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陕西省宝鸡市陈仓高级中学2022-2023学年高三上学期理数第一次质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·陈仓开学考）已知集合，，若，（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·陈仓开学考）已知复数满足：，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022高三上·陈仓开学考）对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（ ）
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
4．（2022高三上·陈仓开学考）“省协作校期中考试数学试卷”的第7、8两道单选题难度系数较小，甲同学答对第7道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第7道题”，事件表示“甲同学答对第8道题”，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·咸阳期末）为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案种数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·陈仓开学考）春节是中华民族的传统节日，人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满30元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高二下·咸阳期末）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展.下表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x 1 2 3 4 5
销售量y(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为： ，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
8．（2022高三上·陈仓开学考）若直线的参数方程为为参数，则直线上到点的距离为的点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．（2022高三上·陈仓开学考），则（ ）
A．16 B．27 C．43 D．70
10．（2018高一上·唐山月考）函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
11．（2022高三上·陈仓开学考）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
12．（2022高三上·陈仓开学考）定义在区间内的函数满足，且当时，恒成立，其中为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·陈仓开学考）在的展开式中，含x3项的系数为
14．（2022高三上·陈仓开学考）若随机变量，，则 .
15．（2022高三上·陈仓开学考）我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是 种.
16．（2022高三上·陈仓开学考）2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是 （填序号）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
三、解答题
17．（2022高三上·陈仓开学考）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线：(为参数)与曲线的交点为，，求弦长的值.
18．（2022高三上·陈仓开学考）高三毕业时，甲乙丙丁四名同学找班主任老师站成一排拍照.
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
19．（2022高二下·南京期中）已知二项式的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
20．（2022高三上·陈仓开学考）奶茶是年轻人非常喜欢的饮品.某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性.针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的200人中女性人数是男性人数的4倍，统计如下：
超过百元 未超过百元 合计
男 8
女 144
合计 200
（1）完成如上列联表，并说明是否有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？
（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查.发现喜欢品牌的男女均为人，现从喜欢品牌的这6人中抽取2人送纪念品，用X表示抽取到女性的人数，求的概率.
附：
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
.
21．（2022高三上·陈仓开学考）为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：
x 1 2 3 4 5
y 90 100 105 105 100
参考公式：，．
（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；
（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为，求出的分布列与数学期望．
22．（2022·茂名模拟）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，并且，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由求出，进一步求出得答案.
2．【答案】B
【知识点】复数求模
【解析】【解答】由可得，
所以，
故答案为：B
【分析】由条件算出，然后可得答案.
3．【答案】C
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【解答】依题意：，
所以正相关，负相关，
，所以的线性相关性较强.
故答案为：C
【分析】根据相关系数的知识确定正确选项.
4．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题可知：甲同学答对第7道题的概率为，甲同学答对第7、8两道题的概率为；
故在事件发生的条件下，事件发生的概率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得：甲同学答对第7道题的概率及甲同学答对第7、8两道题的概率，利用条件概率的计算公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】每个人都可以参加5项活动中的一项，共有 种方法.
故答案为：C
【分析】由分布计数原理结合已知条件即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】三人领取礼品共包含种，他们三人领取的礼品种类都不相同，包含种情况，所以他们三人领取的礼品种类都不相同的概率.
故答案为：A
【分析】根据古典概型，利用排列，可求概率.
7．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表中数据可得 ， ，
将 代入 ，即 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】首先由已知的图表中的数据，计算出样本中心点的坐标，再把点的坐标代入到线性回归方程计算出结果即可。
8．【答案】C
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【解答】直线的普通方程x+y-1=0，设直线上点的坐标为（x，1-x），
所以，解之得x=-3或x=-1，
所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).
故答案为：C
【分析】先求出直线的普通方程x+y-1=0，设直线上点的坐标为（x，1-x），解方程即得x的值，即得点的坐标.
9．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】依题意，
令，得.
