湖南省湘潭市2022-2023学年高三上学期数学入学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湘潭开学考）已知集合，，则（ ）
A．{1} B．{-1}
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵且，∴．
故答案为：A．
【分析】 分别解出集合A、B，再利用交集的定义可得答案.
2．（2022高三上·湘潭开学考）复数（ ）
A．-1 B．1 C． D．i
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
3．（2022高三上·湘潭开学考）若函数的图象由函数的图象经过以下变换得到的， 则该变换为（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，函数，
所以函数向右平移 个单位长度，即可得到.
故答案为：D.
【分析】 利用诱导公式，函数y=Asin(x +φ)的图象变换规律，得出答案.
4．（2022高三上·湘潭开学考）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】过作交于，连接，
因为，∴，故共面，
因为 平面 ，平面平面 ，平面，
所以，又，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴，
所以.
故答案为：B．
【分析】过作交于，连接，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即可求出的值.
5．（2022高三上·湘潭开学考）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故答案为：B．
【分析】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为，根据题意分别求出，，，的值，再由全概率公式求得，即可求出的值.
6．（2022高三上·湘潭开学考）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点的切线为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数，满足．应用上述方法，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，又，
所以在点的切线方程为，
令得，所以在点的切线方程为，
令，得，所以，所以在点的切线方程为，
令，得，
故答案为：C．
【分析】根据新定义进行计算可得答案.
7．（2022高三上·湘潭开学考）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】如图所示：
因为，
所以，
于是有，
又，当且仅当时取等号，
所以.
故答案为：A
【分析】 首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可求出 的最小值 .
8．（2022高三上·湘潭开学考）已知 ， ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设函数，则，令函数，则，所以函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以，即，所以．
因为，易证当时，，所以，而，所以，所以，
故答案为：A．
【分析】设函数，利用导数分析其单调性，从而可求出答案.
二、多选题
9．（2022高三上·湘潭开学考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数的最大值是
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于直线对称
【答案】A,C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为，
所以是周期为2的周期函数，其最大值是，所以A符合题意，B不符合题意；
因为，所以C符合题意D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式可得，进而利用正弦函数的性质，逐项求解可得答案.
10．（2022高三上·湘潭开学考）已知函数 ， 则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 是其定义域上的减函数
B．函数 是其定义域上的减函数
C．函数 是其定义域上的增函数
D．函数 是其定义域上的增函数
【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】对于A，因为函数的定义域为，函数在上单调递减，所以A符合题意；
对于B，因为函数的定义域为，函数和在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B符合题意；
对于C，因为函数的定义域为，函数是偶函数，所以函数在上不可能是单调函数，所以C不符合题意；
对于D，因为函数的定义域为，函数和在上单调递增，所以函数在上为增函数，所以D符合题意.
故答案为：ABD．
【分析】 由题意，利用对数的运算法则化简函数的解析式，再根据对数函数的单调性，得出答案.
11．（2022高三上·湘潭开学考）已知直线 与抛物线 交于 两点， 点 为坐标原点， 若线段的中点是 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，由得，所以，所以，
又点在直线l上，所以，所以A符合题意，B不符合题意；
对于C，因为直线l经过抛物线的焦点，所以，所以C符合题意；
对于D，因为，所以
，所以，所以D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】 联立直线与抛物线方程，结合中点坐标，利用韦达定理求出k，m的值，可判断A，B；利用弦长公式求解AB判断C ；利用向量数量积的运算进行性计算，判断D.
12．（2022高三上·湘潭开学考）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）
A．圆锥的表面积是
B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为
D．的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，
正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，
，则球O的半径，显然，，
，，
对于A，圆锥的表面积是，A不符合题意；
对于B，球O的体积是，B符合题意；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，
，当且仅当，即时取“=”，
则四棱锥体积的最大值为，C符合题意；
对于D，因，则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 根据给定条件，求出球O的半径，动点Q的轨迹圆O2的半径及线段O1O2长，再逐项计算判断，可得答案.
三、填空题
13．（2022高三上·湘潭开学考）设关于的不等式的解集为， 则的值等于 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，
所以、是方程的两根，所以，，
所以．
故答案为：-1
【分析】 由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，求得a，b的值，进而求出 的值 .
