21.2 二次函数的图象和性质
— 解答专练 —
1、若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
2、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
4、把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
5、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
6、已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
7、已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
8、已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 ；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 ；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 ．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
9、在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y1＝y3时，求b的值；
（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．
10、已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
11、在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
12、在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
13、已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0），对称轴是直线x＝1．点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n取何值时，y1﹣y2取最大值；
（3）若B、C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
14、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …
y … ﹣ 0 0 ﹣ …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x＜0时，y的取值范围 ．
15、抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；
（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．
16、已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
17、把二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
18、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
19、在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标．
20、如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）．
（1）求b和c的值；
（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．21.2 二次函数的图象和性质
— 解答专练 —
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1、若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
［思路分析］（1）利用表中数据得到抛物线的顶点为（0，5），则设抛物线的解析式为y＝ax2+5，然后把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5求出a即可得到二次函数表达式；
（2）计算x＝﹣2时的函数值得到a的值，计算函数值为﹣27对应的自变量的值可确定b的值．
［答案详解］解：（1）由上表得抛物线的顶点为（0，5），
抛物线的解析式为y＝ax2+5，
把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5，得 a+5＝3，解得a＝﹣2．
所以二次函数表达式为 y＝﹣2x2+5；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2x2+5＝﹣2×4+5＝﹣3，则a＝﹣3；
当y＝﹣27时，﹣2x2+5＝﹣27，x＝4或x＝﹣4，则b＝4．
［经验总结］本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
［思路分析］（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
［经验总结］本题考查了待定系数法、二次函数的性质、综合性较强，难度适中．
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
［思路分析］（1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣4可求出b、c的值即可确定关系式；
（2）根据面积法得出S关于m的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值．
［答案详解］解：（1）把A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，
抛物线y＝x2+x﹣4与y轴的交点B坐标为（0，﹣4），即OB＝4，
又∵M（m，m2+m﹣4），
∴ON＝﹣m，MN＝﹣m2﹣m+4，AN＝4﹣（﹣m）＝4+m，
∴S△ABM＝S△ANM+S梯形MNOB﹣S△AOB，
＝（4+m）（﹣m2﹣m+4）+（﹣m2﹣m+4+4）（﹣m）﹣×4×4
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，S最大＝4，
答：S与m的函数关系式为S＝﹣m2﹣4m，S的最大值为4．
［经验总结］本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键．
4、把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
［思路分析］利用配方法将函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，根据a的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是（﹣m，k），对称轴是直线x＝﹣m．
［答案详解］解：由y＝3﹣4x﹣2x2，得
y＝﹣2（x+1）2+5（3分）
因为﹣2＜0，所以开口向下．（1分）
顶点坐标为（﹣1，5）（2分）
对称轴方程为x＝﹣1．（2分）
［经验总结］本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
5、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
①求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
［思路分析］（1）利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而得到b与a的关系，利用待定系数法将（1，1）代入解析式，整理即可得出结论；
（2）①利用待定系数法解得即可；
②利用三角形的面积关系得到点D与点E的横坐标的关系，设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，利用BC解析式表示出点E坐标，代入直线y＝kx中求得k值，从而得到点D坐标，将点D坐标代入抛物线解析式，即可求得m值，将m值代入k的关系式即可求得结论．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1．
∴＝1．
∴a＝﹣b，
∵抛物线经过点P（1，1），
∴a+b+c＝1．
∴﹣b+b+c＝1．
∴b+c＝1．
∴b+2c＝2；
（2）①当m＝0时，点A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＞0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∵当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3，
∴当x＝0时，y的最小值为﹣3，
∴抛物线经过点（0，﹣3）．
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
②∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵＝，
∴＝．
∴点E与点D的横坐标的比为3：5，
设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，
∵点E在直线BC上，
∴E（3m，3m﹣3）．
∴3mk＝3m﹣3．
∴k＝．
∴直线y＝kx是解析式为y＝x．
∴D（5m，5m﹣5）．
∵点D在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴25m2﹣10m﹣3＝5m﹣5．
解得：m＝﹣或m＝．
∴k＝6或﹣．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象的性质一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6、已知二次函数y＝2x2+4x﹣6，
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
［思路分析］（1）用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
（2）根据（1）中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
［答案详解］解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，该抛物线解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；