故答案为：C
【分析】利用赋值法求得正确答案.
10．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：函数在 处无意义，由图像看 在 轴右侧，所以 ， ，由 即 ，即函数的零点 ，
故答案为：C．
【分析】结合图像先判断定义域得c<0， f ( 0 ) > 0得b>0，由 f ( x ) = 0得a<0。
11．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，
第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，
其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有种方案，即48种方案；
区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有种方案，即24种方案；
所以符合条件的涂色方案共有72种，
故答案为：D.
【分析】符合条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方法数，相加即可求得结果.
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，
由且，故，即递增；
所以；
令，则，
由且，故，即递减；
所以；
综上，.
故答案为：B
【分析】构造、，利用导数研究单调性判断、即可得答案.
13．【答案】1080
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为，
令，得，
所以含项的系数为.
故答案为：1080
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
14．【答案】7
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，则，解得，则，
因此，.
故答案为：7.
【分析】利用二项分布的方差公式可得出关于的等式，解出的值，利用二项分布的期望公式以及期望的性质可求得结果.
15．【答案】150
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】5人分成3组，各组人数有1，1，3或1，2，2两类，
当各组人数为1，1，3时，不同的安排方案有种，
当各组人数为1，2，2时，不同的安排方案有种，
所以，不同的安排方案有150种.
故答案为：150
【分析】先将5人分成3组，然后再分配到三个地方.
16．【答案】②③
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以①错误，
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以②正确，
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以③正确，
对于④，由题意可知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以④错误，
故答案为：②③
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数m，并确定向上或向右各走的步数n，则最短路径的走法有，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率，小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
17．【答案】（1）解：将曲线的参数方程化为普通方程，
得.
曲线的极坐标方程为，有，
由得曲线的直角坐标方程为.
（2）解：将(为参数)代入曲线的方程得，，
即.
由于.
故可设，是方程的两个不同的实根，
所以，，
.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）首先利用消参法得到的参数方程化为普通方程，根据得到的直角坐标方程；
（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.
18．【答案】（1）解：甲乙站一起共有不同的排法数为；
（2）解：当最左端站甲时，不同的排法数为，
当最左端站乙时，因为最右端不能站甲，所以不同的排法数为，
因此最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，共有不同的排法数为；
（3）解：因为班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，
所以乙、丙两位同学在教师的两侧，因此不同的排法数为.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）运用捆绑法进行求解即可；
（2）运用分类计数原理，结合排列的定义进行求解即可；
（3）先对乙、丙进行排列，再对剩下二个同学进行排列即可.
19．【答案】（1）解：由题知：.
所以有，化简得：.
解得：或 (舍)．
（2）解：，
由，得.
所以.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由组合数公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合已知条件计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出答案。
20．【答案】（1）解：设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，则，，
超过百元 未超过百元 合计
男 8 32 40
女 16 144 160
合计 24 176 200
的观测值，
因此，有90%的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关.
（2）解：从喜欢品牌的这6人中抽取2人送纪念品，所有的基本事件有=种，
表示这两人恰好都是女性，共=种，因此的概率为.
【知识点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，求出的值，即可完成列表，再根据的公式计算出观测值即可得结论；
(2)求出部的选法有15种，再求出选出的两人恰好都是女性选法有3种，即可求得概率.
21．【答案】（1）解：由表格中的数据，可得，
，
，
，
则，可得，
故回归直线方程为
当时，，所以估计该考生的期末数学成绩为107.5分
（2）解：由题可知随机变量的所有可能取值为1，2，3，
则；；，
故随机变量的分布列为：
1 2 3
P
随机变量的数学期望．
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用公式求得，得到，即可求得回归方程；
（2）根据题意得到随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望.
22．【答案】（1）解：由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）解：X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出甲、乙两人所得分数相同的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
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陕西省宝鸡市陈仓高级中学2022-2023学年高三上学期理数第一次质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·陈仓开学考）已知集合，，若，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，并且，
所以，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由求出，进一步求出得答案.
