21.3 二次函数与一元二次方程
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1、对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．当x＞﹣1时y随x的增大而增大
C．开口向下
D．与y轴交点坐标为（0，3）
［思路分析］将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．
［答案详解］解：令y＝x2﹣2x+3＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3＜0，
所以与x轴没有交点，故A错误，不符合题意；
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，函数有最小值为2，无最大值，
∴B、C选项错误，不符合题意；
令x＝0，解得y＝0﹣0+3＝3，
所以函数图象与y轴交点为（0，3），
故D正确，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，能够将二次函数的一般式转化为顶点式是解答本题的关键，难度不大．
2、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
［思路分析］利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣2＜x＜6时，y＞0，
故选：C．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②图象的顶点在第三象限；③m＝n；④﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；⑤a＜．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，即可求解；
②顶点的横坐标为，从表格看，顶点的纵坐标为负数，由此可得函数顶点的位置；
③x＝﹣2和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，即可求解；
④函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，即可求解；
⑤当x＝﹣时，y＝a﹣b﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，即可求解．
［答案详解］解：①∵函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，
∴ab＜0，
∵c＝﹣2＜0，
∴abc＞0，故①错误，不符合题意；
②顶点的横坐标为，从表格看，顶点的纵坐标为负数，故函数图象的顶点在第四象限，
故②错误，不符合题意；
③x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为直线：x＝，点（﹣2，t）关于对称轴的对称点为（3，t），
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故正确，符合题意；
⑤当x＝﹣时，y＝a﹣b﹣2＞0，
∵b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，
∴a＞，故⑤错误，不符合题意；
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
4、已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
［思路分析］】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
［答案详解］解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
5、若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
［思路分析］将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项①进行判断；
再利用根与系数的关系求出两根之积为30﹣m，这只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；
将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y＝0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
［答案详解］解：一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m化为一般形式得：x2﹣11x+30﹣m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4（30﹣m）＝4m+1＞0，
解得：m＞﹣，故选项①正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝11，x1x2＝30﹣m，
而选项②中x1＝5，x2＝6，只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；
二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m，
＝x2﹣11x+（30﹣m）+m
＝x2﹣11x+30
＝（x﹣5）（x﹣6），
令y＝0，可得（x﹣5）（x﹣6）＝0，
解得：x＝5或6．
∴抛物线与x轴的交点为（5，0）或（6，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：①③．
故选：C．
［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
6、二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
［思路分析］根据二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴有两个公共点可知Δ＞0且a≠0，据此可知a的取值范围．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0且a≠0，
即36﹣4a×3＞0，
解得a＜3且a≠0．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．
7、已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
［思路分析］根据抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，可以判断出b2﹣4ac的正负，从而可以得到一元二次方程x2+bx+c＝0中△的正负，从而可以判断一元二次方程x2+bx+c＝0的根的情况．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，
∴﹣，，
∴b＞0，4c﹣b2＜0，
∴在一元二次方程x2+bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×1×c＝b2﹣4c＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数与一元二次方程之间的关系．
8、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
［思路分析］根据二次函数图像和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0．
∴abc＞0．
∴A不合题意．
∵抛物线过点A（1，0）．
∴a+b+c＝0．
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴B符合题意．
由图知：当x＝2时，y＜0．
∴4a+2b+c＜0．
∴C不合题意．
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0．
∴D不合题意．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．
9、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a＜0，b＞0，c＞0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（﹣2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1 x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a＝﹣，即可判断③正确；根据a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1），所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ＝AB＝2+2b，得P（2b，2b+2），且2b+2＜b2+2b+1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判断④正确．
［答案详解］解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴＜0．故①正确；
②把B（2c，0）代入解析式，得：
4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b+1＝0，
即2b+4ac＝﹣1，故②正确；
③∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），
∴x1＝﹣2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1 x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，
∴a＝﹣．故③正确；
④∵a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，
∴c＝2b+1．
故原抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，Q是AB中点，
∴PQ＝AB＝[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜﹣1，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
［思路分析］根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
［答案详解］解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），
令a（x+）（x﹣）＝，
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如图，作y＝，
由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣，
∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，
∴c＝﹣a，b＝﹣2a，
∴≤﹣，
解得：a≥，故⑤错误；
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
11、如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．
［答案详解］解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12、若关于二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+2的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≤ B．a≠1 C．a＜，且a≠1 D．a≤，且a≠1
［思路分析］将交点问题转化为方程的解的问题即可．
［答案详解］解：∵若关于二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+2的图象和x轴有交点，
∴，
∴a≤且a≠1．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象与x轴d的交点问题，将交点问题转化为一元二次方程的解的问题是求解本题的关键．
13、已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a）
B．该图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
［思路分析］根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
［答案详解］解：y＝a（x2﹣2x﹣3）
＝a（x﹣3）（x+1）
