【精品解析】浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2023届高三上学期数学第一次联考试卷

浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2023届高三上学期数学第一次联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江开学考）设全集为，集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】
因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】解出集合，写出，则可写出.
2．（2022高三上·浙江开学考）若复数，则（　　）
A．
B．复数在复平面上对应的点在第二象限
C．复数的实部与虚部之积为-12
D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意，复数 ，
可得 ，所以A符合题意；
复数 在复平面对应的点 位于第三象限，所以B不符合题意；
复数 的实部为-3，虚部为-4，可得实部与虚部之积为12，所以C不符合题意；
由复数 的共轭复数为 ，所以D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算公式，逐项判定，即可求解.
3．（2022高三上·浙江开学考） 的展开式中的常数项为（　　）
A．-60 B．60 C．64 D．120
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项为 ，令 解得 ，所以常数项 .
故答案为：B.
【分析】根据二项式定理，直接计算即可.
4．（2022高三上·浙江开学考）《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为（　　）
A． B．7π C．13π D．14π
【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意可知四面体 如图所示，
则面体 外接球的半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 .
故答案为：D.
【分析】根据题意将四面体画在长方体中，即可知道四面体的外接球直径为长方体的体对角线，则可求出答案.
5．（2022高三上·浙江开学考）已知正实数、满足，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正实数 、 满足 ，
等式两边同乘以 可得 ，
所以， ，
因为 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立.
因此， 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值.
6．（2022高三上·浙江开学考）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（　　）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】设点 ，由题意可得 ，整理可得 ，
则 ，其中 ，
所以， ，
所以，当 时， 取最大值，即 .
故答案为：C.
【分析】设点，由题意可求出点的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得的最大值.
7．（2022高三上·浙江开学考）已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（　　）
A．107 B．118 C．109 D．110
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】对任意的 ，由 可得 ，
所以， ，则 ，
所以，函数 为周期函数，且周期为 ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，则 ，
因为 ，则 ，
因为 且 ，则 ，所以， ，
因为 ，且 ，
因为 ，故 .
故答案为：D.
【分析】分析可知函数为周期函数，且周期为，求得，，结合可求得.
8．（2022高三上·浙江开学考）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意知 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
则 ，
即 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以向量 与 夹角的最大值是 .
故答案为：B.
【分析】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（　　）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，每次取到1号球的概率为 ，故正确；
对于B，每次取到黑球的概率为 ，故错误；
对于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之间没有影响，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件，故正确；
对于D，每次取到3号球的概率为 ，每次取到4号球的概率为 ，它们互斥事件，而不是对立事件，故错误.
故答案为：AC.
【分析】通过计算得出每次取到1号球的概率判断A；通过计算得出每次取到黑球的概率判断B；根据独立事件的定义判断C；通过计算得出次取到3，4号球的概率及对立事件的定义判断D.
10．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，其中表示不大于的最大整数，如：，，则（　　）
A．是增函数 B．是周期函数
C．的值域为 D．是偶函数
【答案】B,C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】对于A选项，因为 ， ，所以，函数 不是增函数，A不符合题意；
对于B选项，对任意的 ，存在 ，使得 ，则 ，
所以， ，则 ，
所以， ，
故函数 为周期函数，且周期为 ，B对；
对于C选项，对任意的 ，存在 ，使得 ，则 ，
所以， ，C对；
对于D选项，令 ，该函数的定义域为 ，
因为 ，
，
所以， ，故函数 不是偶函数，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用题中的定义求出函数的值域，可判断C选项.
11．（2022高三上·浙江开学考）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4
B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】易知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，点 ，
设点 、 ，
若直线 轴，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ， ，
对于A选项， ，
当且仅当 时，等号成立，A对；
对于B选项，由题意可得 ，解得 ，B对；
对于C选项， ，同理可得 ，
所以，
， ，C不符合题意；
对于D选项， ，
所以， ，D对.
故答案为：ABD.
【分析】设点 、 设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用韦达定理计算出，可判断B选项；计算出，可判断C选项；计算，可判断D选项.
