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江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期数学期初学业质量监测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·海安开学考）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】因为圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为，
所以该圆锥的体积为。
故答案为：C
【分析】利用圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为，再利用圆锥的体积公式得出该圆锥的体积。
2．（2022高三上·海安开学考）“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10
频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，
又，
故四分位数（第75百分位数）是9。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合四分位数的求解方法和统计表中的数据，进而得出这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数） 。
3．（2022高三上·海安开学考）设函数，，则函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】依题意，，则得：，即函数的定义域为，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为。
故答案为：B
【分析】依题意，，则，再利用一元二次不等式求解集的方法得出x的取值范围，进而得出函数的定义域，再利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，进而得出复合函数的单调递减区间。
4．（2022高三上·海安开学考）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A．-365 B．-364 C．364 D．365
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】的展开式通项公式为，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式中的所有奇数项的系数，再利用求和法得出展开式中的所有奇数项的系数和。
5．（2022高三上·海安开学考）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】函数的值；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值
【解析】【解答】由给定的图象知，
，，
即，
因函数图象的对称轴方程为，
则的最小正周期，，
而，显然有，
即，解得，所以。
故答案为：A
【分析】由给定的图象知，，再结合辅助角公式得出，再利用正弦型函数的图象求出其最大值，再利用函数图象的对称轴方程为，则的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用函数的解析式和代入法以及绝对值的定义得出A的值，从而得出函数值。
6．（2022高三上·海安开学考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，所以在定义域上单调递减，
所以当时，，即，所以，
又，，且，，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性和正弦函数的图象的单调性、再结合指数函数的单调性，进而比较出a，b，c三者的大小。
二、多选题
7．（2022高三上·海安开学考）在正方体中，已知为棱的中点，上底面的中心，下列图形中，的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若分别是的中点，易知且，
所以共面，易知：面面，
而，，所以，
面面，面，则面，
又面，故，即A选项中正确；
又，若正方体棱长为2，则，，故，
所以不垂直，即不垂直，即B选项中错误；
由，则，，故，
所以不垂直，即不垂直，即C选项中错误；
由，而，又面A1B1C1D1，面A1B1C1D1，则，
，面，则面，
又面，则，故，即D选项中正确.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合四点共面判断方法、线面垂直的定义、勾股定理，再结合垂直的传递性，进而找出满足的正方体选项。
8．（2022高三上·海安开学考）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，A不符合题意；
由，即，解得，所以直线与相切，B符合题意；
设点，所以，
所以，C符合题意；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，D符合题意。
故答案为：BCD
【分析】将抛物线：转化为标准方程，从而得出焦点坐标和准线方程；再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法，从而判断出直线与相切；设点，再利用勾股定理和二次函数的图象求最值的方法得出的值；过点作准线，交于点，，再利用勾股定理得出的值，再利用三角形的周长公式和几何法得出当且仅当、、三点共线时取三角形 的周长的最小值 。
9．（2022高三上·海安开学考）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ）
A．
B．一等奖与三等奖的作品数之比为
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，
则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，
女生获一、二、三等奖的作品数为、、，
因为，所以，
所以，A符合题意；
，C不符合题意；
一等奖与三等奖的作品数之比为，B符合题意；
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出正确的选项。
10．（2022高三上·海安开学考）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的解析式唯一
C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的周期性
【解析】【解答】因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，A符合题意；
令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B不符合题意；
若是周期为的函数，则，所以，又，
所以，C符合题意；
因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用结合赋值法得出的值，再利用赋值法得出
，所以，再利用奇函数的定义判断出函数为奇函数；令，则，所以，
满足，故的解析式不唯一；若是周期为的函数，进而结合周期函数的定义得出，再利用，所以；当时，，所以，当时，，则，设任意的，且，则，所以，再利用，且结合增函数的定义判断出是上的增函数，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
11．（2022高三上·海安开学考）在边长为6的等边三角形中，若，则 .
【答案】-6
【知识点】向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义
【解析】【解答】由，
所以。
故答案为：-6。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，再结合数量积的定义得出的值。
12．（2022高三上·海安开学考）已知，，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，则，所以，，
所以，
。
故答案为：。
【分析】利用结合不等式的基本性质得出的取值范围，再利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合角之间的关系式和两角和的余弦公式得出的值。
13．（2022高三上·海安开学考）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 .
