即 ， 是两个独立事件时 成立，故错误.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合条件概率公式，再利用独立事件乘法求概率公式，从而求出结论一定成立的选项。
15．【答案】C
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】根据图中信息作出函数、的图象如下图所示：
因为，则，且，
由图可知，不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据图中信息作出函数、的图象，数形结合，可求出不等式的解集.
16．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】①因为，
所以的图象不关于直线对称，错误；
②，
当时，，则，
所以在上是增函数，正确；
③因为的周期为，的周期为，所以的周期为，不妨取一个周期上求其最值，
令得或，当或时，，此时，所以在和上递增，当时，，此时，但不恒为零，所以在上递减，又，所以，，所以正确；
④若，不妨取，，
因为，，，
所以，正确．
故答案为：C．
【分析】 根据三角函数的对称性判断A；根据三角函数的单调性判断B；利用导数求最值判断答案C；根据三角函数的最值判断答案D.
17．【答案】（1）解：由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，
则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．
（2）解：由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽年销量 0.0625 0.112 0.168 0.275 0.456 0.54 1.16
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，
则随机变量X可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为
所以．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据销量图列式求解即可求出这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
(2)求得X的可能取值及对应概率，求出 X的分布列 ，进而求得数学期望．
18．【答案】（1）解：由已知得，的方程为，由通径可知，，，因为，得，又，化简得，解得，所以的离心率为.
（2）解：由（1）得，，所以的四个顶点坐标为，的准线方程为，则由已知得，所以得，可得的标准方程为，的标准方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)由已知条件结合抛物线的简单性质，即可求出a与c的关系，然后由椭圆里a、b、c的关系以及离心率公式，由整体思想计算出e的取值。
(2)由(1)的结论即可求出点的坐标，由此即可求出抛物线准线的方程，从而求出a、b、c的取值，进而得出椭圆和抛物线的方程。
19．【答案】（1）证明：，平面，平面，平面，
因为四边形为矩形，则，
平面，平面，平面，
，、平面，因此，平面平面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
因为平面平面，且平面的一个法向量为，
所以，平面的一个法向量为，故，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】 (1)证明出AB//平面CDF，AE//平面CDF，再利用面面平行的判定定理可证得平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值．
20．【答案】（1）解：由题意得：
，
故曲线在点处的切线的方程.
（2）解：由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，
故①且，解得
②且，解得
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
综上：的取值范围为.
（3）解：可以分三种情况讨论：①②③
若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；
若时，当时，趋向时，趋向于0；当 ，要使函数取得存在最小值，解得，故 处取得最小值，故的取值范围.
若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；
综上所述函数存在最小值， 的取值范围.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)函数 ，f(0)= 1通过求导可得f'(x)，可得切线斜率f'(0)，利用点斜式可求得曲线在点处的切线的方程；
(2) ， ，通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可求出 的取值范围；
(3)结合(2)可得 或 时，f (x)不存在最小值，对 时， 趋向， 趋向于0 ，即可求解得a的取值范围.
21．【答案】（1）是，
∵，
∴，
当时，，
故，
那么当时，，符合题意，
故数列是数列；
（2）解：由题意知，该数列的前项和为，，
由数列是数列，可知，故公差，
对满足的任意都成立，则，解得，
故的取值范围为；
（3）解：(3)①若是数列，则，
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
由，，故，可得；
若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，
又当时，当时不成立，
故有或，解得，
∴当是数列时，与满足的条件为或；
②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数，
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；
若中的每一项都在中，同理可得；
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，
不妨设，中最大的项在中，设为，
则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.
【知识点】函数恒成立问题；数列递推式
【解析】【分析】(1)求出数列 的通项，根据P数列的定义判断，即可得数列是数列；
(2)由P数列的定义建立不等式，求解即可得 的取值范围；
(3)通过反证法即可得出结论.
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