12．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，若存在，使得成立，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， ，
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 的图像如图所示：
又 ，即 ，
当 时，要使 越小，则取 ，故有 ，A符合题意；
又 与 均可趋向于 ，B不符合题意；
当 ，且 ，
记 ， ，
恒成立，即 在 上单调递增，
所以 ，即当 成立，C符合题意；
，令 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】求出，则可得 在 上单调递增， 在 上单调递减，则可画出的图像， ，即 ，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项.
三、填空题
13．（2017高二下·瓦房店期末）函数 的最小正周期为　 　 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】函数 的最小正周期为 ，
故答案为： .
【分析】根据正弦函数的周期公式代入数值求出结果即可。
14．（2022高三上·浙江开学考）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可得 且 ，所以，数列 为等比数列，且该数列的首项和公比均为 ，
因此， .
故答案为： .
【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.
15．（2022高三上·浙江开学考）已知正四棱柱，，，则直线与平面所成角的正弦值为　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
， .
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
【分析以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得 直线与平面所成角的正弦值 .
16．（2022高三上·浙江开学考）设直线与圆交于两点，当面积的最大值为2时，的值为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线 的方程可化为 ，
由 ，解得直线 的恒过定点 ，
又点 到直线 的距离为 ，
因为 ，则 为等腰直角三角形时面积最大，
即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
解得 .
故答案为：
【分析】先找出l所过定点，然后根据 ，则 为等腰直角三角形时面积最大，结合图形列方程即可得a的值.
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知的内角、、的对边分別为、、，且.
（1）求；
（2）在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的 ▲ ，求的面积.
注：如果选择多个条件分別解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）解： ，
，
则 ，即 ，
，则 ， ，即有 ，
可得 ，
，则 ， ，解得 .
（2）解：若选①，连接 并延长交 边于点 ，
因为 为 的重心，所以， 为 的中点，且 ，
所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 ，
所以， ；
若选②，由余弦定理可得 ，
若 为 的内心，设 的内切圆的半径为 ，
则 ，则 ，
因此， ；
若选③，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
在优弧 上任取一点 ，则 ，则 ，
因此， .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，结合角B的取值范围可求得角B的值；
（2）选①，分析可得，结合三角形的面积公式可求得结果；
选②，利用余弦定理求出，利用等面积法求出的内切圆半径，再利用三角形的面积公式可求得结果；
选③，利用余弦定理求出，由正弦定理求出的外接圆半径，求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
18．（2022高三上·浙江开学考）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
（2）当时，求证：.
【答案】（1）证明：∵ （ 且 ），
当 时， ，
，
又 ，所以 ，
，
数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
，所以 .
当 时， ，
又 满足上式，
数列 的通项公式为 .
（2）解：当 时， ，
故
所以对 ，都有 .
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用 为 的关系即可得到结果；
（2）利用裂项相消法，即可证明不等式.
19．（2022高三上·浙江开学考）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.
（1）若点为棱的中点，证明：平面；
（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：延长 交于点 ，连接 ，
在 中，
是 的平分线，且 ，
是等腰三角形，点 是 的中点，
又 是 的中点，
，
又 平面 平面 ，
直线 平面 .
（2）解：在 中， ，
则 ，即 ，
由已知得 ，
又平面 平面 平面
所以 平面 ，即 ，
所以以 为二面角 的平面角，
所以 ，
又 ，所以 为正三角形，
取 的中点为 ，连 ，则 平面
如图建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 分别为平面 和平面 的法向量，则
，即 ，取 ，则 ，
，即 ，取 ，则 ，
所以 .
则平面 和平面 所成夹角的余弦值为 .
【知识点】平面与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1) 延长 交于点 ，连接 ，证明即可；
(2)以的中点为 为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.
20．（2022高三上·浙江开学考）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
　 大学 大学 大学 大学
2020年毕业人数（千人） 7 6 5 4
2022年考研人数（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2
参考公式：，.
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.
（i）若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
（ii）若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为、，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得 ， ，
又 ，
，
， ，
，所以 ，
故得 关于 的线性回归方程为 .
（2）解：（i）将 代入 ，
估计该省要发放补贴的总金额为 （万元）；
（ii）设小浙、小江两人中选择考研的人数为 ，则 的所有可能值为 、 、 ，
，
，
，
，
，
又因为 ，可得 ，故 .
