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云南省昆明市五华区2023届高三上学期数学8月教学质量摸底检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·五华开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·五华开学考）已知，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022高三上·五华开学考）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高三上·五华开学考）已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·五华开学考）小明暑假来到云南旅游，从云腿、三七、普洱茶、鲜花饼、油鸡枞、小粒咖啡这六种云南特产中任意购买两种，则小明购买了油鸡枞的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·五华开学考）已知函数，，若的图象如图所示，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022高三上·五华开学考）已知函数是偶函数，且在区间上恰有6个零点，则的最大整数值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（2022高三上·五华开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·五华开学考）如图，在正方体中，点E是线段AC上的动点，则（ ）
A． B．平面
C． D．
10．（2022高三上·五华开学考）某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如下统计图，则（ ）
A．1号和2号运动员比较，1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定
B．3号和4号运动员比较，3号竞技水平较高，且4号成绩较稳定
C．5号和6号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且6号成绩波动较大
D．7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且8号成绩波动较大
11．（2022高三上·五华开学考）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，与C的另一交点为M，与C的另一交点为N，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．C的离心率为
B．
C．的周长为18
D．设的面积为，的面积为，则
12．（2022高三上·五华开学考）已知函数 ，设，则（ ）
A．至少有一个零点
B．若恰有一个零点，则
C．若恰有两个零点，则
D．若恰有三个零点，则
三、填空题
13．（2022高三上·五华开学考）为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为 cm.
14．（2022高三上·五华开学考）已知的外接圆圆心为O，，，若向量在向量方向上的投影向量为，则 .
15．（2022高三上·五华开学考）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长为6dm，侧面积为，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于 .
16．（2022高三上·五华开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为 .
四、解答题
17．（2022高三上·五华开学考）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，，求的面积.
18．（2022高三上·五华开学考）如图，直三棱柱中，为中点.
（1）证明：平面；
（2）若此三棱柱的体积为1，，，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2022高三上·五华开学考）设等比数列的公比为q，前n项和为，，.
（1）求；
（2）若，证明：.
20．（2022高三上·五华开学考）根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量y（单位：千吨）与年份的散点图如下：
记年份代码为，，对数据处理后得：
6 0.45 1.5 210 76 17
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为y关于x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到0.01）.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
21．（2022高三上·五华开学考）以点P为圆心的圆过点，且与直线相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设过点的直线与C交于M，N两点，T是直线上任意一点，证明：直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
22．（2022高三上·五华开学考）已知函数，，过原点的直线与曲线相切，也与曲线相切.
（1）求a；
（2）设有两个极值点，.
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，
.
故答案为：B
【分析】化简集合A，根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数求模
【解析】【解答】由复数，所以.
故答案为：D.
【分析】化简复数为，利用复数模的计算公式，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为数列的通项为，
所以数列是等差数列，
所以，，
所以.A，B，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式求解.
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为，都是锐角，，，
所以，
，
所以
.B，C，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式求解.
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】小明从六种云南特产中任意购买两种，共有种情况，
小明购买了油鸡枞的情况共有种情况，
所以小明购买了油鸡枞的概率是.A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用组合数以及古典概型进行求解.
6．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】，
是偶函数，且.
，，
是奇函数且，
由图象知函数是奇函数且，
对于A，，，，函数不是奇函数，故错误；
对于B，，无意义，函数不过原点，故错误；
对于C，，，，函数是奇函数，故正确；
对于D：，无意义，图象不过原点，故错误.
故答案为：C
【分析】判断函数，的奇偶性，再计算，，由图象知函数为过原点的奇函数，利用奇函数定义判断选项即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为函数是偶函数，
所以，所以（或）.
令，当时，，即（或）.
要使函数在区间上恰有6个零点，
只需（或）在上恰有6个零点，
只需，解得：.
故的最大整数值为10.
