【精品解析】江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学期初调研考前冲刺卷

江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学期初调研考前冲刺卷
1．（2022高三上·如皋开学考）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（　　）
A．为的对称轴
B．为的对称中心
C．在区间上有3个零点
D．在区间上单调递增
2．（2022高三上·如皋开学考）已知 是定义在 上的增函数，且恒有 ，则“ ”是“ 恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三上·如皋开学考）如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022高三上·如皋开学考）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的帕特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022高三上·如皋开学考）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·如皋开学考） 是等腰直角三角形（）内的点，且满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2022高三上·如皋开学考）已知，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·如皋开学考）已知数列{ } 满足0A． B．
C． D．
9．（2022高三上·如皋开学考）若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·如皋开学考）下列关于复数的命题中为虚数单位，说法正确的是（　　）
A．若关于x的方程有实根，则
B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则
D．已知，，且，则
11．（2022高三上·如皋开学考）中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．（2022高三上·如皋开学考）已知函数，则（　　）
A．是以为周期的周期函数
B．直线是图象的一条对称轴
C．的值域为
D．在上单调递增
13．（2022高三上·如皋开学考）若向量，，则与共线的单位向量的坐标是　 　.
14．（2022高三上·如皋开学考）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则　 　.
15．（2022高三上·如皋开学考）已知函数有三个零点，且有，则的值为　 　.
16．（2022高三上·如皋开学考）设复数，，其中，若复数为实数，则　 　，的范围为　 　.
17．（2022高三上·如皋开学考）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（2022高三上·如皋开学考）已知、是方程的两个实数根.
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）若，求的值.
19．（2022高三上·如皋开学考）将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．
（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．
20．（2022高三上·如皋开学考）已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.
21．（2022高三上·如皋开学考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求正数的取值范围；
（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，D、E、H为边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.①边的中线；②A角的角平分线；③边的垂线.
22．（2022高三上·如皋开学考）已知.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若只有一个零点，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】对于A，由已知得，即，故不关于对称，A不符合题意；
对于B，，B不符合题意；
对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，C不符合题意；
对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和函数求对称轴以及对称中心的方法、二倍角的正弦公式和零点存在性定理、求导的方法判断函数的单调性和二次函数的图象求最值的方法，进而判断出函数在区间上单调性，进而找出叙述正确的选项。
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】令 ，则 ．
是增函数且 ，
，
对 恒成立．
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
， ．
是 的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】利用函数的单调性和已知条件求得 的解析式，同时运用分离参数法求得的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可。
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】 实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立 asinx+1﹣sin2x恒成立，
令f（y），
则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，
∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．
由于g′（t）＝10，
所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，
因此，g（t）min＝g（1）＝3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；
③若sinx＝0，0≤2恒成立，A∈R；
综合①②③，﹣3≤a≤3．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，或利用均值不等式求最值的方法求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】，显然，，
所以，
，
，
。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合黄金分割的定义，再利用中点的性质和向量共线定理以及平面向量基本定理，进而得出。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；三点共线；余弦定理
【解析】【解答】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是。
故答案为：B.
【分析】在中，结合余弦定理得出BC的长，再利用正弦定理得出圆的半径长，设，再利用三角形法则和平面向量基本定理以及向量求模公式得出的值，同理可得，，进而解方程组求出x，y的值，从而得出，再利用向量共线定理得，再利用三点共线，可得，再结合结合构造法得出，同理可得，所以，所以，设，可得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，进而得出的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
(正弦定理)
在的角平分线上， 同理可证在的角平分线上，
为内心
如图所示
由知，这三个角都是
且在的平分线上，延长交于点
取，则，
得，
所以
记的周长为
由题意知是的内心，内切圆半径
所以
由，且
则
所以，即，则在以为直径的圆上
由，且
所以，得
由，得
所以
设，在中由余弦定理得
解得
所以
所以
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合正弦定理和平面向量基本定理得，所以R
在的角平分线上， 同理可证在的角平分线上，所以R为内心，由知这三个角都是，且在的平分线上，延长交于点取，进而得出的长和的值，从而得出PD和PB的长，再结合作差法得出PA的长，再利用数量积的定义得出的值，记的周长为由题意知是的内心，再利用三角形的面积和周长的关系式得出内切圆半径，再结合作差法得出RA的长，再利用三角形法则和数量积的运算法则以及数量积的定义得出的值，由，且，进而得出的值，从而得出的值，即，则在以为直径的圆上，由，且得出的值，由结合两三角形相似判断方法得出，再利用两三角形相似对应边成比例得出，设，在中由余弦定理得出x的值，再利用数量积的定义得出的值，，
，再结合比较法得出 ，从而选出正确的选项。
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令，，所以，，，所以，因为，所以当时，即在上单调递减，令，，则，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在处取得极大值即最大值，，因为，所以，即，所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合构造法和求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值，从而得出函数的最大值，再利用比较法比较出a，b，c三者的大小。
8．【答案】A
【知识点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】由 ，取特殊值： ， ，得： = ， = ，排除C、D；
= = ， = > ；且 ， ， 均小于 ，猜测 ，下面由图说明：
当 时，由迭代蛛网图：
可得， 单调递增，此时不动点为 ，当n 时， ，则有 ， .