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）计算出 ， ，将数据代入最小二乘法公式，求出、，可得出回归直线方程；
（2）（i）将代入回归直线方程，可求得2022年的考研人数，即可计算得出该省要发放补贴的总全额的估计值；
（ii） 设小浙、小江两人中选择考研的人数为 ，则 的所有可能值为 、 、 ， 计算出在不同取值下的概率，可求得，根据已知条件可得出，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
21．（2022高三上·浙江开学考）已知双曲线的离心率为，且点在上.
（1）求双曲线的方程：
（2）试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，
又点 在双曲线的 图像上，
所以 ，即 ，解得 ，
所以双曲线 ；
（2）解：设 ，
由已知点 在以 为直径的圆 上，
又点 在 上，则有方程组
解得直线 的方程为 ，
设直线 与渐近线 的交点分别为 ，
由 解得 ，
由 解得 ，
所以 ，
又点 到直线 的距离为 ，
则三角形 的面积 ，
又因为 ，所以 ，
由已知 ，解得 ，即 ，
因为点 在双曲线右支上，解得 ，
即点 或 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意即可列出关于方程组，即可解出答案；
（2）根据题意设，即可求出直线 的方程，则可求出点的坐标，即可表示出， 又点 到直线的距离为 ，则可表示出，即可求出点的坐标.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数.
（1）当时，证明：：
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.
【答案】（1）证明：当 时， ，
要证 ，即证 ，
设 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
则 ，
所以 ，即 成立，
所以 成立.
（2）解：由已知可得 ，所以
因为对任意的 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，
所以 ，使得 ，即 ，
当 时， ，可得 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，可得 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，可得 ，
又由 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即得 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用导数求函数的最大值，由此证明，再证明；
(2)由条件可得 在 上恒成立 ，化简可得 在 上恒成立，利用导数求的最小值可得的取值范围.
1 / 1浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2023届高三上学期数学第一次联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江开学考）设全集为，集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·浙江开学考）若复数，则（　　）
A．
B．复数在复平面上对应的点在第二象限
C．复数的实部与虚部之积为-12
D．
3．（2022高三上·浙江开学考） 的展开式中的常数项为（　　）
A．-60 B．60 C．64 D．120
4．（2022高三上·浙江开学考）《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为（　　）
A． B．7π C．13π D．14π
5．（2022高三上·浙江开学考）已知正实数、满足，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2022高三上·浙江开学考）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（　　）
A． B．7 C． D．
7．（2022高三上·浙江开学考）已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（　　）
A．107 B．118 C．109 D．110
8．（2022高三上·浙江开学考）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·浙江开学考）盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（　　）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
10．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，其中表示不大于的最大整数，如：，，则（　　）
A．是增函数 B．是周期函数
C．的值域为 D．是偶函数
11．（2022高三上·浙江开学考）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4
B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为
C．
D．
12．（2022高三上·浙江开学考）已知函数，若存在，使得成立，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，的最小值为
三、填空题
13．（2017高二下·瓦房店期末）函数 的最小正周期为　 　 .
14．（2022高三上·浙江开学考）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和　 　.
15．（2022高三上·浙江开学考）已知正四棱柱，，，则直线与平面所成角的正弦值为　 　.
16．（2022高三上·浙江开学考）设直线与圆交于两点，当面积的最大值为2时，的值为　 　.
四、解答题
17．（2022高三上·浙江开学考）已知的内角、、的对边分別为、、，且.
（1）求；
（2）在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的 ▲ ，求的面积.
注：如果选择多个条件分別解答，则按第一个解答计分.
18．（2022高三上·浙江开学考）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
（2）当时，求证：.
19．（2022高三上·浙江开学考）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.
（1）若点为棱的中点，证明：平面；
（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.
20．（2022高三上·浙江开学考）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
　 大学 大学 大学 大学
2020年毕业人数（千人） 7 6 5 4
2022年考研人数（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2
参考公式：，.
（1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.
（i）若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
（ii）若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为、，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围.
21．（2022高三上·浙江开学考）已知双曲线的离心率为，且点在上.
（1）求双曲线的方程：
（2）试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
22．（2022高三上·浙江开学考）已知函数.