14．（2022高三上·湘潭开学考）设， 若， 则的所有可能取值的个数是 ．
【答案】3
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，且，即为系数的最大项，
由二项式系数性质知，的所有可能取值为，故的所有可能取值的个数是．
故答案为：3．
【分析】由二项式系数性质知，得出的所有可能取值.
15．（2022高三上·湘潭开学考）某灯泡厂对编号为 的十五个灯泡进行使用寿命试验， 得到奇数号灯泡的平均使用寿命 （单位： 小时）为 1580 ， 方差为 15000 ， 偶数号灯泡的平均使用寿命为 1580 ， 方差为 12000 ，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为 ．
【答案】13600
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意，十五个灯泡的平均使用寿命为，
所以方差．
故答案为：13600.
【分析】 根据题意，求出15个灯泡的平均使用寿命，进而由总体的方差公式计算可得答案.
16．（2022高三上·湘潭开学考）已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：
取的中点，连接．则．
由知，，
又因为点到渐近线的距离，
所以，即，
又，代入化简得，即，
解得或（舍去），故．
故答案为：
【分析】过点A作AP⊥MN于点P，根据点到直线的距离公式求得|AP|，然后分别在Rt△OAP和Rt△NPA中，由勾股定理，求得|OP|和|NP|，由 ，推出，代入运算，求解出双曲线的离心率 .
四、解答题
17．（2022高三上·湘潭开学考）设数列的前项和为，，数列是等差数列， 其前项和是， 且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求使得是数列中的项的的取值集合．
【答案】（1）解：由知，．
当时，，所以，所以数列是等比数列，
故数列的通项公式为．
又因为，所以数列的公差为，
故数列的通项公式为；
（2）解：由（1）知，，
而，所以当且仅当时，是数列中的项．
即所求的m的取值集合为
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)根据Sn与an的关系，即可求得 的通项，再根据b1 ， b5的值，即可求得 的通项；
(2)由(1)中结论，写出Tm，将其形式化为通项的形式，即可求出 的取值集合．
18．（2022高三上·湘潭开学考）设的内角的对边分别为，为钝角，且．
（1）探究与的关系并证明你的结论；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，
所以，即，
又因为，所以，
于是，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，所以，
所以，
令，则且，
所以，
当时，取得最大值，最大值为，
当或时，函数值为1，
所以的取值范围是．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由题意利用同角三角函数基本关系式、正弦定理、诱导公式化简已知等式，结合 ， 进而可求 ，即可求解出 与的关系.
(2)由(1)可得 ，令，化简可得
， 进而根据二次函数的性质即可求解出 的取值范围．
19．（2022高三上·湘潭开学考）如图，在四棱椎中，已知四边形是梯形，∥，，，是正三角形．
（1）求证：；
（2）当四棱锥体积最大时，求：
①点A到平面的距离；
②平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：如图，取AB的中点E，连接CE，AC．
∵，，
∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，
又，∴四边形AECD是矩形，∴．
∴，∴是等边三角形．
取BC的中点O，连接AO，则．
连接PO，∵，∴，
∵，平面PAO，
∴平面PAO，∵PA平面PAO，∴；
（2）解：①由(1)知，是等边三角形，∴，
∴梯形ABCD的面积为定值，
故当平面平面ABCD时，四棱锥体积最大．
∵，∴平面ABCD，∴，
∵OA⊥BC，BC∩PO=O，BC、PO平面PBC，∴平面PBC，
故此时点A到平面PBC的距离等于；
②∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由，可得．
∴，
．
设平面PAD的一个法向量为，
由得，可取，则．
设平面PAB的法向量为，
则，即，取，则，则．
设平面PAB与平面PAD的夹角为，则．
故所求的平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取AB的中点E，连接CE、AC，取BC中点，连接AO和PO，证明△ABC是等边三角形得AO⊥BC，结合线面垂直的判定方法证明 平面PAO ，即可证得 ；
(2)①由(1)可知底面梯形ABCD面积为定值，故当P到平面ABCD距离最大时，四棱锥体积最大，△PBC为等边三角形，边长确定，故当平面PBC⊥平面ABCD时，P到平面ABCD距离最大，且为△PBC的高，易证AO⊥平面PBC，故AO长度即为点A到平面的距离；
②以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 求出各点坐标，利用向量法即可求解出平面与平面夹角的余弦值．
20．（2022高三上·湘潭开学考）湘潭是伟人故里， 生态宜居之城， 市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度， 随机抽取了120位市民进行调查， 其结果如下： 回答 “满意” 的 “工薪族”人数是40人，回答 “不满意” 的“工薪族”人数是30人， 回答“满意”的“非工薪族”人数是 40人，回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是10人．
附：
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