故答案为：A
【分析】先把函数化为（或），利用换元法转化为（或）在上恰有6个零点，利用余弦函数的图象和性质列不等式即可求出，进而求出的最大整数值.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：构造函数，
因为，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，即，
所以，
故答案为：D.
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，从而即可比较大小.
9．【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图连接、、，由正方体的性质可知且，
所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，又，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，B符合题意；
因为，所以当且仅当与重合时才有，A不符合题意；
在正方体中，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面，
平面，所以，C符合题意，
易得，又，所以与不可能垂直，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】连接、、，即可证明平面，从而说明A、B，通过证明平面，即可说明C，再由，即可说明D.
10．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】对于A，由统计图可知：1号运动员成绩的平均分和标准差均高于2号运动员，
1号竞技水平较高，2号成绩较稳定，A符合题意；
对于B，由统计图可知：3号运动员成绩的平均分和4号运动员成绩的平均分相同，
两名运动员的竞技水平相同，B不符合题意；
对于C，由统计图可知：5号运动员成绩的标准差高于6号运动员成绩的标准差，
号远动员的成绩波动较大，C不符合题意；
对于D，由统计图可知：7号和8号运动员成绩的平均分均低于整体平均分，8号运动员成绩的标准差高于号运动员成绩的标准差，
7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，8号成绩波动较大，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据统计图对比成绩的平均分和标准差，依次判断各个选项即可.
11．【答案】A,B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图所示：
设，联立，
得，
解得，，则，
所以，
因为直线与直线的斜率之积为，
所以，即，
则，
所以，，
则，
，，
所以，，
则，
故答案为：ABCD
【分析】设，与椭圆方程联立，根据直线与直线直线与直线的斜率之积为，求得a，b，c，再逐项求解判断.
12．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】由题意得的零点问题可转化为的解的问题，即转化为函数的图象的交点问题，
当时，为单调递增函数，
，
当时，，，
当时，，递减，
当时，，递增，
故时，函数取得极小值也即最小值 ，
由此可作出函数的大致图象，如图示：
对于A，由图象可知的图象至少有一个交点，
即至少有一个零点，A符合题意；
对于B，当或时，的图象恰好有一个交点，
即恰有一个零点，B不符合题意；
对于C，当时，的图象恰好有两个交点，
即恰有两个零点，C符合题意；
对于D，当时，的图象恰好有三个交点，
即恰有三个零点，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由题意得的零点问题可转化为的解的问题，即转化为函数的图象的交点问题，对分类讨论即可求解.
13．【答案】78
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由图可知，从左到右矩形的面积为：0.2，0.4，0.25，
因为0.2+0.4+0.25=0.85>0.8，所以80%分位数位于第3个矩形，
设80%分位数为x，所以.
故答案为：78.
【分析】根据频率分布直方图，利用分位数的概念求解.
14．【答案】
【知识点】向量的投影
【解析】【解答】因为的外接圆圆心为O，，
所以O位BC中点，即BC为外接圆直径，
所以，设外接圆半径为，又，
所以，所以，
如图，过点A作，垂足为M，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
所以，所以，又，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】结合图形，利用圆、直角三角形的性质，根据投影向量的概念进行求解.
15．【答案】144π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为，由，解得，
如图，设外接球的球心为半径为，
由圆得，即，解得，
由得，
所以该球体的表面积等于.
故答案为：144π.
【分析】由侧面积求出圆锥的底面半径，勾股定理求出圆锥的高，再利用勾股定理可得球的半径，根据球的表面积公式计数可得答案.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，所以，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出a，c的关系，从而可得双曲线C的离心率.
17．【答案】（1）解：因为
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以.
（2）解：由余弦定理，得，
解得.
所以的面积.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A；
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
18．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
在直三棱柱中，为矩形，所以为中点，
又因为E为BC中点，所以，
又由平面，平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，
又因为，，所以平面，所以，
由，可得，
以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连接交于点，连接， 证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，，结合向量的夹角公式即可求解.
19．【答案】（1）解：据题意知：
，解得或，
所以或.
（2）证明：由（1）有：因为，所以，记，
则①
②
所以得
，
∴，
因为，所以，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据已知条件利用等比数列通项建立方程组，求出基本量进行处理；
（2）利用错位相减法以及不等式的性质进行处理.
20．【答案】（1）解：由散点图得模型②适宜作为y关于x的回归方程.
（2）解：由题知：
，
，
所以y关于t的回归方程为，
即y关于x的回归方程为，
2022年对应的年份代码为，得，
所以，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量约为3.97千吨.
【知识点】散点图；最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；
（2）根据表中数据和参考数据，利用公式求解即可.
21．【答案】（1）解：据题意知：点P到点的距离等于点P到直线的距离，
所以点P的轨迹C是以A为焦点，直线为准线的抛物线，
从而点P的轨迹方程为
（2）解：设，直线，，，
由，得，
故，，，
所以，
从而，，，
所以
，
所以，
即直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用抛物线的定义求解.
（2）“设而不求”，利用直线方程与抛物线方程联立，韦达定理，再利用斜率公式以及等差数列的概念进行处理.
22．【答案】（1）解：设过原点的直线l与曲线切于点，，
则l的方程为，
由l过原点知，解得，
故.
由，得，
又l与相切，故，
从而解得.
（2）解：（ⅰ），
，
由函数有两个极值点，知：，是方程的两个不等正实根，
则，解得.
（ⅱ），
，
，
，
，
设，
由，
在上单减.
所以，
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设直线l与曲线切于点，，则l的方程为，再与联立，由求解；
（2）（ⅰ）求导， 由函数有两个极值点，知：，是方程的两个不等正实根，根据根与系数关系即可得解；
（ⅱ）由（ⅰ）易得，设，利用导数法证明.
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云南省昆明市五华区2023届高三上学期数学8月教学质量摸底检测试卷
一、单选题
1．（2022高三上·五华开学考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，
.
故答案为：B
【分析】化简集合A，根据集合的交集运算求解即可.
2．（2022高三上·五华开学考）已知，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数求模
【解析】【解答】由复数，所以.
故答案为：D.
【分析】化简复数为，利用复数模的计算公式，即可求解.
3．（2022高三上·五华开学考）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】因为数列的通项为，
所以数列是等差数列，
所以，，
所以.A，B，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式求解.
4．（2022高三上·五华开学考）已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为，都是锐角，，，
所以，
，
所以
.B，C，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式求解.
5．（2022高三上·五华开学考）小明暑假来到云南旅游，从云腿、三七、普洱茶、鲜花饼、油鸡枞、小粒咖啡这六种云南特产中任意购买两种，则小明购买了油鸡枞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】小明从六种云南特产中任意购买两种，共有种情况，
小明购买了油鸡枞的情况共有种情况，
所以小明购买了油鸡枞的概率是.A，C，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用组合数以及古典概型进行求解.
6．（2022高三上·五华开学考）已知函数，，若的图象如图所示，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】，
是偶函数，且.
，，
是奇函数且，
由图象知函数是奇函数且，
对于A，，，，函数不是奇函数，故错误；
对于B，，无意义，函数不过原点，故错误；
对于C，，，，函数是奇函数，故正确；
对于D：，无意义，图象不过原点，故错误.
故答案为：C
【分析】判断函数，的奇偶性，再计算，，由图象知函数为过原点的奇函数，利用奇函数定义判断选项即可.
7．（2022高三上·五华开学考）已知函数是偶函数，且在区间上恰有6个零点，则的最大整数值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为函数是偶函数，
所以，所以（或）.
令，当时，，即（或）.
要使函数在区间上恰有6个零点，
只需（或）在上恰有6个零点，
只需，解得：.
故的最大整数值为10.
故答案为：A
【分析】先把函数化为（或），利用换元法转化为（或）在上恰有6个零点，利用余弦函数的图象和性质列不等式即可求出，进而求出的最大整数值.
8．（2022高三上·五华开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：构造函数，
因为，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，即，
所以，
故答案为：D.
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，从而即可比较大小.
二、多选题
9．（2022高三上·五华开学考）如图，在正方体中，点E是线段AC上的动点，则（ ）
A． B．平面
C． D．
【答案】B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图连接、、，由正方体的性质可知且，
所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，又，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，B符合题意；
因为，所以当且仅当与重合时才有，A不符合题意；
在正方体中，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可证，，平面，所以平面，
平面，所以，C符合题意，
易得，又，所以与不可能垂直，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】连接、、，即可证明平面，从而说明A、B，通过证明平面，即可说明C，再由，即可说明D.
10．（2022高三上·五华开学考）某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如下统计图，则（ ）
A．1号和2号运动员比较，1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定
B．3号和4号运动员比较，3号竞技水平较高，且4号成绩较稳定
C．5号和6号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且6号成绩波动较大
D．7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且8号成绩波动较大
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】对于A，由统计图可知：1号运动员成绩的平均分和标准差均高于2号运动员，
1号竞技水平较高，2号成绩较稳定，A符合题意；
对于B，由统计图可知：3号运动员成绩的平均分和4号运动员成绩的平均分相同，
两名运动员的竞技水平相同，B不符合题意；
对于C，由统计图可知：5号运动员成绩的标准差高于6号运动员成绩的标准差，
号远动员的成绩波动较大，C不符合题意；
对于D，由统计图可知：7号和8号运动员成绩的平均分均低于整体平均分，8号运动员成绩的标准差高于号运动员成绩的标准差，
7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，8号成绩波动较大，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据统计图对比成绩的平均分和标准差，依次判断各个选项即可.
11．（2022高三上·五华开学考）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，与C的另一交点为M，与C的另一交点为N，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A．C的离心率为
B．
C．的周长为18
D．设的面积为，的面积为，则
【答案】A,B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图所示：
设，联立，
得，
解得，，则，
所以，
因为直线与直线的斜率之积为，
所以，即，
则，
所以，，
则，
，，
所以，，
则，
故答案为：ABCD
【分析】设，与椭圆方程联立，根据直线与直线直线与直线的斜率之积为，求得a，b，c，再逐项求解判断.
12．（2022高三上·五华开学考）已知函数 ，设，则（ ）
A．至少有一个零点
B．若恰有一个零点，则
C．若恰有两个零点，则
D．若恰有三个零点，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】由题意得的零点问题可转化为的解的问题，即转化为函数的图象的交点问题，
当时，为单调递增函数，
，
当时，，，
当时，，递减，
当时，，递增，
故时，函数取得极小值也即最小值 ，
由此可作出函数的大致图象，如图示：
对于A，由图象可知的图象至少有一个交点，
即至少有一个零点，A符合题意；
对于B，当或时，的图象恰好有一个交点，
即恰有一个零点，B不符合题意；
对于C，当时，的图象恰好有两个交点，
即恰有两个零点，C符合题意；
对于D，当时，的图象恰好有三个交点，
即恰有三个零点，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由题意得的零点问题可转化为的解的问题，即转化为函数的图象的交点问题，对分类讨论即可求解.
三、填空题
13．（2022高三上·五华开学考）为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为 cm.
【答案】78
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由图可知，从左到右矩形的面积为：0.2，0.4，0.25，
因为0.2+0.4+0.25=0.85>0.8，所以80%分位数位于第3个矩形，
设80%分位数为x，所以.
故答案为：78.
【分析】根据频率分布直方图，利用分位数的概念求解.
14．（2022高三上·五华开学考）已知的外接圆圆心为O，，，若向量在向量方向上的投影向量为，则 .
【答案】
【知识点】向量的投影
【解析】【解答】因为的外接圆圆心为O，，
所以O位BC中点，即BC为外接圆直径，
所以，设外接圆半径为，又，
所以，所以，
如图，过点A作，垂足为M，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
所以，所以，又，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】结合图形，利用圆、直角三角形的性质，根据投影向量的概念进行求解.
15．（2022高三上·五华开学考）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长为6dm，侧面积为，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于 .
【答案】144π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为，由，解得，
如图，设外接球的球心为半径为，
由圆得，即，解得，
由得，
所以该球体的表面积等于.
故答案为：144π.
【分析】由侧面积求出圆锥的底面半径，勾股定理求出圆锥的高，再利用勾股定理可得球的半径，根据球的表面积公式计数可得答案.
16．（2022高三上·五华开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，所以，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出a，c的关系，从而可得双曲线C的离心率.
四、解答题
17．（2022高三上·五华开学考）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：因为
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以.
（2）解：由余弦定理，得，
解得.
所以的面积.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A；
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
18．（2022高三上·五华开学考）如图，直三棱柱中，为中点.
（1）证明：平面；
（2）若此三棱柱的体积为1，，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
在直三棱柱中，为矩形，所以为中点，
又因为E为BC中点，所以，
又由平面，平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，
又因为，，所以平面，所以，
由，可得，
以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连接交于点，连接， 证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，，结合向量的夹角公式即可求解.
19．（2022高三上·五华开学考）设等比数列的公比为q，前n项和为，，.
（1）求；
（2）若，证明：.
【答案】（1）解：据题意知：
，解得或，
所以或.
（2）证明：由（1）有：因为，所以，记，
则①
②
所以得
，
∴，
因为，所以，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）根据已知条件利用等比数列通项建立方程组，求出基本量进行处理；
（2）利用错位相减法以及不等式的性质进行处理.
20．（2022高三上·五华开学考）根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量y（单位：千吨）与年份的散点图如下：
记年份代码为，，对数据处理后得：
6 0.45 1.5 210 76 17
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为y关于x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到0.01）.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）解：由散点图得模型②适宜作为y关于x的回归方程.
（2）解：由题知：
，
，
所以y关于t的回归方程为，
即y关于x的回归方程为，
2022年对应的年份代码为，得，
所以，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量约为3.97千吨.
【知识点】散点图；最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；
（2）根据表中数据和参考数据，利用公式求解即可.
21．（2022高三上·五华开学考）以点P为圆心的圆过点，且与直线相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设过点的直线与C交于M，N两点，T是直线上任意一点，证明：直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
【答案】（1）解：据题意知：点P到点的距离等于点P到直线的距离，
所以点P的轨迹C是以A为焦点，直线为准线的抛物线，
从而点P的轨迹方程为
（2）解：设，直线，，，
由，得，
故，，，
所以，
从而，，，
所以
，
所以，
即直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用抛物线的定义求解.
（2）“设而不求”，利用直线方程与抛物线方程联立，韦达定理，再利用斜率公式以及等差数列的概念进行处理.
22．（2022高三上·五华开学考）已知函数，，过原点的直线与曲线相切，也与曲线相切.
（1）求a；
（2）设有两个极值点，.
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：.
【答案】（1）解：设过原点的直线l与曲线切于点，，
则l的方程为，
由l过原点知，解得，
故.
由，得，
又l与相切，故，
从而解得.
（2）解：（ⅰ），
，
由函数有两个极值点，知：，是方程的两个不等正实根，
则，解得.
（ⅱ），
，
，
，
，
设，
由，
在上单减.
所以，
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设直线l与曲线切于点，，则l的方程为，再与联立，由求解；
（2）（ⅰ）求导， 由函数有两个极值点，知：，是方程的两个不等正实根，根据根与系数关系即可得解；
（ⅱ）由（ⅰ）易得，设，利用导数法证明.
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