a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
7、已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出抛物线的开口方向和顶点坐标；
（2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
［思路分析］（1）利用配方法把函数从一般式转化为顶点式，然后再确定开口方向和顶点坐标；
（2）令x＝0，求出图象与y轴的交点坐标，令y＝0，求出图象与x轴的交点坐标．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
a＝1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标（1，﹣4）；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，所以图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，即图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（﹣1，0）．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是理解题意，并且会把二次函数一般式转化为顶点式．
8、已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．
（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 ；
②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 ；
③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 ．
（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．
［思路分析］（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用顶点坐标公式求解即可；
②y＝x2﹣2x+3，对称轴是直线x＝1，在0≤x≤4之间，故可求最小值；
③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值；
（2）根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可．
［答案详解］解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3，
①y＝x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2，
＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
所以最小值为2，
故答案为：2；
③y＝x2﹣2x+3，
当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧，
y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3，
故答案为：3；
（2）∵对称轴为x＝，
当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝﹣1时，有最小值1，
∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3，
解得m＝；
当1﹣≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝m时，有最小值1，
∴1＝m2﹣2m×m+3，
∴m＝，
∵﹣1≤m≤3，
∴m＝；
当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值，
∴x＝3时，有最小值1，
∴1＝32﹣2m×3+3，
解得m＝＜3，舍去．
综上所述，m＝或．
［经验总结］本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、最值公式、顶点坐标公式．
9、在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y1＝y3时，求b的值；
（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．
［思路分析］（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；
（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；
（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．
［答案详解］解：（1）对于y＝x2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2；
（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，
解得：b＞﹣2，
当1＞y2时，1＞1+b+1，
解得：b＜﹣1，
∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．
［经验总结］本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．
10、已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为﹣，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得对称轴；
（2）通过题意求得抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线y2的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c过点（﹣2，18），
∴﹣4+12+c＝18，
∴c＝10，
∴抛物线y1的表达式为y1＝﹣x2﹣6x+10，
∵y1＝﹣x2﹣6x+10＝﹣（x+3）2+19，
∴对称轴为直线x＝﹣3；
（2）∵y1＝﹣x2﹣6x+c，
∴抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，
∵CB＝8，
∴两抛物线的对称轴间的距离为4，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，
∵点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，
∴点M（﹣5，m）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣1，m），点N（3，n）关于直线x＝1的对称点是（﹣1，n），
由图象可知，当x＝﹣1时，y1＞y2，
∴m＞n．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
11、在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
［思路分析］（1）将点（1，2）代入解析式可求解；
（2）由两图象仅有一个交点，可得（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，即Δ＝0，可求解；
（3）由题意可得x＝0的函数值小于x＝x0的函数值，即可求解．
［答案详解］解：（1）将（1，2）代入，
得到（1﹣a）2+a﹣1＝2，
解得a1＝﹣1，a2＝2，
∴y＝（x+1）2﹣2或；
（2）∵y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，
即x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
∴4b+5＝0，
∴；
（3）∵x0＞2a，
∴，
结合函数图象，可得|a﹣0|＜|a﹣x0|，
∴，
∴n＞a2+a﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用，灵活运用二次函数的性质是本题的关键．
12、在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
［思路分析］（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；
（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；
（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．
［答案详解］解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，
∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，
解得m＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；
（2）∵y＝x2﹣3x+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，
∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，
∴n2﹣3n+1＝4﹣n，
解得n1＝﹣1，n2＝3，
∵n≤x≤1，
∴n的值为﹣1；
（3）根据平移的性质可知，a＝1，
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴h≥2．
∵平移后的图象经过原点O，
∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，
∴k≤﹣4．
［经验总结］本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．
13、已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0），对称轴是直线x＝1．点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n取何值时，y1﹣y2取最大值；
（3）若B、C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
［思路分析］（1）由题意可得0＝9+3b+c①，﹣＝1②，联立方程组可求b，c，可求解析式．
（2）分别把点B，点C的坐标代入求得y1﹣y2，由二次函数的性质可求解．
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
［答案详解］解：（1）由题可得，