参考公式： ， 其中 ．
（1）请根据以上数据填写下面 列联表， 并依据 的独立性检验， 分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联
满意 不满意 合计
工薪族
非工薪族
合计
（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率， 机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定： 抽样的次数不超过， 若随机抽取的市民属于不满意群体， 则抽样结束； 若随机抽取的市民属于满意群体， 则继续抽样， 直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.记此时抽样次数为 ．
(i) 若 ， 求 的分布列和数学期望；
(ii) 请写出 的数学期望的表达式 （不需证明）， 根据你的理解说明 的数学期望的实际意义．
【答案】（1）解：由题意可知
满意 不满意 合计
工薪族 40 30 70
非工薪族 40 10 50
合计 80 40 120
．
根据的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；
（2）解：(i)当时，的取值为1，2，3，4，5．
由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，
所以，
．
所以的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以；
(ii)由①得
令，①
所以②
①-②得
所以
当n趋向于正无穷大时趋向于3，可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不满意的市民．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据题意，补全分布列，根据公式计算出K2的值，即可求出市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关；
(2)利用独立事件的乘法公式计算概率即可得到分布列，进而求出 的数学期望的表达式 .
21．（2022高三上·湘潭开学考）如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点， 求证：的充要条件为．
【答案】（1）解：设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．
（2）证明：设，由题设知，直线MN的斜率存在，
不妨设直线MN的方程为，且，
由消去y并整理得，
则且，
由，可得，所以，
整理得，
可得，
整理得
所以，
可得，即，
将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，
所以的充要条件为．
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设点P的坐标为， 根据 ， 即可求得 点的轨迹的方程；
(2) 不妨设直线MN的方程为， 联立方程组求得 ， 根据 ，可得 ，求得 ， 又由∠ACM=∠ACN，求得，即可得证 ．
22．（2022高三上·湘潭开学考）已知 ．
（1）若在定义域上单调递增， 求的取值范围；
（2）设函数，其中，若存在两个不同的零点．
① 求的取值范围；
② 证明：．
【答案】（1）解：的定义域为在定义域上单调递增，
故恒成立，
依题意可知，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，故，即
（2）解：①解：因为，，
所以，
当时，，
由（1）可知时，恒成立，即有恒成立，
故．
当时，，
则，则，
令，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，从而．
当时，恒成立，此时单调递减，所以，
即，所以在上单调递减．
综上知，当时，单调递增，当时，单调递减，
由存在两个零点，得，即，从而．
设，可知当时，单调递增，
当时，单调递减，故，即，
由，
因此，取，则，且，
所以，
因此，在上存在一个零点．
又取，则，从，
因此，在 上也存在一个零点．
综上可知，a的取值范围为；
②证明：设，其中．
则，
由（1）可知，从而，
因此，
所以对任意，恒有，所以在上单调递减，
从而，
即．
令，则，又，且在上单调递减，
所以，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据函数的单调性可得不等式 恒成立，构造函数，利用其导数判断单调性，进而求得参数范围，函数以及取特殊值说明零点存在的范围，即可求得 的取值范围；
(2)①利用导数判断其单调性，结合g (x)存在两个不同的零点 ，利用构造新函数以及取特殊值说明零点存在的范围，即可求得参数范围；
②设，利用导数判断其单调性，从而可得
，即， 令，结合g (x)的单调性，即可证明出 ．
1 / 1湖南省湘潭市2022-2023学年高三上学期数学入学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湘潭开学考）已知集合，，则（ ）
A．{1} B．{-1}
C． D．
2．（2022高三上·湘潭开学考）复数（ ）
A．-1 B．1 C． D．i
3．（2022高三上·湘潭开学考）若函数的图象由函数的图象经过以下变换得到的， 则该变换为（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．（2022高三上·湘潭开学考）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·湘潭开学考）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·湘潭开学考）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点的切线为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数，满足．应用上述方法，则（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2022高三上·湘潭开学考）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