2．（2022高三上·陈仓开学考）已知复数满足：，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数求模
【解析】【解答】由可得，
所以，
故答案为：B
【分析】由条件算出，然后可得答案.
3．（2022高三上·陈仓开学考）对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（ ）
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
【答案】C
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【解答】依题意：，
所以正相关，负相关，
，所以的线性相关性较强.
故答案为：C
【分析】根据相关系数的知识确定正确选项.
4．（2022高三上·陈仓开学考）“省协作校期中考试数学试卷”的第7、8两道单选题难度系数较小，甲同学答对第7道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第7道题”，事件表示“甲同学答对第8道题”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题可知：甲同学答对第7道题的概率为，甲同学答对第7、8两道题的概率为；
故在事件发生的条件下，事件发生的概率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得：甲同学答对第7道题的概率及甲同学答对第7、8两道题的概率，利用条件概率的计算公式求解即可.
5．（2021高二下·咸阳期末）为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】每个人都可以参加5项活动中的一项，共有 种方法.
故答案为：C
【分析】由分布计数原理结合已知条件即可得出答案。
6．（2022高三上·陈仓开学考）春节是中华民族的传统节日，人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满30元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】三人领取礼品共包含种，他们三人领取的礼品种类都不相同，包含种情况，所以他们三人领取的礼品种类都不相同的概率.
故答案为：A
【分析】根据古典概型，利用排列，可求概率.
7．（2021高二下·咸阳期末）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展.下表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x 1 2 3 4 5
销售量y(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为： ，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】由表中数据可得 ， ，
将 代入 ，即 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】首先由已知的图表中的数据，计算出样本中心点的坐标，再把点的坐标代入到线性回归方程计算出结果即可。
8．（2022高三上·陈仓开学考）若直线的参数方程为为参数，则直线上到点的距离为的点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【解答】直线的普通方程x+y-1=0，设直线上点的坐标为（x，1-x），
所以，解之得x=-3或x=-1，
所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).
故答案为：C
【分析】先求出直线的普通方程x+y-1=0，设直线上点的坐标为（x，1-x），解方程即得x的值，即得点的坐标.
9．（2022高三上·陈仓开学考），则（ ）
A．16 B．27 C．43 D．70
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】依题意，
令，得.
故答案为：C
【分析】利用赋值法求得正确答案.
10．（2018高一上·唐山月考）函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：函数在 处无意义，由图像看 在 轴右侧，所以 ， ，由 即 ，即函数的零点 ，
故答案为：C．
【分析】结合图像先判断定义域得c<0， f ( 0 ) > 0得b>0，由 f ( x ) = 0得a<0。
11．（2022高三上·陈仓开学考）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，
第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，
其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有种方案，即48种方案；
区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有种方案，即24种方案；
所以符合条件的涂色方案共有72种，
故答案为：D.
【分析】符合条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方法数，相加即可求得结果.
12．（2022高三上·陈仓开学考）定义在区间内的函数满足，且当时，恒成立，其中为的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则，
由且，故，即递增；
所以；
令，则，
由且，故，即递减；
所以；
综上，.
故答案为：B
【分析】构造、，利用导数研究单调性判断、即可得答案.
二、填空题
13．（2022高三上·陈仓开学考）在的展开式中，含x3项的系数为
【答案】1080
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】展开式的通项公式为，
令，得，
所以含项的系数为.
故答案为：1080
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
14．（2022高三上·陈仓开学考）若随机变量，，则 .
【答案】7
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】因为，则，解得，则，
因此，.
故答案为：7.
【分析】利用二项分布的方差公式可得出关于的等式，解出的值，利用二项分布的期望公式以及期望的性质可求得结果.
15．（2022高三上·陈仓开学考）我国棉田面积在40万公顷以上有7个省份，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.现有5名党员同志准备分别前往新疆、湖北、山东这三个地方考察，每个地方至少安排1名同志，则不同的安排方案种数是 种.
