江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期数学第一次考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·江苏开学考） 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由题意，，则。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．（2022高三上·江苏开学考） 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，故位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定复数对应的点所在的象限。
3．（2022高三上·江苏开学考） 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单位向量；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，是相互垂直的单位向量，
则，且
设向量是与向量垂直的单位向量，
则，所以，
解得：，
则向量与向量是与向量垂直的单位向量。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量的减法运算法则和单位向量的定义，进而找出与向量垂直的单位向量。
4．（2022高三上·江苏开学考） 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A．38680千米 B．39375千米 C．41200千米 D．42192千米
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题意可知，赛伊尼和亚历山大城之间的距离可看作圆心角为的扇形的弧长，
设地球半径为，则，
∴地球周长为（米）=（千米）。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合扇形的弧长公式得出地球的半径长，再利用圆的周长公式，从而由埃拉托斯特尼测得地球的周长。
5．（2022高三上·江苏开学考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为5。
故答案为：C
【分析】由的解集为，则，且，是方程的两根，再利用韦达定理得出a的值，再结合均值不等式求最值的方法得出b的最小值，故， 设，，再利用函数的单调性求出函数的最小值，进而得出的最小值。
6．（2022高三上·江苏开学考） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为30°，则点的纵坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，
∴点纵坐标为3。
故答案为：A
【分析】设准线与轴交于点，则，，进而得出的值，连接，则，再利用作差法得出的值，所以是正三角形，进而得出的值和准线的方程，进而得出点P的纵坐标。
7．（2022高三上·湖北开学考）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率
B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率
D．事件A、B同时发生的概率
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为
，
故答案为：A
【分析】根据图示，表示出涂色部分的面积，利用条件概率的概率公式整理化简，即可求得答案.
8．（2022高三上·江苏开学考） 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即， ，
综上所述：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合构造法构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性比较出a，b，c三者的大小。
二、多选题
9．（2022高三上·江苏开学考） 下列说法正确的有（ ）
A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B．已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2
C．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A不符合题意；
，，…，方差为2，设，则，
所以，则，
即，，…，方差为2，B符合题意；
将代入得，则，C不符合题意；
，为分布曲线的对称轴，则，
由，则，
因此，，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合中位数公式、方差的公式和方差的性质、线性回归直线恒过中心点的性质和代入法、正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，进而找出说法正确的选项。
10．（2022高三上·江苏开学考） 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；奇偶函数图象的对称性；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；图形的对称性
【解析】【解答】，
相邻两对称轴间距离为，则，∴，
∴，，
， ∴关于对称，A对.
，∴关于轴对称，B对.
当时，有，则，所以，
∴，C不符合题意.
由，得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，D对.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数f(x)为正弦型函数，再利用函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，进而得出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，进而得出正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的图象求出其对称中心，再利用正弦型函数的图象变换和偶函数的对称性，再结合正弦型函数的图象判断出函数 在上的单调性，再结合函数的单调性求出函数 在上的值域，进而找出正确的选项。
11．（2022高三上·江苏开学考） 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．
C．四面体的外接球体积为
D．平面截正方体所得的截面是四边形
【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，则，
∴，，
∴，A不符合题意；
∴，，，∴，B符合题意；
由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球半径满足，，∴，C符合题意；
延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，
则五边形为平面截正方体所得的截面，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，再利用异面直线求角的方法和余弦函数的定义、空间直线垂直的判断方法、四面体和外接球的位置关系和球的体积公式、正方体与截面的位置关系得出截面的形状，进而找出正确的选项。
12．（2022高三上·江苏开学考） 已知是数列的前项和，，则（ ）
A．
B．
C．当时，
D．当数列单调递增时，的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；类比推理
【解析】【解答】，①
时，，②
①－②，，A符合题意；
当时，，即；
当时，，
∴，时，不满足条件，B不符合题意；
时，因为，所以，则，满足，故此时①，
又②，两式相减得：，
为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；
为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，
所以，
C符合题意；
是单调递增数列，∴，即，即；
，即，即；
，即，即，即，
，即，依次类推可知，D符合题意.