8．（2022高三上·湘潭开学考）已知 ， ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·湘潭开学考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数的最大值是
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于直线对称
10．（2022高三上·湘潭开学考）已知函数 ， 则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 是其定义域上的减函数
B．函数 是其定义域上的减函数
C．函数 是其定义域上的增函数
D．函数 是其定义域上的增函数
11．（2022高三上·湘潭开学考）已知直线 与抛物线 交于 两点， 点 为坐标原点， 若线段的中点是 ， 则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·湘潭开学考）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）
A．圆锥的表面积是
B．球的体积是
C．四棱锥体积的最大值为
D．的最大值为
三、填空题
13．（2022高三上·湘潭开学考）设关于的不等式的解集为， 则的值等于 ．
14．（2022高三上·湘潭开学考）设， 若， 则的所有可能取值的个数是 ．
15．（2022高三上·湘潭开学考）某灯泡厂对编号为 的十五个灯泡进行使用寿命试验， 得到奇数号灯泡的平均使用寿命 （单位： 小时）为 1580 ， 方差为 15000 ， 偶数号灯泡的平均使用寿命为 1580 ， 方差为 12000 ，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为 ．
16．（2022高三上·湘潭开学考）已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．（2022高三上·湘潭开学考）设数列的前项和为，，数列是等差数列， 其前项和是， 且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求使得是数列中的项的的取值集合．
18．（2022高三上·湘潭开学考）设的内角的对边分别为，为钝角，且．
（1）探究与的关系并证明你的结论；
（2）求的取值范围．
19．（2022高三上·湘潭开学考）如图，在四棱椎中，已知四边形是梯形，∥，，，是正三角形．
（1）求证：；
（2）当四棱锥体积最大时，求：
①点A到平面的距离；
②平面与平面夹角的余弦值．
20．（2022高三上·湘潭开学考）湘潭是伟人故里， 生态宜居之城， 市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度， 随机抽取了120位市民进行调查， 其结果如下： 回答 “满意” 的 “工薪族”人数是40人，回答 “不满意” 的“工薪族”人数是30人， 回答“满意”的“非工薪族”人数是 40人，回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是10人．
附：
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
参考公式： ， 其中 ．
（1）请根据以上数据填写下面 列联表， 并依据 的独立性检验， 分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联
满意 不满意 合计
工薪族
非工薪族
合计
（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率， 机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定： 抽样的次数不超过， 若随机抽取的市民属于不满意群体， 则抽样结束； 若随机抽取的市民属于满意群体， 则继续抽样， 直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束.记此时抽样次数为 ．
(i) 若 ， 求 的分布列和数学期望；
(ii) 请写出 的数学期望的表达式 （不需证明）， 根据你的理解说明 的数学期望的实际意义．
21．（2022高三上·湘潭开学考）如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点， 求证：的充要条件为．
22．（2022高三上·湘潭开学考）已知 ．
（1）若在定义域上单调递增， 求的取值范围；
（2）设函数，其中，若存在两个不同的零点．
① 求的取值范围；
② 证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵且，∴．
故答案为：A．
【分析】 分别解出集合A、B，再利用交集的定义可得答案.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：C.
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，函数，
所以函数向右平移 个单位长度，即可得到.
故答案为：D.
【分析】 利用诱导公式，函数y=Asin(x +φ)的图象变换规律，得出答案.
4．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】过作交于，连接，
因为，∴，故共面，
因为 平面 ，平面平面 ，平面，
所以，又，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴，
所以.
故答案为：B．
【分析】过作交于，连接，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即可求出的值.