令y＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（﹣1，0），故B成立；
∴抛物线的对称轴为：x＝1，
令x＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∴顶点坐标为（1，﹣4a），故A成立；
由于点（﹣2，5）与（4，5）关于直线x＝1对称，
∴若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；
当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
14、二次函数y＝（x+k）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则y＝（x+k+2）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．﹣3和1 B．1和5 C．﹣3和5 D．3和5
［思路分析］根据二次函数y＝（x+k）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，可以得到y＝（x+k+2）2+h的图象与x轴的交点的横坐标．
［答案详解］解：∵二次函数y＝（x+k）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，
∴y＝（x+k+2）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为：﹣1﹣2＝﹣3或3﹣2＝1，
即y＝（x+k+2）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣3或1，
故选：A．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答．
15、定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
［思路分析］根据“滋生函数”的定义可得ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，从而可得关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，
∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，
解得，
∵t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，
∴t2﹣t﹣1＝0，
∴t3﹣2t2+1＝t（t+1）﹣2t2+1＝﹣t2+t+1＝﹣1+1＝0．
故选：A．
［经验总结］本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系．
16、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］由已知条件得出：a＜0，c＞0，＝1，a+b+c＞0，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0．
①∵（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a），
当x＝1时，
y＝a+b+c＞0．
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∵b＞0，c＞0，
∴b+c﹣a＞0，
∴（b+c+a）（b+c﹣a）＞0，即（b+c）2＞a2，
故①正确；
②由二次函数图象的对称性可知，当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
故②正确；
③由图象可知，当x＝1时，二次函数取得最大值，
即最大值为a+b+c．
∴当x＝m时，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c≤a+b+c，
即a+b≥m（am+b）．
故③正确；
④由二次函数图象的对称性可知，图象上的点C（t，n）关于对称轴x＝1对称的点的坐标为（2﹣t，n），且点（2﹣t，n）在二次函数图象上，
∴x＝2﹣t是方程ax2+bx+c＝n的一个根．
故④正确．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，要熟练掌握二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
17、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1＞0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，故②不正确；
∵a＞0，＜﹣1，即4ac﹣b2＜﹣4a，
∵﹣4a＜8a，
∴4ac﹣b2＜8a，故③正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
∴＝﹣3，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜，故④正确，
∵抛物线过（﹣1，0）点，
∴y＝a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，
又a＞0，
∴b﹣c＞0，
∴b＞c，所以⑤不正确，
综上所述，正确的结论有①③④三个，
故选：C．
［经验总结］考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
18、如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0
B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n
C．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根
［思路分析］由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．
［答案详解］解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，故A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，因为﹣2离对称轴的距离等于﹣4离对称轴的距离，所以m＝n，故B选项错误；
C、顶点为（﹣3，﹣6），则对称轴为直线x＝﹣3，抛物线开口向上，则当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，故C选项正确；
D、由抛物线开口向上及顶点为（﹣3，﹣6）可知，此函数的最小值为﹣6，则ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）没有实数根，故D选项错误．
故选：C．
［经验总结］本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．
19、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
［思路分析］根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x＝，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
［答案详解］解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增大，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
20、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；②b＝a+c；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤
［思路分析］利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由当x＝﹣1时，y＝0，可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以①正确；
当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c；故②正确，
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴5a＜0，
∴8a+c＜0；故③正确；
当y＞0时，函数图象在x轴的上面，
∴x的取值范围是﹣1＜x＜3；故④正确；
⑤∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数y有最大值a+b+c，
当m≠1时，则有a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤错误．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．21.3 二次函数与一元二次方程
— 选择专练 —
1、对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．当x＞﹣1时y随x的增大而增大
C．开口向下
D．与y轴交点坐标为（0，3）
2、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
3、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②图象的顶点在第三象限；③m＝n；④﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；⑤a＜．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
5、若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6、二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
7、已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点在第三象限，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
9、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11、如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12、若关于二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+2的图象和x轴有交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≤ B．a≠1 C．a＜，且a≠1 D．a≤，且a≠1
13、已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a）
B．该图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
14、二次函数y＝（x+k）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则y＝（x+k+2）2+h的图象与x轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．﹣3和1 B．1和5 C．﹣3和5 D．3和5
15、定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是关于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，则t3﹣2t2+1的值为（ ）
A．0 B．1 C．+1 D．3﹣
16、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下面结论：①（b+c）2＞a2；②4a+2b+c＞0；③a+b≥m（am+b）；④若此抛物线经过点C（t，n），则2﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18、如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0
B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n
C．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根
19、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．这个函数的最小值小于﹣6
20、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；②b＝a+c；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤