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上，
∴y1＝（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝n2﹣4n，
y2＝（2n+3）2﹣2（2n+3）﹣3＝4n2+8n
∴y1﹣y2＝﹣3n2﹣12n＝3（n+2）2+12，
∵﹣3＜0，
∴当n＝﹣2时，y1﹣y2取最大值．
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴﹣l＜n＜0；
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴不等式组无解．
综上所述：﹣l＜n＜0．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …
y … ﹣ 0 0 ﹣ …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x＜0时，y的取值范围 ．
［思路分析］（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），结合点（﹣2，）利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）先求出顶点，再描点、连线，画出函数图象；
（3）根据x的取值范围可得答案．
［答案详解］解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函数经过点（﹣2，），
∴﹣3a＝，
∴a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；
（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，
顶点为（﹣1，2），
描点、连线，画出图形如图所示：
（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，
故答案为：﹣≤y≤2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合顶点点坐标得出y的取值范围．
15、抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q（x0，y0）是抛物线上的点．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；
（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m的取值范围．
［思路分析］（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质判断即可；
（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，则（x1﹣x2）2≤25，所以（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5），
∴，解得，
∴抛物线为y＝x2+4x，
∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）∵抛物线为y＝x2+4x的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵点P（2，c）关于对称轴的对称点为（﹣6，c），
∵x0＞﹣6，
∴当﹣6＜x0＜2时，则c＞y0；
当x0≥2时，则c≤y0；
（3）设M、N的横坐标分别为x1、x2，
∵直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），
∴x1、x2是方程x2+4x＝m的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，
∵MN≤5，
∴（x1﹣x2）2≤25，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，
解得m≤，
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），
∴函数的最小值为﹣4，
∴﹣4＜m≤．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，求得抛物线的解析式是解题的关键．
16、已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．
（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；
（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
［思路分析］（1）根据对称轴公式即可求得；
（2）①根据对称轴在y轴右侧可判断b＜0，根据顶点公式可求得b＝﹣；
②根据题意可得＜﹣＜，即可求解．
［答案详解］解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵b＝2α，
∴x＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）①当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线顶点的纵坐标为1，
∴＝1，
解得：b＝2或b＝﹣，
∵b＜0，
∴b＝﹣；
②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，
∴＜﹣＜，
∴﹣2＜b＜0．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是熟练掌握对称轴公式和顶点公式．
17、把二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．
［思路分析］利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．根据顶点式方程找出该图象的顶点坐标和对称轴方程．画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴（y轴）的交点，再根据图形求y＜0时x的取值范围．
［答案详解］解：y＝x2﹣3x+4＝（x﹣3）2﹣，
则顶点坐标（3，﹣），对称轴方程x＝3，
当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝4或x＝2，
所以该函数图象与x轴的交点是（4，0）、（2，0）；与y轴的交点是（0，4）．
其图象如图所示：
根据图象知，当y＜0时，2＜x＜4．
［经验总结］本题综合考查了二次 函数的三种形式、二次函数的图象与性质．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18、已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．
［思路分析］（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用描点法画出二次函数图象即可．
［答案详解］解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1；
（2））∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2．
∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0），
∴其图象为：
［经验总结］本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键．
19、在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标．
［思路分析］（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，可得二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），由此即可解决问题．
（2）根据S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，构建方程即可解决问题．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），
即y＝x2﹣x﹣4．
（2）如图，连接OP，
设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；
∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，
∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；
整理得：m2+2m﹣15＝0，
解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），
∴P（3，﹣）．
［经验总结］本题考查了三角形的面积，二次函数的解析式的求法，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20、如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6）．
（1）求b和c的值；
（2）点M（m，n）在该二次函数图象上，当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，请根据图象求出m的值．
［思路分析］（1）待定系数法求解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴为x＝﹣1，且此时y＝2，所以当m＞﹣1时，x＝m时取得最小值，代入即可求出m的值；当当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2≠11；当m+3＜﹣1时，x＝m+3时取得最小值，代入即可求出m的值．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点P（﹣2，3），Q（1，6），
∴，
解之得．
（2）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣1时取得最小值2，
∵当m≤x≤m+3时，该二次函数有最小值11，
∴当m＞﹣1时，m2+2m+3＝11，得m1＝﹣4（舍去），m2＝2；
当m＜﹣1＜m+3时，该函数的最小值为2，不符合题意；
当m+3＜﹣1时，（m+3）2+2（m+3）+3＝11，得m3＝﹣1（舍去），m4＝﹣7；
综上，m的值是2或﹣7．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，以对称轴为分界点分别讨论取得最小值的情况是解决本题的关键．