5．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故答案为：B．
【分析】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为，根据题意分别求出，，，的值，再由全概率公式求得，即可求出的值.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，又，
所以在点的切线方程为，
令得，所以在点的切线方程为，
令，得，所以，所以在点的切线方程为，
令，得，
故答案为：C．
【分析】根据新定义进行计算可得答案.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】如图所示：
因为，
所以，
于是有，
又，当且仅当时取等号，
所以.
故答案为：A
【分析】 首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可求出 的最小值 .
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设函数，则，令函数，则，所以函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以，即，所以．
因为，易证当时，，所以，而，所以，所以，
故答案为：A．
【分析】设函数，利用导数分析其单调性，从而可求出答案.
9．【答案】A,C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为，
所以是周期为2的周期函数，其最大值是，所以A符合题意，B不符合题意；
因为，所以C符合题意D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式可得，进而利用正弦函数的性质，逐项求解可得答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】对于A，因为函数的定义域为，函数在上单调递减，所以A符合题意；
对于B，因为函数的定义域为，函数和在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B符合题意；
对于C，因为函数的定义域为，函数是偶函数，所以函数在上不可能是单调函数，所以C不符合题意；
对于D，因为函数的定义域为，函数和在上单调递增，所以函数在上为增函数，所以D符合题意.
故答案为：ABD．
【分析】 由题意，利用对数的运算法则化简函数的解析式，再根据对数函数的单调性，得出答案.
11．【答案】A,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，由得，所以，所以，
又点在直线l上，所以，所以A符合题意，B不符合题意；
对于C，因为直线l经过抛物线的焦点，所以，所以C符合题意；
对于D，因为，所以
，所以，所以D不符合题意，
故答案为：AC．
【分析】 联立直线与抛物线方程，结合中点坐标，利用韦达定理求出k，m的值，可判断A，B；利用弦长公式求解AB判断C ；利用向量数量积的运算进行性计算，判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，
正内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心都在线段上，连，
，则球O的半径，显然，，
，，
对于A，圆锥的表面积是，A不符合题意；
对于B，球O的体积是，B符合题意；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥的体积最大，
，当且仅当，即时取“=”，
则四棱锥体积的最大值为，C符合题意；
对于D，因，则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，当且仅当时取“=”，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 根据给定条件，求出球O的半径，动点Q的轨迹圆O2的半径及线段O1O2长，再逐项计算判断，可得答案.
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，
所以、是方程的两根，所以，，
所以．
故答案为：-1
【分析】 由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，求得a，b的值，进而求出 的值 .
14．【答案】3
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为，且，即为系数的最大项，
由二项式系数性质知，的所有可能取值为，故的所有可能取值的个数是．
故答案为：3．
【分析】由二项式系数性质知，得出的所有可能取值.
15．【答案】13600
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意，十五个灯泡的平均使用寿命为，
所以方差．
故答案为：13600.
【分析】 根据题意，求出15个灯泡的平均使用寿命，进而由总体的方差公式计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图所示：
取的中点，连接．则．
由知，，
又因为点到渐近线的距离，
所以，即，
又，代入化简得，即，
解得或（舍去），故．
故答案为：
【分析】过点A作AP⊥MN于点P，根据点到直线的距离公式求得|AP|，然后分别在Rt△OAP和Rt△NPA中，由勾股定理，求得|OP|和|NP|，由 ，推出，代入运算，求解出双曲线的离心率 .
17．【答案】（1）解：由知，．
当时，，所以，所以数列是等比数列，
故数列的通项公式为．
又因为，所以数列的公差为，
故数列的通项公式为；
（2）解：由（1）知，，
而，所以当且仅当时，是数列中的项．
即所求的m的取值集合为
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)根据Sn与an的关系，即可求得 的通项，再根据b1 ， b5的值，即可求得 的通项；
(2)由(1)中结论，写出Tm，将其形式化为通项的形式，即可求出 的取值集合．
18．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，
所以，即，
又因为，所以，
于是，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，所以，
所以，
令，则且，
所以，
当时，取得最大值，最大值为，
当或时，函数值为1，
所以的取值范围是．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦定理
【解析】【分析】 (1)由题意利用同角三角函数基本关系式、正弦定理、诱导公式化简已知等式，结合 ， 进而可求 ，即可求解出 与的关系.