当 时，由迭代蛛网图：
可得，当n分别为奇数、偶数时， 单调递增，且都趋向于不动点 ，由图像得 ， ，
综上可得 ，
故答案为：A.
【分析】由 ，取特殊值可排除C、D，当 时，由迭代蛛网图得， 单调递增，当n分别为奇数、偶数时， 单调递增，由图像得 ， ，可得答案.
9．【答案】B,D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】对于A，不妨取，但，不满足，A不符合题意；
对于B， ，对，若，则，
则，即，B符合题意；
对于C，不妨取，但，不满足，C不符合题意；
对于D， ，对，若，则，
则，故，即，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合 “鲤鱼跃龙门数列” 定义，从而结合不等式的基本性质、对数函数的单调性，进而结合比较法找出满足要求的“鲤鱼跃龙门数列”。
10．【答案】A,C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】对于A：关于的方程有实根，
即，所以，解得，代入解得，A符合题意；
对于B：复数满足，所以，故在复平面对应的第四象限，B不符合题意；
对于C：是关于的方程的一个根，其中、为实数，则也是方程的根，
所以，所以，C符合题意．
对于D：若，且，由，可得，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合方程有根和复数相等的判断方法，进而得出实数a的值；再利用复数的运算法则和虚数单位i的周期性，进而得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，进而得出复数z在复平面对应的点位于的象限；利用已知条件结合方程的根求解方法和韦达定理得出p，q的值；利用已知条件结合复数相等的判断方法，进而得出a，b，c，d的关系，从而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三点共线
【解析】【解答】对于A，，
三点共线，，A不符合题意；
对于B，，（当且仅当时取等号），B符合题意；
对于C，（当且仅当，即时取等号），C不符合题意；
对于D，（当且仅当时取等号），D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出；再利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出mn的最大值；再结合已知条件和均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值；再利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出 的最小值 ，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于，因为，所以是以为周期的周期函数，A符合题意；
对于B，，设，由，解得，B不符合题意，
对于C，的值域为，则的值域为，C符合题意；
对于D，，由，解得，
所以在上单调递减，所以在区间上单调递增，D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合三角函数的最小正周期公式得出函数f(x)的周期，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求出其对称轴，进而得出函数f(x)的对称轴；再结合正弦型函数的图象求值域的方法和构造法，进而得出函数f(x)的值域；再利用正弦型函数 的图象求出其单调性，从而结合复合函数求单调性的方法，即同增异减，进而得出函数f(x)在上的单调性，进而找出正确的选项。
13．【答案】和
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，，
所以，
所以与共线的单位向量的坐标为和。
故答案为：和。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示以及单位向量求解方法，进而得出 与共线的单位向量的坐标。
14．【答案】0
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以，所以，即，则关于直线对称，
因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，
所以，则，所以是周期为的周期函数，
由，即，所以为奇函数，
又是定义域为的函数，所以，
在中，令，所以，
所以，
在中，令，所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：0
【分析】依题意可得关于直线对称、关于点对称且时周期为的周期函数，再求出、，即可得解.
15．【答案】12
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】若，则，即
当时，可得，不成立，故
等式两边同除以，得
即
令，则
方程有两个不等的实根，，
令，则，令，
当时，，当或时，
即函数在上单调递减，在，上单调递增，
如下图所示
函数有三个零点，
由图可知，
故答案为：12
【分析】由得出，令，得出，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.
