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浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期数学适应性联合考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·延庆期末）已知集合，，，则的值可以是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合，或，
所以或，
因为，结合选项可得.
故答案为：D.
【分析】化简集合A、B，再由结合交集的定义，即可求出 的值 .
2．（2022高三上·浙江开学考）已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】，，
又，，，
设与的夹角为，
，
从而，所以与的夹角.
故答案为：C
【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.
3．（2022高三上·浙江开学考）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设，，，，，
而，，即是的中点，
，，
.
故答案为：C
【分析】根据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.
4．（2022高三上·浙江开学考）已知复数z满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设，则，
整理得：，
所以，消去得，
因为方程有解，所以，解得：.
故答案为：D.
【分析】设，由复数相等，得出，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.
5．（2022高三上·浙江开学考）若，则的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设，则，
，
又，代入上式得，
又，则，
所以当时，取最大值．
故答案为：B.
【分析】设，则，利用余弦定理求得，再结合三角形的面积公式计算即可得出答案.
6．（2022高三上·浙江开学考）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.
故答案为：C
【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率.
7．（2022高三上·浙江开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故答案为：A
【分析】对变形得到，进而得到，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
8．（2022高三上·浙江开学考）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的性质；数列递推式
【解析】【解答】设，，，
因为，所以，所以，
所以，所以．因为，
所以．
下面用归纳法证明．当时，，
假设当时，，那么对，，所以，
因为，所以，所以．因此，.
，所以，，
综上，．
再设，所以，
所以函数在单调递增，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，而，
所以取足够大，易知，即．
设，，
，所以在单调递减，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
而，所以，所以，
所以，当足够大时，易知须满足，即．综上，．
故答案为：A.
【分析】设，，，，分析得，所以，又分析得，再用数学归纳法证明得，再设函数，分析得函数在单调递增，所以，得到，即，再利用条件，易知，即，再设函数，，分析得在单调递减，所以，得到，即，即，再结合条件得到，即，即可求解.
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，，，
，A符合题意．
所以，，所以，B符合题意．
事件A，B，C不可能同时发生，故，C不符合题意；
，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】由相互独立事件乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B.
10．（2022高三上·浙江开学考）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为，所以，.
由，得，
设，则，
可得，则在定义域上单调递减，
因为，所以，则，A符合题意；
因为，所以，则 ，B不符合题意；
因为，所以，则，C符合题意；
因为，所以，则，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较.
11．（2022高三上·广州月考）已知抛物线上的四点，B，C，P，直线AB，AC是圆的两条切线，直线PQ、PR与圆M分别切于点Q、R，则下列说法正确的有（ ）
A．当劣弧QR的弧长最短时，
B．当劣弧QR的弧长最短时，
C．直线BC的方程为
D．直线BC的方程为
【答案】B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的一般式方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由已知得抛物线y2=2px过点 ，即22=2P×2 ，所以P=1 ，
即抛物线为y2=2x ，
对于AB选项，如图所示，
设点 当劣弧QR的弧长最短时， ∠QMR最小，
又∠QMR+∠QOR=π ，所以∠QPR最大，即cos∠QPR最小，
又cos∠QPR=cos2∠QPM=1-2sin2∠QPM=1-2· ，
又圆M：(x-2)2+y2=1 ，所以圆心M（2，0） ，半径r=|QM|=1 ，cos∠QPR=1-2· ，
又 ，
所以当时，|PM|2取最小值为3，此时cos∠QPR最小为 ，
所以A选项错误，B选项正确；
对于CD选项，设过点A作圆M切线的方程为y-2=k(x-2) ，即kx-y-2k+2=0 ，
所以 ，解得k= ，
则直线AB的方程为：y-2=(x-2) ，即 ，
直线AC的方程为：y-2=-(x-2) ，即 ，
联立直线AB与抛物线 ，得 ，
故 ，
同理可得 ，
所以 ，
直线BC的方程为 ，即3x+6y+4=0 ，所以C选项错误，D选项正确；
故选：BD
【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即 ∠QMR最小， ∠QPR最大，cos∠QPR最小，根据二倍角公式及三角函数可得cos∠QPR=1-2· ， 设点 ，求|PM|2的最小值即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线AB与AC的方程，进而可得点B与点C的坐标，即可得直线BC .
12．（2022高三上·浙江开学考）如图，在中，，，，设点在上的射影为，将绕边任意转动，则有（ ）
A．若为锐角，则在转动过程中存在位置使
B．若为直角，则在转动过程中存在位置使
C．若，则在转动过程中存在位置使
D．若，则在转动过程中存在位置使
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正切公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】不妨设点在直线上的射影点为，当绕着直线旋转时，
会形成圆锥，且直线为该圆锥的轴所在的直线，如下图所示：
在圆锥上任取一点，平面为平面，
当为锐角时，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则；
因为，，平面，
当时，点与点重合；
当为钝角时，则点在射线上；
当或时，点与点重合.
不失一般性，不妨设，则点在线段上，且，设的外接圆为圆.
对于A选项，若为锐角，如下图所示：
不妨设，则，，
因为，若存在位置使得，即，
设，由于，则点不与线段的端点重合，即，
，
则，即，
令，其中，
因为为锐角，则，，则函数在上单调递增，
，，
故方程在时有解，
所以，若为锐角，则在转动过程中存在位置使，A对；
对于B选项，若为直角，则为等腰直角三角形，此时点与点重合，
当点在线段（不包含端点）上运动时，的取值范围是，
此时，不存在位置使得，B不符合题意；
对于C选项，连接、，
因为，，则，
，则，
由圆的几何性质可得，
，则，所以，，
故线段与圆相交，设交点为，当点在线段（不包括端点）上运动时，
延长交圆于点，连接，则，
若，则在转动过程中存在位置使，C对；
对于D选项，若，，则，
，则，
由圆的几何性质可得，
，，所以，，
所以，与圆相切，
当点在线段（不包括端点）上运动时，连接交圆于点，连接、，
则，
所以，若，则在转动过程中不存在位置使，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】作出相应的图形，利用两角和的正切公式以及零点存在定理可判断A选项；利用圆的几何性质以及平面几何相关知识可判断BCD选项.
三、填空题
13．（2022高三上·广东开学考）的展开式中的常数项为 ．
【答案】1120
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式的通项为：，
令，得，
所以的展开式的常数项为．
故答案为：1120.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式的常数项.
14．（2022高三上·浙江开学考）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，
联立方程，解得点的坐标为，有，
又由直线的斜率为，可得，有，
故双曲线的渐近线方程为．
故答案为：
【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到的坐标，利用的坐标求出直线的斜率，得到，继而求出双曲线的渐近线方程.
15．（2022高三上·浙江开学考）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，
正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
设到底面的距离为，到底面的距离为，
则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，
记其中点为，且由题意可知，为正三角形的中心，
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且为的中点，可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，
，，记球的半径为，于是，
在中，由勾股定理可得，，
解得，于是，则．
故答案为：
【分析】作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比.
16．（2022高三上·浙江开学考）设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为 .
【答案】7
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】因为，所以，
所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，
令，所以，
所以关于直线对称，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
由图象可知：的图象共有7个交点，
其中6个点关于对称，还有一个点横坐标为1，
所以交点的横坐标之和为，
所以在上所有零点之和为7，
故答案为：7.
【分析】分析的对称性，将问题转化为图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求在区间［0，］上的最值.
【答案】（1）解：=.
因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递增区间为（kZ）.
（2）解：因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为1，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
18．（2022高三上·浙江开学考）已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：由已知有：
所以，
，
其中，所以数列为以2为首项，公比为2的等比数列.
所以，得.
（2）解：由（1）知：，
，
所以
.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）先化简，再推导出，即可求解；
（2）结合第一问，先求出数列的满足的规律，然后再求和.
19．（2022高三上·浙江开学考）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面是的中点，且为等边三角形，平面平面.
（1）设直线，求点到平面PDC的距离；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）解：延长，交于点直线，
在底面中，，得为中位线，
所以为中点，
因为分别为中点，所以为的中位线，
得，所以点到平面PDC的距离是点到平面PDC的距离的2倍，
易得是等边三角形，，
取中点中点为，连接，
所以在中，，解得，
所以，所以
因为平面平面平面平面，，平面，所以平面则以为原点如图建立直角坐标系，
由题意得
，
设平面PDC的法向量
由得，令，则，
所以
所以点到平面PDC的距离为，
所以点到平面的距离是；
（2）解：由（1）得：，
设平面法向量
由得，令，则，
则
设平面PBE法向量，
由得，令，则，
则
设二面角P-BE-D的平面角为
因此，二面角的正弦值是
【知识点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 延长，交于点直线， ，通过图象关系可得点到平面PDC的距离是点到平面PDC的距离的2倍， 通过建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面PDC的距离的2倍，继而得到结果；
（2）通过向量法求解二面角的余弦值，继而求出正弦值
20．（2023高三上·江汉开学考）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量X [2.55.5） [5.5，8.5） [8.5，115） [115，14.5） [14.5.175） [175，20.5） [20.523.5）
频数 5 6 9 12 8 6 4
（参考数据：若X~，则，，.）
（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：由已知，得，，所以因为所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.
（2）解：由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且所以Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
所以
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1） 由已知，得， ，求出 ，可求出 这320家企业中“超标”企业的家数 ；
（2）由题意 Y的可能取值为1，2，3，4， 分别求出相应的概率，由此求出 Y的分布列与数学期望.
21．（2022高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
（1）若的面积为，求的值及圆的方程
（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.
【答案】（1）解：由对称性可知：，设，由焦半径可得：，，解得：圆的方程为：
（2）解：由题意得：直线的斜率一定存在，其中，设关于直线的对称点为，则，解得：，联立与得：，设，则，则，则，解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，所以，
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】 (1)由焦半径和圆的半径得到 ， 结合△ABD面积求出p=2，进而求出圆的方程；
(2)表达出 关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出 ，从而利用两点间距离公式表达出 .
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数．
（1）当时，证明；
（2）若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，定义域为，
设，则，
所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，且等号不同时成立，所以；
（2）解：函数，，
若存在极值点，则，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，不妨设，
若，则；
若，由可得，则，
所以，即对恒成立，
令，则，
则
，
设，则，
，
令，，
则，
，
令，
则，
令，则，
当时，令，
则
，
设，
所以，所以，
所以当时，，单调递增，，单调递增，
，单调递增，，单调递减，，
，符合题意；
当时，，存在，单调递减，，
，，单调递增，，，
不符合题意；
所以，由单调递增可得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用切线放缩可得，且等号不同时成立，则结论可证；
（2）多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化问题为，再由即可得解.
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浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期数学适应性联合考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·延庆期末）已知集合，，，则的值可以是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2．（2022高三上·浙江开学考）已知向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高三上·浙江开学考）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022高三上·浙江开学考）已知复数z满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·浙江开学考）若，则的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2022高三上·浙江开学考）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·浙江开学考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·浙江开学考）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高三上·浙江开学考）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高三上·广州月考）已知抛物线上的四点，B，C，P，直线AB，AC是圆的两条切线，直线PQ、PR与圆M分别切于点Q、R，则下列说法正确的有（ ）
A．当劣弧QR的弧长最短时，
B．当劣弧QR的弧长最短时，
C．直线BC的方程为
D．直线BC的方程为
12．（2022高三上·浙江开学考）如图，在中，，，，设点在上的射影为，将绕边任意转动，则有（ ）
A．若为锐角，则在转动过程中存在位置使
B．若为直角，则在转动过程中存在位置使
C．若，则在转动过程中存在位置使
D．若，则在转动过程中存在位置使
三、填空题
13．（2022高三上·广东开学考）的展开式中的常数项为 ．
14．（2022高三上·浙江开学考）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为 ．
15．（2022高三上·浙江开学考）以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则
16．（2022高三上·浙江开学考）设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为 .
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求在区间［0，］上的最值.
18．（2022高三上·浙江开学考）已知数列满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（2022高三上·浙江开学考）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面是的中点，且为等边三角形，平面平面.
（1）设直线，求点到平面PDC的距离；
（2）求二面角的正弦值.
20．（2023高三上·江汉开学考）为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量X [2.55.5） [5.5，8.5） [8.5，115） [115，14.5） [14.5.175） [175，20.5） [20.523.5）
频数 5 6 9 12 8 6 4
（参考数据：若X~，则，，.）
（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；
（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.
21．（2022高三上·湖北开学考）抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
（1）若的面积为，求的值及圆的方程
（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|的取值范围.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数．
（1）当时，证明；
（2）若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合，或，
所以或，
因为，结合选项可得.
故答案为：D.
【分析】化简集合A、B，再由结合交集的定义，即可求出 的值 .
2．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】，，
又，，，
设与的夹角为，
，
从而，所以与的夹角.
故答案为：C
【分析】先对平方，代入已知条件整理得，再利用数量积公式可求得.
3．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设，，，，，
而，，即是的中点，
，，
.
故答案为：C
【分析】根据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.
4．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设，则，
整理得：，
所以，消去得，
因为方程有解，所以，解得：.
故答案为：D.
【分析】设，由复数相等，得出，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设，则，
，
又，代入上式得，
又，则，
所以当时，取最大值．
故答案为：B.
【分析】设，则，利用余弦定理求得，再结合三角形的面积公式计算即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.
故答案为：C
【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故答案为：A
【分析】对变形得到，进而得到，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
8．【答案】A
【知识点】等比数列的性质；数列递推式
【解析】【解答】设，，，
因为，所以，所以，
所以，所以．因为，
所以．
下面用归纳法证明．当时，，
假设当时，，那么对，，所以，
因为，所以，所以．因此，.
，所以，，
综上，．
再设，所以，
所以函数在单调递增，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，而，
所以取足够大，易知，即．
设，，
，所以在单调递减，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
而，所以，所以，
所以，当足够大时，易知须满足，即．综上，．
故答案为：A.
【分析】设，，，，分析得，所以，又分析得，再用数学归纳法证明得，再设函数，分析得函数在单调递增，所以，得到，即，再利用条件，易知，即，再设函数，，分析得在单调递减，所以，得到，即，即，再结合条件得到，即，即可求解.
9．【答案】A,B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，，，
，A符合题意．
所以，，所以，B符合题意．
事件A，B，C不可能同时发生，故，C不符合题意；
，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】由相互独立事件乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】因为，所以，.
由，得，
设，则，
可得，则在定义域上单调递减，
因为，所以，则，A符合题意；
因为，所以，则 ，B不符合题意；
因为，所以，则，C符合题意；
因为，所以，则，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较.
11．【答案】B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的一般式方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由已知得抛物线y2=2px过点 ，即22=2P×2 ，所以P=1 ，
即抛物线为y2=2x ，
对于AB选项，如图所示，
设点 当劣弧QR的弧长最短时， ∠QMR最小，
又∠QMR+∠QOR=π ，所以∠QPR最大，即cos∠QPR最小，
又cos∠QPR=cos2∠QPM=1-2sin2∠QPM=1-2· ，
又圆M：(x-2)2+y2=1 ，所以圆心M（2，0） ，半径r=|QM|=1 ，cos∠QPR=1-2· ，
又 ，
所以当时，|PM|2取最小值为3，此时cos∠QPR最小为 ，
所以A选项错误，B选项正确；
对于CD选项，设过点A作圆M切线的方程为y-2=k(x-2) ，即kx-y-2k+2=0 ，
所以 ，解得k= ，
则直线AB的方程为：y-2=(x-2) ，即 ，
直线AC的方程为：y-2=-(x-2) ，即 ，
联立直线AB与抛物线 ，得 ，
故 ，
同理可得 ，
所以 ，
直线BC的方程为 ，即3x+6y+4=0 ，所以C选项错误，D选项正确；
故选：BD
【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即 ∠QMR最小， ∠QPR最大，cos∠QPR最小，根据二倍角公式及三角函数可得cos∠QPR=1-2· ， 设点 ，求|PM|2的最小值即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线AB与AC的方程，进而可得点B与点C的坐标，即可得直线BC .
12．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正切公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】不妨设点在直线上的射影点为，当绕着直线旋转时，
会形成圆锥，且直线为该圆锥的轴所在的直线，如下图所示：
在圆锥上任取一点，平面为平面，
当为锐角时，过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则；
因为，，平面，
当时，点与点重合；
当为钝角时，则点在射线上；
当或时，点与点重合.
不失一般性，不妨设，则点在线段上，且，设的外接圆为圆.
对于A选项，若为锐角，如下图所示：
不妨设，则，，
因为，若存在位置使得，即，
设，由于，则点不与线段的端点重合，即，
，
则，即，
令，其中，
因为为锐角，则，，则函数在上单调递增，
，，
故方程在时有解，
所以，若为锐角，则在转动过程中存在位置使，A对；
对于B选项，若为直角，则为等腰直角三角形，此时点与点重合，
当点在线段（不包含端点）上运动时，的取值范围是，
此时，不存在位置使得，B不符合题意；
对于C选项，连接、，
因为，，则，
，则，
由圆的几何性质可得，
，则，所以，，
故线段与圆相交，设交点为，当点在线段（不包括端点）上运动时，
延长交圆于点，连接，则，
若，则在转动过程中存在位置使，C对；
对于D选项，若，，则，
，则，
由圆的几何性质可得，
，，所以，，
所以，与圆相切，
当点在线段（不包括端点）上运动时，连接交圆于点，连接、，
则，
所以，若，则在转动过程中不存在位置使，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】作出相应的图形，利用两角和的正切公式以及零点存在定理可判断A选项；利用圆的几何性质以及平面几何相关知识可判断BCD选项.
13．【答案】1120
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为的展开式的通项为：，
令，得，
所以的展开式的常数项为．
故答案为：1120.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式的常数项.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，
联立方程，解得点的坐标为，有，
又由直线的斜率为，可得，有，
故双曲线的渐近线方程为．
故答案为：
【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到的坐标，利用的坐标求出直线的斜率，得到，继而求出双曲线的渐近线方程.
15．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】如图，
正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
设到底面的距离为，到底面的距离为，
则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，
记其中点为，且由题意可知，为正三角形的中心，
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且为的中点，可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，
，，记球的半径为，于是，
在中，由勾股定理可得，，
解得，于是，则．
故答案为：
【分析】作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比.
16．【答案】7
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】因为，所以，
所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，
令，所以，
所以关于直线对称，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
由图象可知：的图象共有7个交点，
其中6个点关于对称，还有一个点横坐标为1，
所以交点的横坐标之和为，
所以在上所有零点之和为7，
故答案为：7.
【分析】分析的对称性，将问题转化为图象交点横坐标之和，采用数形结合法求解出结果.
17．【答案】（1）解：=.
因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递增区间为（kZ）.
（2）解：因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为1，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；
（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.
18．【答案】（1）解：由已知有：
所以，
，
其中，所以数列为以2为首项，公比为2的等比数列.
所以，得.
（2）解：由（1）知：，
，
所以
.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）先化简，再推导出，即可求解；
（2）结合第一问，先求出数列的满足的规律，然后再求和.
19．【答案】（1）解：延长，交于点直线，
在底面中，，得为中位线，
所以为中点，
因为分别为中点，所以为的中位线，
得，所以点到平面PDC的距离是点到平面PDC的距离的2倍，
易得是等边三角形，，
取中点中点为，连接，
所以在中，，解得，
所以，所以
因为平面平面平面平面，，平面，所以平面则以为原点如图建立直角坐标系，
由题意得
，
设平面PDC的法向量
由得，令，则，
所以
所以点到平面PDC的距离为，
所以点到平面的距离是；
（2）解：由（1）得：，
设平面法向量
由得，令，则，
则
设平面PBE法向量，
由得，令，则，
则
设二面角P-BE-D的平面角为
因此，二面角的正弦值是
【知识点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 延长，交于点直线， ，通过图象关系可得点到平面PDC的距离是点到平面PDC的距离的2倍， 通过建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面PDC的距离的2倍，继而得到结果；
（2）通过向量法求解二面角的余弦值，继而求出正弦值
20．【答案】（1）解：由已知，得，，所以因为所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.
（2）解：由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且所以Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
所以
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【分析】（1） 由已知，得， ，求出 ，可求出 这320家企业中“超标”企业的家数 ；
（2）由题意 Y的可能取值为1，2，3，4， 分别求出相应的概率，由此求出 Y的分布列与数学期望.
21．【答案】（1）解：由对称性可知：，设，由焦半径可得：，，解得：圆的方程为：
（2）解：由题意得：直线的斜率一定存在，其中，设关于直线的对称点为，则，解得：，联立与得：，设，则，则，则，解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，所以，
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】 (1)由焦半径和圆的半径得到 ， 结合△ABD面积求出p=2，进而求出圆的方程；
(2)表达出 关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出 ，从而利用两点间距离公式表达出 .
22．【答案】（1）解：当时，，定义域为，
设，则，
所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，且等号不同时成立，所以；
（2）解：函数，，
若存在极值点，则，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，不妨设，
若，则；
若，由可得，则，
所以，即对恒成立，
令，则，
则
，
设，则，
，
令，，
则，
，
令，
则，
令，则，
当时，令，
则
，
设，
所以，所以，
所以当时，，单调递增，，单调递增，
，单调递增，，单调递减，，
，符合题意；
当时，，存在，单调递减，，
，，单调递增，，，
不符合题意；
所以，由单调递增可得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用切线放缩可得，且等号不同时成立，则结论可证；
（2）多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化问题为，再由即可得解.
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