【答案】（3，4）
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】设的中点为，即，所以，又，
所以，
所以直线为，又圆：，
所以，解得或，
所以。
故答案为：（3，4）。
【分析】设的中点为，再利用中点坐标公式得出点M的坐标，再结合两点求斜率公式得出的值，再由结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线AB的斜率，再结合点斜式求出直线的方程，再利用圆：结合直线与圆相交，联立二者方程求出满足要求的交点B的坐标。
14．（2022高三上·海安开学考）已知函数的零点为、、，且，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点
【解析】【解答】由可得，构造函数，该函数的定义域为，
，
所以，函数为上的奇函数，则，
因为函数有三个零点、、且，
故函数有三个零点、、且，且，，故，
所以，，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数零点求解方法，进而得出，令，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而得出 的最小值 。
四、解答题
15．（2022高三上·海安开学考）记的内角A，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求角的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理结合，
可得，
即，
故，所以，
故.
（2）解：由（1）得，
故 ，
当且仅当即时取等号，
故.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而得出a，b的关系式，从而变形得出 的值。
（2） 由（1）得，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法得出角B的余弦值的取值范围，进而结合余弦函数的图象求出角B的取值范围。
16．（2022高三上·海安开学考）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
（1）若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
（2）当为何值时，概率最大？并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以，.
（2）解：由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
因为，故当时，最大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量Y的可能的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量Y的分布列，再结合随机变量Y的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Y的数学期望。
（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式结合函数最值求解方法，进而得出对应的实数k的取值范围，从而得出概率最大时的k的值。
17．（2022高三上·海安开学考）已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）（i）求证：；
（ii）求所有满足的正整数，.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，
设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）解：（i）由（1）知，，
当时，，此时数列是递减的，恒有，
当时，，此时数列是递增的，恒有，
又，，即，
所以，.
（ii）由（i）知，，当时，，若，则，解得，
即有，当时，，即，解得，
当时，，即，即，无整数解，
当时，，即，解得，
所以或.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出数列的通项公式，再利用等差数列的通项公式和已知条件得出等差数列的首项和公差，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） （i）由（1）结合等比数列前n项和公式和分类讨论的方法，再结合数列的单调性，进而求出数列的最大值和最小值，进而证出，。
（ii）由（i）知，，当时，，若，则，进而得出实数k的取值范围，即有，再利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式得出所有满足的正整数，m的值。
18．（2022高三上·海安开学考）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，，且，，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：在四棱锥中，取PB的中点E，连OE，CE，如图，
因为棱的中点，则，，
因平面，有平面，而平面，则，
则有，在直角梯形中，，又是边长为2的等边三角形，
即，又，因此，而，则，
于是得四边形为平行四边形，有，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：因，，则，由（1）知，
即，解得，有，
延长BC，AD交于点Q，连PQ，由且得：点D是AQ中点，即有，
因此，即，由平面，平面，得，
而，平面，则平面，平面，即得，
因此是二面角的平面角，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 在四棱锥中，取PB的中点E，连OE，CE，再利用为棱的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，，再利用
平面，有平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用勾股定理得出，在直角梯形中结合勾股定理得出，再利用是边长为2的等边三角形，得出的长，再利用，因此，而，再结合中点的性质得出，于是得出四边形为平行四边形，有，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2）利用 ，，则，由（1）结合勾股定理得出，进而得出CD的长，进而得出AB，PB的长，延长BC，AD交于点Q，连接PQ，由且得：点D是AQ中点，即有，因此，即，由平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，则平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，因此是二面角的平面角，进而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
19．（2022高三上·海安开学考）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】（1）解：由椭圆：的离心率为，短轴长为2，
可知 ，则 ，
故的方程为；
（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
设，
联立，可得，
，
则，
所以，
又，所以，
解得，
从而 ，
故，即为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和短轴长求解方法，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用中点坐标公式和代入法得出点P的坐标，再利用，所以，进而得出点N的坐标，再结合两点求斜率公式证出为定值。
20．（2022高三上·海安开学考）已知函数.
（1）求证：函数存在唯一的极大值点；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】（1）证明：因为，故，令，易得在上为减函数，且，，故在上有唯一零点.
故在上，上单调递增；在上，上单调递减，故函数存在唯一的极大值点.
（2）解：恒成立即，设，则.
，，易得在定义域上为增函数，且，，故在上有唯一零点.
故在上，单调递减；在上，单调递增.
又，且，若恒成立，则为极大值点，此时，解得，此时在上，单调递增，在上，单调递减，故恒成立.
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判定函数的单调性，进而证出函数存在唯一的极大值点。
（2）利用 恒成立，即，设，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数零点存在性定理，进而判断出在定义域上为增函数和函数在上有唯一零点，进而结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，若恒成立，则为极大值点，再利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，从而得出函数的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出满足要求的实数k的值。
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江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期数学期初学业质量监测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·海安开学考）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·海安开学考）“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10
频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．10
3．（2022高三上·海安开学考）设函数，，则函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·海安开学考）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A．-365 B．-364 C．364 D．365
5．（2022高三上·海安开学考）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
6．（2022高三上·海安开学考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022高三上·海安开学考）在正方体中，已知为棱的中点，上底面的中心，下列图形中，的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高三上·海安开学考）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
9．（2022高三上·海安开学考）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ）
A．
B．一等奖与三等奖的作品数之比为
C．
D．
10．（2022高三上·海安开学考）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的解析式唯一
C．若是周期为的函数，则
D．若时，，则是上的增函数
三、填空题
11．（2022高三上·海安开学考）在边长为6的等边三角形中，若，则 .