（1）当时，证明：：
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】
因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】解出集合，写出，则可写出.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意，复数 ，
可得 ，所以A符合题意；
复数 在复平面对应的点 位于第三象限，所以B不符合题意；
复数 的实部为-3，虚部为-4，可得实部与虚部之积为12，所以C不符合题意；
由复数 的共轭复数为 ，所以D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算公式，逐项判定，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项为 ，令 解得 ，所以常数项 .
故答案为：B.
【分析】根据二项式定理，直接计算即可.
4．【答案】D
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题意可知四面体 如图所示，
则面体 外接球的半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 .
故答案为：D.
【分析】根据题意将四面体画在长方体中，即可知道四面体的外接球直径为长方体的体对角线，则可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为正实数 、 满足 ，
等式两边同乘以 可得 ，
所以， ，
因为 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立.
因此， 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】设点 ，由题意可得 ，整理可得 ，
则 ，其中 ，
所以， ，
所以，当 时， 取最大值，即 .
故答案为：C.
【分析】设点，由题意可求出点的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得的最大值.
7．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】对任意的 ，由 可得 ，
所以， ，则 ，
所以，函数 为周期函数，且周期为 ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，则 ，
因为 ，则 ，
因为 且 ，则 ，所以， ，
因为 ，且 ，
因为 ，故 .
故答案为：D.
【分析】分析可知函数为周期函数，且周期为，求得，，结合可求得.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由题意知 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
则 ，
即 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以向量 与 夹角的最大值是 .
故答案为：B.
【分析】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，每次取到1号球的概率为 ，故正确；
对于B，每次取到黑球的概率为 ，故错误；
对于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之间没有影响，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件，故正确；
对于D，每次取到3号球的概率为 ，每次取到4号球的概率为 ，它们互斥事件，而不是对立事件，故错误.
故答案为：AC.
【分析】通过计算得出每次取到1号球的概率判断A；通过计算得出每次取到黑球的概率判断B；根据独立事件的定义判断C；通过计算得出次取到3，4号球的概率及对立事件的定义判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】对于A选项，因为 ， ，所以，函数 不是增函数，A不符合题意；
对于B选项，对任意的 ，存在 ，使得 ，则 ，
所以， ，则 ，
所以， ，
故函数 为周期函数，且周期为 ，B对；
对于C选项，对任意的 ，存在 ，使得 ，则 ，
所以， ，C对；
对于D选项，令 ，该函数的定义域为 ，
因为 ，
，
所以， ，故函数 不是偶函数，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用题中的定义求出函数的值域，可判断C选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】易知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，点 ，
设点 、 ，
若直线 轴，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ， ，
对于A选项， ，
当且仅当 时，等号成立，A对；
对于B选项，由题意可得 ，解得 ，B对；
对于C选项， ，同理可得 ，
所以，
， ，C不符合题意；
对于D选项， ，
所以， ，D对.
故答案为：ABD.
【分析】设点 、 设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用韦达定理计算出，可判断B选项；计算出，可判断C选项；计算，可判断D选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， ，
，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 的图像如图所示：
又 ，即 ，
当 时，要使 越小，则取 ，故有 ，A符合题意；
又 与 均可趋向于 ，B不符合题意；
当 ，且 ，
记 ， ，
恒成立，即 在 上单调递增，
所以 ，即当 成立，C符合题意；
，令 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，D符合题意，
故答案为：ACD.
【分析】求出，则可得 在 上单调递增， 在 上单调递减，则可画出的图像， ，即 ，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】函数 的最小正周期为 ，
故答案为： .
【分析】根据正弦函数的周期公式代入数值求出结果即可。
14．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可得 且 ，所以，数列 为等比数列，且该数列的首项和公比均为 ，
因此， .
故答案为： .
【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.
15．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
， .
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
【分析以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得 直线与平面所成角的正弦值 .
16．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】直线 的方程可化为 ，
由 ，解得直线 的恒过定点 ，
又点 到直线 的距离为 ，
因为 ，则 为等腰直角三角形时面积最大，
即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
解得 .
故答案为：
【分析】先找出l所过定点，然后根据 ，则 为等腰直角三角形时面积最大，结合图形列方程即可得a的值.