16．【答案】；
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
因为复数为实数，所以，即，
所以，因为，所以，
因为，所以
，
因为，，所以，
所以。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再结合复数乘法的运算法则和复数为实数的判断方法，进而结合 ， 从而得出角的值；再利用 ， 结合构造法和不等式的基本性质，进而结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出 的取值范围。
17．【答案】（1）解：当时，.
当时，，
因为当时，，
所以.
（2）解：因为，
所以，
故数列的前项和 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
由，
则，
所以；
（2）解：
；
（3）解：因为，
所以 ，
所以，
因为 ，
所以，，，
所以.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用 、是方程的两个实数根结合韦达定理和同角三角函数基本关系式，进而得出m的值。
（2）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和平方差公式，进而结合（1）中韦达定理得出 的值。
（3）利用（1）中m的值和韦达定理以及同角三角函数基本关系，进而结合角的取值范围，从而结合三角函数的图象求值域的方法，进而得出 的值，再利用韦达定理和平方差公式得出 的值。
19．【答案】（1）解：由题意，因为，可得，
解得，即，则，
所以，
因为为钝角，所以，故，
所以与不可能垂直．
（2）解：因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时，
因为，
所以，
又因为，所以．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二阶行列式的定义得出t的值，进而得出 的值，再利用数量积定义得出， 再结合数量积的运算法则和数量积的定义得， 再利用 为钝角结合余弦函数的图象求值域的方法得出 ， 再结合构造法结合不等式的基本性质和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出判断出与不可能垂直。
（2）利用已知条件结合数量积的定义和数量积求向量的模的公式以及数量积的定义，再结合二次函数的图象求最值的方法得出 的最小值，进而得出此时 ， 再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量夹角公式，从而由两向量夹角的取值范围求出 与的夹角。
20．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为d，
则，
所以，
所以；
（2）解：由，，则，，
所以等比数列的公比为3，
所以，
又因是等差数列的第项，
所以，
所以，所以，
所以，
则，
，
两式相减得
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而得出首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出公比的值，再利用等比数列的通项公式得出 ， 再利用是等差数列的第项，所以，再利用等比数列通项公式得出，进而得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前项和 。
21．【答案】（1）解：由题，
.
令，则.
令，则在上单调递增.
由在上递增，则，解得.
故正数的取值范围为.
（2）解：由，，则，则.
因为，由余弦定理，（*）.
若选择①，设，则.
因为D为中点，有，又，
在中，由余弦定理有.
同理在中，.
故.
代入（*）式，则，不合题意.故此时不存在满足条件的三角形.
若选择②，由为角平分线，则.
由，且，有.
即.
由（*）式，有，将上式代入，则有.
解得.
此时的周长为.
若选择③，由为垂线，则，故.
由（*）式，有，将上式代入，则有.
此时，的周长为.
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数 为正弦型函数，再利用x的取值范围结合构造法和正弦型函数的图象判断函数的单调性，进而得出正数 的取值范围。
（2）由（1）中求出的，再利用结合代入法得出角A的值，利用结合余弦定理得出（*）。
若选择①，设，则，利用D为中点，有，再利用结合余弦定理有，同理在中，，进而得出，代入（*）式，进而得出bc的值，不合题意，故此时不存在满足条件的三角形；
若选择②，由为角平分线，则，由，且，再利用三角形的面积公式得出，由（*）式，有，将上式代入得出b+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形的周长；
若选择③，由为垂线结合三角形面积公式以及已知条件得出bc的值，由（*）式，有，将上式代入得出的值，从而得出b+c的值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长。
22．【答案】（1）解：当时，，，
，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以在上单调递增；
（2）解：因为，
所以为奇函数，，
要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，
由（1）知：当时，，故，
令，则时，无零点，符合题意，
当时，，
故在上单调递减，则，无零点，符合题意，
当时，，，，
所以在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以，
取，时，令，
可得，即，且时，，
由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，
综上所述：的取值范围为
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再利用两次求导的方法碰到合适的单调性，进而求出函数的最小值，进而证出函数在上单调递增。
（2）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的性质得出f(0)的值， 要证明只有一个零点，只需证明在上无零点， 再利用分析法证明方法和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再利用函数零点存在性定理，从而得出实数a的取值范围。
1 / 1江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学期初调研考前冲刺卷
1．（2022高三上·如皋开学考）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（　　）
A．为的对称轴
B．为的对称中心
C．在区间上有3个零点
D．在区间上单调递增