【答案】150
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】5人分成3组，各组人数有1，1，3或1，2，2两类，
当各组人数为1，1，3时，不同的安排方案有种，
当各组人数为1，2，2时，不同的安排方案有种，
所以，不同的安排方案有150种.
故答案为：150
【分析】先将5人分成3组，然后再分配到三个地方.
16．（2022高三上·陈仓开学考）2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是 （填序号）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【答案】②③
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以①错误，
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以②正确，
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以③正确，
对于④，由题意可知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以④错误，
故答案为：②③
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数m，并确定向上或向右各走的步数n，则最短路径的走法有，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率，小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
三、解答题
17．（2022高三上·陈仓开学考）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线：(为参数)与曲线的交点为，，求弦长的值.
【答案】（1）解：将曲线的参数方程化为普通方程，
得.
曲线的极坐标方程为，有，
由得曲线的直角坐标方程为.
（2）解：将(为参数)代入曲线的方程得，，
即.
由于.
故可设，是方程的两个不同的实根，
所以，，
.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）首先利用消参法得到的参数方程化为普通方程，根据得到的直角坐标方程；
（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.
18．（2022高三上·陈仓开学考）高三毕业时，甲乙丙丁四名同学找班主任老师站成一排拍照.
（1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？
（2）若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，则共有多少种不同的排法？
（3）求班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？
【答案】（1）解：甲乙站一起共有不同的排法数为；
（2）解：当最左端站甲时，不同的排法数为，
当最左端站乙时，因为最右端不能站甲，所以不同的排法数为，
因此最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，共有不同的排法数为；
（3）解：因为班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，
所以乙、丙两位同学在教师的两侧，因此不同的排法数为.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）运用捆绑法进行求解即可；
（2）运用分类计数原理，结合排列的定义进行求解即可；
（3）先对乙、丙进行排列，再对剩下二个同学进行排列即可.
19．（2022高二下·南京期中）已知二项式的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）解：由题知：.
所以有，化简得：.
解得：或 (舍)．
（2）解：，
由，得.
所以.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由组合数公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意首先求出二项展开式的通项公式，结合已知条件计算出r的取值，并代入到通项公式由此计算出答案。
20．（2022高三上·陈仓开学考）奶茶是年轻人非常喜欢的饮品.某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性.针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的200人中女性人数是男性人数的4倍，统计如下：
超过百元 未超过百元 合计
男 8
女 144
合计 200
（1）完成如上列联表，并说明是否有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？
（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查.发现喜欢品牌的男女均为人，现从喜欢品牌的这6人中抽取2人送纪念品，用X表示抽取到女性的人数，求的概率.
附：
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
.
【答案】（1）解：设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，则，，
超过百元 未超过百元 合计
男 8 32 40
女 16 144 160
合计 24 176 200
的观测值，
因此，有90%的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关.
（2）解：从喜欢品牌的这6人中抽取2人送纪念品，所有的基本事件有=种，
表示这两人恰好都是女性，共=种，因此的概率为.
【知识点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1)设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，求出的值，即可完成列表，再根据的公式计算出观测值即可得结论；
(2)求出部的选法有15种，再求出选出的两人恰好都是女性选法有3种，即可求得概率.
21．（2022高三上·陈仓开学考）为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：
x 1 2 3 4 5
y 90 100 105 105 100
参考公式：，．
（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；
（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为，求出的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：由表格中的数据，可得，
，
，
，
则，可得，
故回归直线方程为
当时，，所以估计该考生的期末数学成绩为107.5分
（2）解：由题可知随机变量的所有可能取值为1，2，3，
则；；，
故随机变量的分布列为：
1 2 3
P
随机变量的数学期望．
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用公式求得，得到，即可求得回归方程；
（2）根据题意得到随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望.
22．（2022·茂名模拟）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】（1）解：由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）解：X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出甲、乙两人所得分数相同的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
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