对于D，法二：由，
，
要使单调递增，则必有且，
∴且，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合的关系式结合分类讨论的方法，进而得出；再利用分类讨论结合代入法得出当时，，当时，，所以，；当时结合，得出的值，进而得出，满足，故此时①，再利用②，两式相减得：，再利用分类讨论的方法得出为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项，为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，再结合等差数列前n项和公式和求和法得出当时的的值；利用数列是递增数列，再利用类比推理的方法或数列的单调性，可知当数列单调递增时的的取值范围，进而找出结论正确的选项。
三、填空题
13．（2022高三上·江苏开学考）展开式中的系数为 .
【答案】26
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式第项，
时， ，时，，
∴展开式中系数26。
故答案为：26。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 展开式中的系数 。
14．（2022高三上·江苏开学考） 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，
所以，，
所以。
故答案为：。
【分析】将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，再结合勾股定理和余弦函数的定义和同角三角函数基本关系式得出的值，再利用角之间的关系式和两角差的余弦公式，进而得出的值。
15．（2022高三上·江苏开学考） 已知函数，.若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】直线过定点，过四个象限与在轴的左右两边都有两个交点，过作的切线，切点设为，，，切线方程为，切线过，解得或（舍去），此时，
时，线段所在直线斜率为1，时，，射线所在直线斜率为-1，
与轴交于，，
由图象知满足题意的的取值范围是：。
故答案为：。
【分析】利用直线过定点，过四个象限与在轴的左右两边都有两个交点，过作的切线，再利用代入法，切点设为，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式求出切线方程，再利用切线过结合代入法得出切点的横坐标，进而得出切线的斜率，再利用分类讨论的方法得出线段所在直线斜率或射线所在直线的斜率，再结合与轴交于，，再利用 函数的图象求出满足题意的的取值范围。
16．（2022高三上·江苏开学考） 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形如图所示.若将图形被直线所截得的两条线段绕轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 ；若将图形绕轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 .
【答案】4π；16π
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，
由直线，其中，
联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为4π，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为4π，高为4的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为。
故答案为：4π，16π。
【分析】利用双曲线结合双曲线的渐近线求解方法得出一条渐近线方程为，由直线，其中，联立二者方程求出交点A的坐标，再联立二者方程得出交点B的坐标，再利用圆的面积结合作差法得出截面圆环的面积，进而得出旋转面的面积，根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为4π，高为4的圆柱的体积相同，再结合圆柱的体积公式得出
该几何体的体积。
四、解答题
17．（2022高三上·江苏开学考）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，____.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）解：选①，由及，可知，所以，
当时，有
.
当时，适合上式，故.
选②，由，得，所以为等差数列，
由，，得该数列的公差，
所以.
（2）解：，∴，
则 ，
∴.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 选①，由及，可知，所以，再利用累乘法和分类讨论的方法以及检验的方法得出数列 的通项公式；选②，由，得，再利用等差数列的地沟油判断出数列为等差数列，由，结合等差数列的定义得出该数列的公差，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 利用数列的通项公式结合，得出数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式，再结合分组求和方法，进而得出数列 的前项和。
18．（2022高三上·江苏开学考）在中，内角的对边分别为，，，且，.
（1）若的周长为，求，的值；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）解：因为，，所以①
在中，由余弦定理得，即②
由①②得③.
由①③得.
（2）解：由，得，
由正弦定理，得，，
所以，即.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形的周长公式得出a+c的值，再利用余弦定理得出ac的值，从而解方程组求出a，c的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出ac的值，再结合正弦定理得出 ，， 再利用ac的值求出 的值。
19．（2022高三上·江苏开学考）近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业
女性 25 35
男性 5 25
附：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
（2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
【答案】（1）解：，
∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.
（2）解：某个考生首选志愿为师范专业的概率，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列如下：
0 1 2 3
，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关。
（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出某个考生首选志愿为师范专业的概率，进而得出随机变量的所有可能取值，进而推出随机变量X服从二项分布，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望，再利用随机变量数学期望求方差公式，进而得出随机变量X的方差。
20．（2022高三上·江苏开学考）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接，，
∵为的中点，
∴，又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵平面平面，平面平面，
平面，，
∴平面，取中点，连接，
∴，平面，
∴，，
∴，，
∴，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
∴，，
设平面的一个法向量，
∴，
，令，则，
平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
∴，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接，，利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用结合平行和相等的传递性，所以，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，进而证出平面。
（2）利用 平面平面结合面面垂直的性质定理证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，取中点，连接，所以，平面，进而得出的值和的长，再利用正切函数的定义得出PG的长，进而得出，的长，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用已知条件结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
21．（2022高三上·江苏开学考）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.
（1）当时，求；
（2）在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设直线的方程为，，，
联立，得，
又因为，所以，
解得，，
所以，
即.
（2）解：假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.
设直线的方程为，
联立，得，
则，，所以.
所以.
要使为定值，则，
解得或（舍去），此时.
故在轴上存在异于的定点，使得为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设直线的方程为，，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合，再结合韦达定理和向量共线的坐标表示得出的值，进而得出的值，从而得出的值。
（2） 假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值。设直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，，所以，再利用两点求斜率公式得出，要使为定值，则，进而得出满足要求的t的值，从而得出的值，进而得出在轴上存在异于的定点，使得为定值。
22．（2022高三上·江苏开学考）已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：时，，，，
切点，切线方程为，即；
（2）解：设，则，时，，递增，所以，即，
所以，
设，，
所以在上递增，，即，，
设，，
再设，则，时，，递增，，
即，所以是增函数，，
所以，
∴，∴.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
（2） 设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则，所以，进而得出实数a的取值范围。
1 / 1江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期数学第一次考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·江苏开学考） 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·江苏开学考） 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022高三上·江苏开学考） 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高三上·江苏开学考） 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A．38680千米 B．39375千米 C．41200千米 D．42192千米
5．（2022高三上·江苏开学考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
6．（2022高三上·江苏开学考） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为30°，则点的纵坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．（2022高三上·湖北开学考）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率
B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率
D．事件A、B同时发生的概率
8．（2022高三上·江苏开学考） 已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·江苏开学考） 下列说法正确的有（ ）
A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B．已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2
C．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
10．（2022高三上·江苏开学考） 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
11．（2022高三上·江苏开学考） 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．
C．四面体的外接球体积为
D．平面截正方体所得的截面是四边形
12．（2022高三上·江苏开学考） 已知是数列的前项和，，则（ ）
A．
B．
C．当时，
D．当数列单调递增时，的取值范围是
三、填空题
13．（2022高三上·江苏开学考）展开式中的系数为 .
14．（2022高三上·江苏开学考） 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则 .
15．（2022高三上·江苏开学考） 已知函数，.若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 .
16．（2022高三上·江苏开学考） 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形如图所示.若将图形被直线所截得的两条线段绕轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 ；若将图形绕轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 .
四、解答题
17．（2022高三上·江苏开学考）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，____.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.
18．（2022高三上·江苏开学考）在中，内角的对边分别为，，，且，.
（1）若的周长为，求，的值；
（2）若的面积为，求的值.
19．（2022高三上·江苏开学考）近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业
女性 25 35
男性 5 25
附：，.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
（2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.
20．（2022高三上·江苏开学考）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21．（2022高三上·江苏开学考）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.