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】对于A，由已知得，即，故不关于对称，A不符合题意；
对于B，，B不符合题意；
对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，C不符合题意；
对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和函数求对称轴以及对称中心的方法、二倍角的正弦公式和零点存在性定理、求导的方法判断函数的单调性和二次函数的图象求最值的方法，进而判断出函数在区间上单调性，进而找出叙述正确的选项。
2．（2022高三上·如皋开学考）已知 是定义在 上的增函数，且恒有 ，则“ ”是“ 恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质
【解析】【解答】令 ，则 ．
是增函数且 ，
，
对 恒成立．
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
， ．
是 的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】利用函数的单调性和已知条件求得 的解析式，同时运用分离参数法求得的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可。
3．（2022高三上·如皋开学考）如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】 实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立 asinx+1﹣sin2x恒成立，
令f（y），
则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，
∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．
由于g′（t）＝10，
所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，
因此，g（t）min＝g（1）＝3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；
③若sinx＝0，0≤2恒成立，A∈R；
综合①②③，﹣3≤a≤3．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，或利用均值不等式求最值的方法求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
4．（2022高三上·如皋开学考）黄金分割〔〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的帕特农神庙就是一个很好的例子，达芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形中，，相交于点，，，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】，显然，，
所以，
，
，
。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合黄金分割的定义，再利用中点的性质和向量共线定理以及平面向量基本定理，进而得出。
5．（2022高三上·如皋开学考）在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；三点共线；余弦定理
【解析】【解答】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是。
故答案为：B.
【分析】在中，结合余弦定理得出BC的长，再利用正弦定理得出圆的半径长，设，再利用三角形法则和平面向量基本定理以及向量求模公式得出的值，同理可得，，进而解方程组求出x，y的值，从而得出，再利用向量共线定理得，再利用三点共线，可得，再结合结合构造法得出，同理可得，所以，所以，设，可得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，进而得出的取值范围。
6．（2022高三上·如皋开学考） 是等腰直角三角形（）内的点，且满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
(正弦定理)
在的角平分线上， 同理可证在的角平分线上，
为内心
如图所示
由知，这三个角都是
且在的平分线上，延长交于点
取，则，
得，
所以
记的周长为
由题意知是的内心，内切圆半径
所以
由，且
则
所以，即，则在以为直径的圆上
由，且
所以，得
由，得
所以
设，在中由余弦定理得
解得
所以
所以
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合正弦定理和平面向量基本定理得，所以R
在的角平分线上， 同理可证在的角平分线上，所以R为内心，由知这三个角都是，且在的平分线上，延长交于点取，进而得出的长和的值，从而得出PD和PB的长，再结合作差法得出PA的长，再利用数量积的定义得出的值，记的周长为由题意知是的内心，再利用三角形的面积和周长的关系式得出内切圆半径，再结合作差法得出RA的长，再利用三角形法则和数量积的运算法则以及数量积的定义得出的值，由，且，进而得出的值，从而得出的值，即，则在以为直径的圆上，由，且得出的值，由结合两三角形相似判断方法得出，再利用两三角形相似对应边成比例得出，设，在中由余弦定理得出x的值，再利用数量积的定义得出的值，，
，再结合比较法得出 ，从而选出正确的选项。
7．（2022高三上·如皋开学考）已知，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令，，所以，，，所以，因为，所以当时，即在上单调递减，令，，则，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在处取得极大值即最大值，，因为，所以，即，所以。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合构造法和求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极大值，从而得出函数的最大值，再利用比较法比较出a，b，c三者的大小。
8．（2022高三上·如皋开学考）已知数列{ } 满足0A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】由 ，取特殊值： ， ，得： = ， = ，排除C、D；
= = ， = > ；且 ， ， 均小于 ，猜测 ，下面由图说明：
当 时，由迭代蛛网图：
可得， 单调递增，此时不动点为 ，当n 时， ，则有 ， .
当 时，由迭代蛛网图：
可得，当n分别为奇数、偶数时， 单调递增，且都趋向于不动点 ，由图像得 ， ，
综上可得 ，
故答案为：A.
【分析】由 ，取特殊值可排除C、D，当 时，由迭代蛛网图得， 单调递增，当n分别为奇数、偶数时， 单调递增，由图像得 ， ，可得答案.