12．（2022高三上·海安开学考）已知，，则 .
13．（2022高三上·海安开学考）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 .
14．（2022高三上·海安开学考）已知函数的零点为、、，且，则的最小值是 .
四、解答题
15．（2022高三上·海安开学考）记的内角A，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，求角的取值范围.
16．（2022高三上·海安开学考）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.
（1）若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；
（2）当为何值时，概率最大？并说明理由.
17．（2022高三上·海安开学考）已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）（i）求证：；
（ii）求所有满足的正整数，.
18．（2022高三上·海安开学考）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，，且，，为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（2022高三上·海安开学考）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
20．（2022高三上·海安开学考）已知函数.
（1）求证：函数存在唯一的极大值点；
（2）若恒成立，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】因为圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为，
所以该圆锥的体积为。
故答案为：C
【分析】利用圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，其底面圆半径为，高为，再利用圆锥的体积公式得出该圆锥的体积。
2．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，
又，
故四分位数（第75百分位数）是9。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合四分位数的求解方法和统计表中的数据，进而得出这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数） 。
3．【答案】B
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】依题意，，则得：，即函数的定义域为，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为。
故答案为：B
【分析】依题意，，则，再利用一元二次不等式求解集的方法得出x的取值范围，进而得出函数的定义域，再利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，进而得出复合函数的单调递减区间。
4．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】的展开式通项公式为，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出展开式中的所有奇数项的系数，再利用求和法得出展开式中的所有奇数项的系数和。
5．【答案】A
【知识点】函数的值；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值
【解析】【解答】由给定的图象知，
，，
即，
因函数图象的对称轴方程为，
则的最小正周期，，
而，显然有，
即，解得，所以。
故答案为：A
【分析】由给定的图象知，，再结合辅助角公式得出，再利用正弦型函数的图象求出其最大值，再利用函数图象的对称轴方程为，则的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用函数的解析式和代入法以及绝对值的定义得出A的值，从而得出函数值。
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，所以在定义域上单调递减，
所以当时，，即，所以，
又，，且，，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性和正弦函数的图象的单调性、再结合指数函数的单调性，进而比较出a，b，c三者的大小。
7．【答案】A,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若分别是的中点，易知且，
所以共面，易知：面面，
而，，所以，
面面，面，则面，
又面，故，即A选项中正确；
又，若正方体棱长为2，则，，故，
所以不垂直，即不垂直，即B选项中错误；
由，则，，故，
所以不垂直，即不垂直，即C选项中错误；
由，而，又面A1B1C1D1，面A1B1C1D1，则，
，面，则面，
又面，则，故，即D选项中正确.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合四点共面判断方法、线面垂直的定义、勾股定理，再结合垂直的传递性，进而找出满足的正方体选项。
8．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，A不符合题意；
由，即，解得，所以直线与相切，B符合题意；
设点，所以，
所以，C符合题意；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，D符合题意。
故答案为：BCD
【分析】将抛物线：转化为标准方程，从而得出焦点坐标和准线方程；再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法，从而判断出直线与相切；设点，再利用勾股定理和二次函数的图象求最值的方法得出的值；过点作准线，交于点，，再利用勾股定理得出的值，再利用三角形的周长公式和几何法得出当且仅当、、三点共线时取三角形 的周长的最小值 。
9．【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，
则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，
女生获一、二、三等奖的作品数为、、，
因为，所以，
所以，A符合题意；
，C不符合题意；
一等奖与三等奖的作品数之比为，B符合题意；
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的周期性
【解析】【解答】因为，令，可得，解得，
再令，所以，即，所以，所以为奇函数，A符合题意；
令，
则，
，
满足，故的解析式不唯一，即B不符合题意；
若是周期为的函数，则，所以，又，
所以，C符合题意；
因为当时，，所以当时，则，
设任意的，且，则，
所以，因为，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，又，
且当时，，当时，则，
所以是上的增函数，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用结合赋值法得出的值，再利用赋值法得出
，所以，再利用奇函数的定义判断出函数为奇函数；令，则，所以，
满足，故的解析式不唯一；若是周期为的函数，进而结合周期函数的定义得出，再利用，所以；当时，，所以，当时，，则，设任意的，且，则，所以，再利用，且结合增函数的定义判断出是上的增函数，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】-6
【知识点】向量的三角形法则；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的含义与物理意义
【解析】【解答】由，
所以。
故答案为：-6。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，再结合数量积的定义得出的值。
12．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，则，所以，，
所以，
。
故答案为：。
【分析】利用结合不等式的基本性质得出的取值范围，再利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合角之间的关系式和两角和的余弦公式得出的值。
13．【答案】（3，4）
【知识点】两条直线垂直的判定；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】设的中点为，即，所以，又，
所以，
所以直线为，又圆：，
所以，解得或，
所以。
故答案为：（3，4）。
【分析】设的中点为，再利用中点坐标公式得出点M的坐标，再结合两点求斜率公式得出的值，再由结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线AB的斜率，再结合点斜式求出直线的方程，再利用圆：结合直线与圆相交，联立二者方程求出满足要求的交点B的坐标。
14．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点
【解析】【解答】由可得，构造函数，该函数的定义域为，
，
所以，函数为上的奇函数，则，
因为函数有三个零点、、且，
故函数有三个零点、、且，且，，故，
所以，，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数零点求解方法，进而得出，令，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而得出 的最小值 。
15．【答案】（1）解：由正弦定理结合，
可得，
即，
故，所以，
故.