（1）当时，求；
（2）在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（2022高三上·江苏开学考）已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由题意，，则。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，故位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数z，再利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再结合点的坐标确定复数对应的点所在的象限。
3．【答案】C
【知识点】单位向量；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，是相互垂直的单位向量，
则，且
设向量是与向量垂直的单位向量，
则，所以，
解得：，
则向量与向量是与向量垂直的单位向量。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合向量的减法运算法则和单位向量的定义，进而找出与向量垂直的单位向量。
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题意可知，赛伊尼和亚历山大城之间的距离可看作圆心角为的扇形的弧长，
设地球半径为，则，
∴地球周长为（米）=（千米）。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合扇形的弧长公式得出地球的半径长，再利用圆的周长公式，从而由埃拉托斯特尼测得地球的周长。
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以，
所以的最小值为5。
故答案为：C
【分析】由的解集为，则，且，是方程的两根，再利用韦达定理得出a的值，再结合均值不等式求最值的方法得出b的最小值，故， 设，，再利用函数的单调性求出函数的最小值，进而得出的最小值。
6．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，
∴点纵坐标为3。
故答案为：A
【分析】设准线与轴交于点，则，，进而得出的值，连接，则，再利用作差法得出的值，所以是正三角形，进而得出的值和准线的方程，进而得出点P的纵坐标。
7．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为
，
故答案为：A
【分析】根据图示，表示出涂色部分的面积，利用条件概率的概率公式整理化简，即可求得答案.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即， ，
综上所述：。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合构造法构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性比较出a，b，c三者的大小。
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【解答】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A不符合题意；
，，…，方差为2，设，则，
所以，则，
即，，…，方差为2，B符合题意；
将代入得，则，C不符合题意；
，为分布曲线的对称轴，则，
由，则，
因此，，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合中位数公式、方差的公式和方差的性质、线性回归直线恒过中心点的性质和代入法、正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；奇偶函数图象的对称性；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；图形的对称性
【解析】【解答】，
相邻两对称轴间距离为，则，∴，
∴，，
， ∴关于对称，A对.
，∴关于轴对称，B对.
当时，有，则，所以，
∴，C不符合题意.
由，得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，D对.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数f(x)为正弦型函数，再利用函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，进而得出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出的值，进而得出正弦型函数的解析式，再利用正弦型函数的图象求出其对称中心，再利用正弦型函数的图象变换和偶函数的对称性，再结合正弦型函数的图象判断出函数 在上的单调性，再结合函数的单调性求出函数 在上的值域，进而找出正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，则，
∴，，
∴，A不符合题意；
∴，，，∴，B符合题意；
由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球半径满足，，∴，C符合题意；
延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，
则五边形为平面截正方体所得的截面，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合中点的性质，再利用异面直线求角的方法和余弦函数的定义、空间直线垂直的判断方法、四面体和外接球的位置关系和球的体积公式、正方体与截面的位置关系得出截面的形状，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；类比推理
【解析】【解答】，①
时，，②
①－②，，A符合题意；
当时，，即；
当时，，
∴，时，不满足条件，B不符合题意；
时，因为，所以，则，满足，故此时①，
又②，两式相减得：，
为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；
为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，
所以，
C符合题意；
是单调递增数列，∴，即，即；
，即，即；
，即，即，即，
，即，依次类推可知，D符合题意.
对于D，法二：由，
，
要使单调递增，则必有且，
∴且，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合的关系式结合分类讨论的方法，进而得出；再利用分类讨论结合代入法得出当时，，当时，，所以，；当时结合，得出的值，进而得出，满足，故此时①，再利用②，两式相减得：，再利用分类讨论的方法得出为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项，为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，再结合等差数列前n项和公式和求和法得出当时的的值；利用数列是递增数列，再利用类比推理的方法或数列的单调性，可知当数列单调递增时的的取值范围，进而找出结论正确的选项。
13．【答案】26
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式第项，
时， ，时，，
∴展开式中系数26。
故答案为：26。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 展开式中的系数 。
14．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，
所以，，
所以。
故答案为：。
【分析】将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，再结合勾股定理和余弦函数的定义和同角三角函数基本关系式得出的值，再利用角之间的关系式和两角差的余弦公式，进而得出的值。
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】直线过定点，过四个象限与在轴的左右两边都有两个交点，过作的切线，切点设为，，，切线方程为，切线过，解得或（舍去），此时，
时，线段所在直线斜率为1，时，，射线所在直线斜率为-1，
与轴交于，，
由图象知满足题意的的取值范围是：。
故答案为：。
【分析】利用直线过定点，过四个象限与在轴的左右两边都有两个交点，过作的切线，再利用代入法，切点设为，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式求出切线方程，再利用切线过结合代入法得出切点的横坐标，进而得出切线的斜率，再利用分类讨论的方法得出线段所在直线斜率或射线所在直线的斜率，再结合与轴交于，，再利用 函数的图象求出满足题意的的取值范围。
16．【答案】4π；16π
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，
由直线，其中，
联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为4π，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为4π，高为4的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为。
故答案为：4π，16π。
【分析】利用双曲线结合双曲线的渐近线求解方法得出一条渐近线方程为，由直线，其中，联立二者方程求出交点A的坐标，再联立二者方程得出交点B的坐标，再利用圆的面积结合作差法得出截面圆环的面积，进而得出旋转面的面积，根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为4π，高为4的圆柱的体积相同，再结合圆柱的体积公式得出
该几何体的体积。
17．【答案】（1）解：选①，由及，可知，所以，
当时，有
.
