第2节 二次函数的图象
— 填空专练 —
1、若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝ ．
2、如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
3、抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）恒过定点，则定点的坐标为 ．
4、已知（﹣2，y1），（3，y2）在y＝x2+2x+c图象上，比较y1 y2．（填＞、＜或＝）
5、在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
6、平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为 ．
7、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
8、将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 ．
9、将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，可以得到新的抛物线是 ．
10、已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示）
11、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
12、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）
13、已知（﹣1，y1），（2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1 y2.（填＞、＜或＝）
14、抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
15、已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
16、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．
17、直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
18、如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为 ．
19、把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
20、抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．第2节 二次函数的图象
— 填空专练 —
> > > 精品解析 < < <
1、若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝ ．
［思路分析］利用抛物线的对称性得到h＝m+1，然后把A（m﹣1，n）代入y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022中可求出n的值．
［答案详解］解：∴A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝m+1，
∴h＝m+1，
∴y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022，
把A（m﹣1，n）代入得n＝﹣（m﹣1﹣m﹣1）2+2022＝﹣4+2022＝2018．
故答案为：2018．
［经验总结］本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，得到h＝m+1是解题的关键．
2、如果A（0，3），B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，那么m的值为 ．
［思路分析］根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
［答案详解］解：由点A（0，3）、B（m，3）是抛物线y＝a（x﹣2）2上两个不同的点，得
A（0，3）与B（m，3）关于对称轴x＝2对称，
m﹣2＝2﹣0，
解得m＝4，
故答案为：4．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣2＝2﹣0是解题关键．
3、抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）恒过定点，则定点的坐标为 ．
［思路分析］由y＝ax2﹣4ax+3a﹣2＝a（x﹣3）（x﹣1）﹣2知，不论a取任何不为0的实数，当x＝3或1时y＝﹣2可得答案．
［答案详解］解：∵y＝ax2﹣4ax+3a﹣2
＝a（x﹣3）（x﹣1）﹣2，
∴不论a取任何不为0的实数，当x＝3或1时，y＝﹣2，
即二次函数恒过的定点为（3，﹣2）、（1，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）、（1，﹣2）．
［经验总结］本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
4、已知（﹣2，y1），（3，y2）在y＝x2+2x+c图象上，比较y1 y2．（填＞、＜或＝）
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣2）＜3﹣（﹣1），
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
5、在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
［思路分析］根据a值对抛物线开口的作用进行判断即可．
［答案详解］由题意得：抛物线过点（1，2）时开口最小，过点（3，1）时，开口最大．
当抛物线过点（1，2）时，2＝a×1．
∴a＝2．
当抛物线过点（3，1）时，1＝9a，
∴a＝．
∴≤a≤2．
过答案为：≤a≤2．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，确定a 取最值时的条件是求解本题的关键．
6、平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为 ．
［思路分析］根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．
［答案详解］解：设点A的坐标为（﹣2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
7、抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．
［思路分析］根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
［答案详解］解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，﹣2＜0
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），
|﹣1﹣1|＝2，|1﹣1|＝0，|2﹣1|＝1，
∴y2＞y3＞y1，
故答案为：y2＞y3＞y1．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8、将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 ．
［思路分析］根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整体代入求值即可．
［答案详解］解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
［经验总结］本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式．
9、将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，可以得到新的抛物线是 ．
［思路分析］直接根据平移规律作答即可．
［答案详解］解：将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得抛物线解析式为y＝5（x﹣3）2﹣4，即y＝5（x﹣3）2﹣4；
故答案为y＝5（x﹣3）2﹣4．
［经验总结］此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10、已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示）
［思路分析］（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出k的不等式，进而求得k的最小整数值；
（2）代入M（k+2，s），N（a，b）求得b与s的解析式，再由s＜b列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k，
∴对称轴为x＝k，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1；
（2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6，
b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k，
∵s＜b，
∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6，
∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时，a＝k﹣3或k+2，
∴a＜k﹣3或a＞k+2，
故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数与不等式的关系，难度适中，关键是掌握二次函数的性质．
11、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 ．
［思路分析］先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a的取值范围．
［答案详解］解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），
∴3＝﹣16+4m+3，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）
［思路分析］由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴交点判断c的正负，由抛物线对称轴判断a与b的关系，根据抛物线的图象的性质对结论进行判断．
［答案详解］解：由图象可得a＞0，c＜0，﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意．
由抛物线对称轴﹣＝﹣1可得b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣a＜0，
故②正确，符合题意．
∵图象对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，
故③正确，符合题意．
当x＝﹣1时，函数有最小值为a﹣b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
整理得a﹣b≤m（am+b），
故④错误，不符合题意．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关键，二次函数与方程的关系．
13、已知（﹣1，y1），（2，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1 y2.（填＞、＜或＝）
［思路分析］先得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
［答案详解］解：由抛物线y＝x2﹣2x+m可知对称轴x＝﹣＝1，
∵抛物线开口向上，点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14、抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ．
［思路分析］先根据抛物线解析式可求出抛物线的对称轴为直线x＝2，又当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，求出对应的函数值，结合y恰好有3个整数值这个条件，列出不等式求出a的取值范围．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（其中a＞0，a为常数），
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y＝﹣3，
x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1＜5a﹣3≤0，
∴；
故答案为：．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，掌握二次函数的对称性，得出函数的单调性是解题关键．
15、已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a＝ ．
［思路分析］确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．
［答案详解］解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键．
16、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．
［思路分析］根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a＜0，进而可得b＜0，c＞0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个坐标为（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
，
解得，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+）2﹣a，
（a﹣2b）＝（a﹣2a）＝﹣a，
∴am2+bm﹣（a﹣2b）＝a（m+）2，
又∵a＜0，m≠﹣，
∴a（m+）2＜0，
即am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣），故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在x＞﹣时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1＞﹣，
∴y1＜y2，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
17、直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
［思路分析］根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据一次函数与x轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
［答案详解］解：直线y＝4x+4中，令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
∴a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
故答案为：a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
［经验总结］本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，有难度，且涉及知识点较多．
18、如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为 ．
［思路分析］根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
［答案详解］解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，
故答案为：y＝2（x+3）2．
［经验总结］主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
19、把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
［思路分析］直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
［答案详解］解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
［经验总结］本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
20、抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
［思路分析］利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