（2）解：由（1）得，
故 ，
当且仅当即时取等号，
故.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，进而得出a，b的关系式，从而变形得出 的值。
（2） 由（1）得，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法得出角B的余弦值的取值范围，进而结合余弦函数的图象求出角B的取值范围。
16．【答案】（1）解：由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以，.
（2）解：由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
因为，故当时，最大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量Y的可能的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量Y的分布列，再结合随机变量Y的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Y的数学期望。
（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式结合函数最值求解方法，进而得出对应的实数k的取值范围，从而得出概率最大时的k的值。
17．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，
设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）解：（i）由（1）知，，
当时，，此时数列是递减的，恒有，
当时，，此时数列是递增的，恒有，
又，，即，
所以，.
（ii）由（i）知，，当时，，若，则，解得，
即有，当时，，即，解得，
当时，，即，即，无整数解，
当时，，即，解得，
所以或.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出数列的通项公式，再利用等差数列的通项公式和已知条件得出等差数列的首项和公差，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） （i）由（1）结合等比数列前n项和公式和分类讨论的方法，再结合数列的单调性，进而求出数列的最大值和最小值，进而证出，。
（ii）由（i）知，，当时，，若，则，进而得出实数k的取值范围，即有，再利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式得出所有满足的正整数，m的值。
18．【答案】（1）证明：在四棱锥中，取PB的中点E，连OE，CE，如图，
因为棱的中点，则，，
因平面，有平面，而平面，则，
则有，在直角梯形中，，又是边长为2的等边三角形，
即，又，因此，而，则，
于是得四边形为平行四边形，有，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：因，，则，由（1）知，
即，解得，有，
延长BC，AD交于点Q，连PQ，由且得：点D是AQ中点，即有，
因此，即，由平面，平面，得，
而，平面，则平面，平面，即得，
因此是二面角的平面角，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 在四棱锥中，取PB的中点E，连OE，CE，再利用为棱的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，，再利用
平面，有平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用勾股定理得出，在直角梯形中结合勾股定理得出，再利用是边长为2的等边三角形，得出的长，再利用，因此，而，再结合中点的性质得出，于是得出四边形为平行四边形，有，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2）利用 ，，则，由（1）结合勾股定理得出，进而得出CD的长，进而得出AB，PB的长，延长BC，AD交于点Q，连接PQ，由且得：点D是AQ中点，即有，因此，即，由平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，则平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，因此是二面角的平面角，进而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
19．【答案】（1）解：由椭圆：的离心率为，短轴长为2，
可知 ，则 ，
故的方程为；
（2）证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
设，
联立，可得，
，
则，
所以，
又，所以，
解得，
从而 ，
故，即为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式和短轴长求解方法，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出a，b，c的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2） 由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出k的取值范围，再结合韦达定理得出，再利用中点坐标公式和代入法得出点P的坐标，再利用，所以，进而得出点N的坐标，再结合两点求斜率公式证出为定值。
20．【答案】（1）证明：因为，故，令，易得在上为减函数，且，，故在上有唯一零点.
故在上，上单调递增；在上，上单调递减，故函数存在唯一的极大值点.
（2）解：恒成立即，设，则.
，，易得在定义域上为增函数，且，，故在上有唯一零点.
故在上，单调递减；在上，单调递增.
又，且，若恒成立，则为极大值点，此时，解得，此时在上，单调递增，在上，单调递减，故恒成立.
故.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判定函数的单调性，进而证出函数存在唯一的极大值点。
（2）利用 恒成立，即，设，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数零点存在性定理，进而判断出在定义域上为增函数和函数在上有唯一零点，进而结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，若恒成立，则为极大值点，再利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，从而得出函数的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而得出满足要求的实数k的值。
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