当时，适合上式，故.
选②，由，得，所以为等差数列，
由，，得该数列的公差，
所以.
（2）解：，∴，
则 ，
∴.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 选①，由及，可知，所以，再利用累乘法和分类讨论的方法以及检验的方法得出数列 的通项公式；选②，由，得，再利用等差数列的地沟油判断出数列为等差数列，由，结合等差数列的定义得出该数列的公差，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 利用数列的通项公式结合，得出数列的通项公式，进而得出数列 的通项公式，再结合分组求和方法，进而得出数列 的前项和。
18．【答案】（1）解：因为，，所以①
在中，由余弦定理得，即②
由①②得③.
由①③得.
（2）解：由，得，
由正弦定理，得，，
所以，即.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形的周长公式得出a+c的值，再利用余弦定理得出ac的值，从而解方程组求出a，c的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出ac的值，再结合正弦定理得出 ，， 再利用ac的值求出 的值。
19．【答案】（1）解：，
∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.
（2）解：某个考生首选志愿为师范专业的概率，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列如下：
0 1 2 3
，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关。
（2）利用已知条件结合古典概型求概率公式得出某个考生首选志愿为师范专业的概率，进而得出随机变量的所有可能取值，进而推出随机变量X服从二项分布，再利用二项分布求出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望，再利用随机变量数学期望求方差公式，进而得出随机变量X的方差。
20．【答案】（1）证明：取中点，连接，，
∵为的中点，
∴，又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵平面平面，平面平面，
平面，，
∴平面，取中点，连接，
∴，平面，
∴，，
∴，，
∴，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
∴，，
设平面的一个法向量，
∴，
，令，则，
平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
∴，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接，，利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用结合平行和相等的传递性，所以，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，进而证出平面。
（2）利用 平面平面结合面面垂直的性质定理证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，取中点，连接，所以，平面，进而得出的值和的长，再利用正切函数的定义得出PG的长，进而得出，的长，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用已知条件结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成锐二面角的余弦值。
21．【答案】（1）解：设直线的方程为，，，
联立，得，
又因为，所以，
解得，，
所以，
即.
（2）解：假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.
设直线的方程为，
联立，得，
则，，所以.
所以.
要使为定值，则，
解得或（舍去），此时.
故在轴上存在异于的定点，使得为定值.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设直线的方程为，，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合，再结合韦达定理和向量共线的坐标表示得出的值，进而得出的值，从而得出的值。
（2） 假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值。设直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，，所以，再利用两点求斜率公式得出，要使为定值，则，进而得出满足要求的t的值，从而得出的值，进而得出在轴上存在异于的定点，使得为定值。
22．【答案】（1）解：时，，，，
切点，切线方程为，即；
（2）解：设，则，时，，递增，所以，即，
所以，
设，，
所以在上递增，，即，，
设，，
再设，则，时，，递增，，
即，所以是增函数，，
所以，
∴，∴.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
（2） 设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，则，所以，进而得出实数a的取值范围。
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