9．（2022高三上·如皋开学考）若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】对于A，不妨取，但，不满足，A不符合题意；
对于B， ，对，若，则，
则，即，B符合题意；
对于C，不妨取，但，不满足，C不符合题意；
对于D， ，对，若，则，
则，故，即，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合 “鲤鱼跃龙门数列” 定义，从而结合不等式的基本性质、对数函数的单调性，进而结合比较法找出满足要求的“鲤鱼跃龙门数列”。
10．（2022高三上·如皋开学考）下列关于复数的命题中为虚数单位，说法正确的是（　　）
A．若关于x的方程有实根，则
B．复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限
C．是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则
D．已知，，且，则
【答案】A,C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】对于A：关于的方程有实根，
即，所以，解得，代入解得，A符合题意；
对于B：复数满足，所以，故在复平面对应的第四象限，B不符合题意；
对于C：是关于的方程的一个根，其中、为实数，则也是方程的根，
所以，所以，C符合题意．
对于D：若，且，由，可得，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合方程有根和复数相等的判断方法，进而得出实数a的值；再利用复数的运算法则和虚数单位i的周期性，进而得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，进而得出复数z在复平面对应的点位于的象限；利用已知条件结合方程的根求解方法和韦达定理得出p，q的值；利用已知条件结合复数相等的判断方法，进而得出a，b，c，d的关系，从而找出说法正确的选项。
11．（2022高三上·如皋开学考）中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三点共线
【解析】【解答】对于A，，
三点共线，，A不符合题意；
对于B，，（当且仅当时取等号），B符合题意；
对于C，（当且仅当，即时取等号），C不符合题意；
对于D，（当且仅当时取等号），D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理和三点共线的判断方法，进而得出；再利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出mn的最大值；再结合已知条件和均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值；再利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出 的最小值 ，从而找出结论正确的选项。
12．（2022高三上·如皋开学考）已知函数，则（　　）
A．是以为周期的周期函数
B．直线是图象的一条对称轴
C．的值域为
D．在上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于，因为，所以是以为周期的周期函数，A符合题意；
对于B，，设，由，解得，B不符合题意，
对于C，的值域为，则的值域为，C符合题意；
对于D，，由，解得，
所以在上单调递减，所以在区间上单调递增，D符合题意．
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合三角函数的最小正周期公式得出函数f(x)的周期，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求出其对称轴，进而得出函数f(x)的对称轴；再结合正弦型函数的图象求值域的方法和构造法，进而得出函数f(x)的值域；再利用正弦型函数 的图象求出其单调性，从而结合复合函数求单调性的方法，即同增异减，进而得出函数f(x)在上的单调性，进而找出正确的选项。
13．（2022高三上·如皋开学考）若向量，，则与共线的单位向量的坐标是　 　.
【答案】和
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，，
所以，
所以与共线的单位向量的坐标为和。
故答案为：和。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示以及单位向量求解方法，进而得出 与共线的单位向量的坐标。
14．（2022高三上·如皋开学考）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则　 　.
【答案】0
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以，所以，即，则关于直线对称，
因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，
所以，则，所以是周期为的周期函数，
由，即，所以为奇函数，
又是定义域为的函数，所以，
在中，令，所以，
所以，
在中，令，所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：0
【分析】依题意可得关于直线对称、关于点对称且时周期为的周期函数，再求出、，即可得解.
15．（2022高三上·如皋开学考）已知函数有三个零点，且有，则的值为　 　.
【答案】12
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】若，则，即
当时，可得，不成立，故
等式两边同除以，得
即
令，则
方程有两个不等的实根，，
令，则，令，
当时，，当或时，
即函数在上单调递减，在，上单调递增，
如下图所示
函数有三个零点，
由图可知，
故答案为：12
【分析】由得出，令，得出，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.
16．（2022高三上·如皋开学考）设复数，，其中，若复数为实数，则　 　，的范围为　 　.
【答案】；
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为，所以，
所以，
因为复数为实数，所以，即，
所以，因为，所以，
因为，所以
，
因为，，所以，
所以。
故答案为：；。
【分析】利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再结合复数乘法的运算法则和复数为实数的判断方法，进而结合 ， 从而得出角的值；再利用 ， 结合构造法和不等式的基本性质，进而结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出 的取值范围。
17．（2022高三上·如皋开学考）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：当时，.
当时，，
因为当时，，
所以.
（2）解：因为，
所以，
故数列的前项和 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出结果即可。
18．（2022高三上·如皋开学考）已知、是方程的两个实数根.