17．【答案】（1）解： ，
，
则 ，即 ，
，则 ， ，即有 ，
可得 ，
，则 ， ，解得 .
（2）解：若选①，连接 并延长交 边于点 ，
因为 为 的重心，所以， 为 的中点，且 ，
所以点 到 的距离等于点 到 的距离的 ，
所以， ；
若选②，由余弦定理可得 ，
若 为 的内心，设 的内切圆的半径为 ，
则 ，则 ，
因此， ；
若选③，若 为 的外心，设 的外接圆半径为 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
在优弧 上任取一点 ，则 ，则 ，
因此， .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，结合角B的取值范围可求得角B的值；
（2）选①，分析可得，结合三角形的面积公式可求得结果；
选②，利用余弦定理求出，利用等面积法求出的内切圆半径，再利用三角形的面积公式可求得结果；
选③，利用余弦定理求出，由正弦定理求出的外接圆半径，求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
18．【答案】（1）证明：∵ （ 且 ），
当 时， ，
，
又 ，所以 ，
，
数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
，所以 .
当 时， ，
又 满足上式，
数列 的通项公式为 .
（2）解：当 时， ，
故
所以对 ，都有 .
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用 为 的关系即可得到结果；
（2）利用裂项相消法，即可证明不等式.
19．【答案】（1）证明：延长 交于点 ，连接 ，
在 中，
是 的平分线，且 ，
是等腰三角形，点 是 的中点，
又 是 的中点，
，
又 平面 平面 ，
直线 平面 .
（2）解：在 中， ，
则 ，即 ，
由已知得 ，
又平面 平面 平面
所以 平面 ，即 ，
所以以 为二面角 的平面角，
所以 ，
又 ，所以 为正三角形，
取 的中点为 ，连 ，则 平面
如图建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 分别为平面 和平面 的法向量，则
，即 ，取 ，则 ，
，即 ，取 ，则 ，
所以 .
则平面 和平面 所成夹角的余弦值为 .
【知识点】平面与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1) 延长 交于点 ，连接 ，证明即可；
(2)以的中点为 为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.
20．【答案】（1）解：由题意得 ， ，
又 ，
，
， ，
，所以 ，
故得 关于 的线性回归方程为 .
（2）解：（i）将 代入 ，
估计该省要发放补贴的总金额为 （万元）；
（ii）设小浙、小江两人中选择考研的人数为 ，则 的所有可能值为 、 、 ，
，
，
，
，
，
又因为 ，可得 ，故 .
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）计算出 ， ，将数据代入最小二乘法公式，求出、，可得出回归直线方程；
（2）（i）将代入回归直线方程，可求得2022年的考研人数，即可计算得出该省要发放补贴的总全额的估计值；
（ii） 设小浙、小江两人中选择考研的人数为 ，则 的所有可能值为 、 、 ， 计算出在不同取值下的概率，可求得，根据已知条件可得出，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，即 ，
又点 在双曲线的 图像上，
所以 ，即 ，解得 ，
所以双曲线 ；
（2）解：设 ，
由已知点 在以 为直径的圆 上，
又点 在 上，则有方程组
解得直线 的方程为 ，
设直线 与渐近线 的交点分别为 ，
由 解得 ，
由 解得 ，
所以 ，
又点 到直线 的距离为 ，
则三角形 的面积 ，
又因为 ，所以 ，
由已知 ，解得 ，即 ，
因为点 在双曲线右支上，解得 ，
即点 或 .
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意即可列出关于方程组，即可解出答案；
（2）根据题意设，即可求出直线 的方程，则可求出点的坐标，即可表示出， 又点 到直线的距离为 ，则可表示出，即可求出点的坐标.
22．【答案】（1）证明：当 时， ，
要证 ，即证 ，
设 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
则 ，
所以 ，即 成立，
所以 成立.
（2）解：由已知可得 ，所以
因为对任意的 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，
所以 ，使得 ，即 ，
当 时， ，可得 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，可得 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，可得 ，
又由 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
即得 .
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用导数求函数的最大值，由此证明，再证明；
(2)由条件可得 在 上恒成立 ，化简可得 在 上恒成立，利用导数求的最小值可得的取值范围.
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