(2)由(1)可得 ，令，化简可得
， 进而根据二次函数的性质即可求解出 的取值范围．
19．【答案】（1）证明：如图，取AB的中点E，连接CE，AC．
∵，，
∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，
又，∴四边形AECD是矩形，∴．
∴，∴是等边三角形．
取BC的中点O，连接AO，则．
连接PO，∵，∴，
∵，平面PAO，
∴平面PAO，∵PA平面PAO，∴；
（2）解：①由(1)知，是等边三角形，∴，
∴梯形ABCD的面积为定值，
故当平面平面ABCD时，四棱锥体积最大．
∵，∴平面ABCD，∴，
∵OA⊥BC，BC∩PO=O，BC、PO平面PBC，∴平面PBC，
故此时点A到平面PBC的距离等于；
②∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由，可得．
∴，
．
设平面PAD的一个法向量为，
由得，可取，则．
设平面PAB的法向量为，
则，即，取，则，则．
设平面PAB与平面PAD的夹角为，则．
故所求的平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取AB的中点E，连接CE、AC，取BC中点，连接AO和PO，证明△ABC是等边三角形得AO⊥BC，结合线面垂直的判定方法证明 平面PAO ，即可证得 ；
(2)①由(1)可知底面梯形ABCD面积为定值，故当P到平面ABCD距离最大时，四棱锥体积最大，△PBC为等边三角形，边长确定，故当平面PBC⊥平面ABCD时，P到平面ABCD距离最大，且为△PBC的高，易证AO⊥平面PBC，故AO长度即为点A到平面的距离；
②以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 求出各点坐标，利用向量法即可求解出平面与平面夹角的余弦值．
20．【答案】（1）解：由题意可知
满意 不满意 合计
工薪族 40 30 70
非工薪族 40 10 50
合计 80 40 120
．
根据的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；
（2）解：(i)当时，的取值为1，2，3，4，5．
由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，
所以，
．
所以的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以；
(ii)由①得
令，①
所以②
①-②得
所以
当n趋向于正无穷大时趋向于3，可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不满意的市民．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据题意，补全分布列，根据公式计算出K2的值，即可求出市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关；
(2)利用独立事件的乘法公式计算概率即可得到分布列，进而求出 的数学期望的表达式 .
21．【答案】（1）解：设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．
（2）证明：设，由题设知，直线MN的斜率存在，
不妨设直线MN的方程为，且，
由消去y并整理得，
则且，
由，可得，所以，
整理得，
可得，
整理得
所以，
可得，即，
将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，
所以的充要条件为．
【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设点P的坐标为， 根据 ， 即可求得 点的轨迹的方程；
(2) 不妨设直线MN的方程为， 联立方程组求得 ， 根据 ，可得 ，求得 ， 又由∠ACM=∠ACN，求得，即可得证 ．
22．【答案】（1）解：的定义域为在定义域上单调递增，
故恒成立，
依题意可知，恒成立．
设，则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，故，即
（2）解：①解：因为，，
所以，
当时，，
由（1）可知时，恒成立，即有恒成立，
故．
当时，，
则，则，
令，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，从而．
当时，恒成立，此时单调递减，所以，
即，所以在上单调递减．
综上知，当时，单调递增，当时，单调递减，
由存在两个零点，得，即，从而．
设，可知当时，单调递增，
当时，单调递减，故，即，
由，
因此，取，则，且，
所以，
因此，在上存在一个零点．
又取，则，从，
因此，在 上也存在一个零点．
综上可知，a的取值范围为；
②证明：设，其中．
则，
由（1）可知，从而，
因此，
所以对任意，恒有，所以在上单调递减，
从而，
即．
令，则，又，且在上单调递减，
所以，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据函数的单调性可得不等式 恒成立，构造函数，利用其导数判断单调性，进而求得参数范围，函数以及取特殊值说明零点存在的范围，即可求得 的取值范围；
(2)①利用导数判断其单调性，结合g (x)存在两个不同的零点 ，利用构造新函数以及取特殊值说明零点存在的范围，即可求得参数范围；
②设，利用导数判断其单调性，从而可得
，即， 令，结合g (x)的单调性，即可证明出 ．
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