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
由，
则，
所以；
（2）解：
；
（3）解：因为，
所以 ，
所以，
因为 ，
所以，，，
所以.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用 、是方程的两个实数根结合韦达定理和同角三角函数基本关系式，进而得出m的值。
（2）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和平方差公式，进而结合（1）中韦达定理得出 的值。
（3）利用（1）中m的值和韦达定理以及同角三角函数基本关系，进而结合角的取值范围，从而结合三角函数的图象求值域的方法，进而得出 的值，再利用韦达定理和平方差公式得出 的值。
19．（2022高三上·如皋开学考）将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．
（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．
【答案】（1）解：由题意，因为，可得，
解得，即，则，
所以，
因为为钝角，所以，故，
所以与不可能垂直．
（2）解：因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时，
因为，
所以，
又因为，所以．
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二阶行列式的定义得出t的值，进而得出 的值，再利用数量积定义得出， 再结合数量积的运算法则和数量积的定义得， 再利用 为钝角结合余弦函数的图象求值域的方法得出 ， 再结合构造法结合不等式的基本性质和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出判断出与不可能垂直。
（2）利用已知条件结合数量积的定义和数量积求向量的模的公式以及数量积的定义，再结合二次函数的图象求最值的方法得出 的最小值，进而得出此时 ， 再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量夹角公式，从而由两向量夹角的取值范围求出 与的夹角。
20．（2022高三上·如皋开学考）已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为d，
则，
所以，
所以；
（2）解：由，，则，，
所以等比数列的公比为3，
所以，
又因是等差数列的第项，
所以，
所以，所以，
所以，
则，
，
两式相减得
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而得出首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出公比的值，再利用等比数列的通项公式得出 ， 再利用是等差数列的第项，所以，再利用等比数列通项公式得出，进而得出数列的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前项和 。
21．（2022高三上·如皋开学考）已知函数.
（1）若在上单调递增，求正数的取值范围；
（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，D、E、H为边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.①边的中线；②A角的角平分线；③边的垂线.
【答案】（1）解：由题，
.
令，则.
令，则在上单调递增.
由在上递增，则，解得.
故正数的取值范围为.
（2）解：由，，则，则.
因为，由余弦定理，（*）.
若选择①，设，则.
因为D为中点，有，又，
在中，由余弦定理有.
同理在中，.
故.
代入（*）式，则，不合题意.故此时不存在满足条件的三角形.
若选择②，由为角平分线，则.
由，且，有.
即.
由（*）式，有，将上式代入，则有.
解得.
此时的周长为.
若选择③，由为垂线，则，故.
由（*）式，有，将上式代入，则有.
此时，的周长为.
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简函数 为正弦型函数，再利用x的取值范围结合构造法和正弦型函数的图象判断函数的单调性，进而得出正数 的取值范围。
（2）由（1）中求出的，再利用结合代入法得出角A的值，利用结合余弦定理得出（*）。
若选择①，设，则，利用D为中点，有，再利用结合余弦定理有，同理在中，，进而得出，代入（*）式，进而得出bc的值，不合题意，故此时不存在满足条件的三角形；
若选择②，由为角平分线，则，由，且，再利用三角形的面积公式得出，由（*）式，有，将上式代入得出b+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形的周长；
若选择③，由为垂线结合三角形面积公式以及已知条件得出bc的值，由（*）式，有，将上式代入得出的值，从而得出b+c的值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长。
22．（2022高三上·如皋开学考）已知.
（1）当时，求证：函数在上单调递增；
（2）若只有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以在上单调递增；
（2）解：因为，
所以为奇函数，，
要证明只有一个零点，只需证明在上无零点，
由（1）知：当时，，故，
令，则时，无零点，符合题意，
当时，，
故在上单调递减，则，无零点，符合题意，
当时，，，，
所以在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以，
取，时，令，
可得，即，且时，，
由零点存在性定理，在上至少存在一个零点，不符合题意，
综上所述：的取值范围为
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；分析法的思考过程、特点及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值求出函数的解析式，再利用两次求导的方法碰到合适的单调性，进而求出函数的最小值，进而证出函数在上单调递增。
（2）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数为奇函数，再结合奇函数的性质得出f(0)的值， 要证明只有一个零点，只需证明在上无零点， 再利用分析法证明方法和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再利用函数零点存在性定理，从而得出实数a的取值范围。
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