26.3 实践与探索
— 能力提升 —
一、选择题
1、［较难］抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
2、［较难］如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
3、［较难］定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
4、［较难］如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：
①点C在⊙I上；
②IQ⊥PD；
③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；
④线段BQ的长可以是3.2．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、［难］在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、［中］定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
7、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
8、［中］如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
二、填空题
9、［较难］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
（1）求tan∠DAC＝ ；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，当点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长为 ．
10、［难］如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 ；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 ．
11、［中］已知，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
12、［中］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
13、［中］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
14、［中］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
15、［中］已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
16、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
三、解答题
17、［中］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
18、［中］某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克） … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
19、［中］如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
20、［中］2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．
（1）试求y关于x的函数关系式；
（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
21、［中］2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
22、［中］如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
23、［中］在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
24、［中］如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为 ；
（3）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．26.3 实践与探索
— 能力提升 —
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一、选择题
1、［较难］抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
［思路分析］根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．
［答案详解］解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
［经验总结］主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2、［较难］如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
［思路分析］（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN＝，而MN＝，BN+MN＝5＝AB；
（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误；
（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC；
（4）S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，其最大值为．
［答案详解］解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN （xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
［经验总结］本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
3、［较难］定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
［思路分析］首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
［答案详解］解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝，
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：C．
［经验总结］本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
4、［较难］如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：
①点C在⊙I上；
②IQ⊥PD；
③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；
④线段BQ的长可以是3.2．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］由抛物线y＝x2﹣x﹣得A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），可得I（1，0），顶点D（1，﹣2），
①根据勾股定理求出IC，即可求解；
②根据垂径定理即可求解；
③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，即可求解；
④根据勾股定理即可求解．
［答案详解］解：抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与坐标轴交于点A，B，C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），
∴点I（1，0），⊙I的半径为2，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点D的坐标为：（1，﹣2），
∴ID＝2，
∴点D在⊙I上．
①IC＝＝＝≠2，故点C不在⊙I上，故①不正确；
②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在⊙I上，点Q为PD的中点．
∴IQ⊥PD，故②正确；
③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ID交GF于点R，则四边形GDFI为正方形，
当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQ⊥PD，连接QR，
则QR＝ID＝IR＝RD＝RG＝RF＝GF＝1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，
则Q运动的路径长＝×2πr＝π，故③正确；
④由③得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，
最大值为＝＜3.2，
∴线段BQ的长不可以是3.2，故④不正确．
故正确说法有：②③．
故选：B．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，点的运动轨迹，点和圆的位置关系等，本题综合性较强，关键在于确定点Q运动的路径，本题综合性强，难度较大．
5、［难］在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP＝∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）＝16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2＝BO BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB＝2，当k＝0时，取得最小值为4，故正确．
［答案详解］解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y＝x2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0，
∴m+n＝3k，mn＝﹣6．
设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，
解得a＝，b＝﹣4，
∴y＝（）x﹣4．
令y＝0，得x＝，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵+＝＝＝0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′．
假设结论：PO2＝PA PB成立，即PO2＝PA′ PB，
∴＝，
又∵∠BPO＝∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′＝∠PBO，
∴∠AOP＝∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：＝﹣，
∴OB＝﹣OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴＝，
∴PB＝﹣PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝（PA+AO）[﹣PA﹣（﹣OA）]＝﹣（PA+AO）（PA﹣OA）＝﹣（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD＝﹣km，PD＝4+km．
∴PA2﹣AO2＝（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）＝PD2﹣OD2＝（4+km）2﹣（﹣km）2＝8km+16，
∵m+n＝3k，∴k＝（m+n），
∴PA2﹣AO2＝8 （m+n） m+16＝m2+mn+16＝m2+×（﹣6）+16＝m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝﹣（PA2﹣AO2）＝﹣ m2＝﹣mn＝﹣×（﹣6）＝16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k＝﹣时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2＝12，BO BA＝2×6＝12，
∴BP2＝BO BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB＝S△PAO+S△PBO＝OP （﹣m）+OP n＝OP （n﹣m）＝2（n﹣m）＝2＝2，
∴当k＝0时，△PAB面积有最小值，最小值为2＝4．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
［经验总结］本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
6、［中］定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
［思路分析］由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
［答案详解］解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
［经验总结］考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．
7、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
［思路分析］分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．
［答案详解］解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
8、［中］如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
［思路分析］据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
［答案详解］解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ PF＝t t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
二、填空题
9、［较难］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
（1）求tan∠DAC＝ ；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，当点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长为 ．
［思路分析］（1）根据函数解析式可求A、B、C、D坐标，从而得到∠ACD＝90°，即为所求；
（2）点Q随P运动而运动，P为主动点，Q为从动点，D为定点，故等于P的路径（AC）与Q的路径之比，算出和AC即可得到Q的路径．
［答案详解］
解：（1）如上图，过D作DE⊥y轴于E，
∵抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点，
∴D（﹣，﹣4），DE＝，OE＝4，
令y＝0得（x+）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝，
∴A（﹣3，0），B（，0），OA＝3
令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴CE＝OE﹣OC＝，
∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝，
∴△AOC和△CED是等腰直角三角形，AC＝3，DC＝，
∴∠ACO＝∠DEC＝45°，
∴∠DCA＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
故答案为：；
（2）∵∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，且∠DCA＝90°，
∴△ADC∽△PQD，
∴，
∵点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动，
∴P的路径（AC）与Q的路径之比等于，
∵AC＝3，
∴Q的路径为3×＝，
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数、三角函数、相似三角形等知识，题目较综合，解决本题的关键是需要掌握P点运动路径与Q点运动路径的关系．
10、［难］如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 ；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 ．
［思路分析］（1）求出点B、D的坐标，再将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，可证明△DFF'≌△DGG'（SAS），则FF'＝GG'，求出FF'长即为G点的运动轨迹长．
［答案详解］解：（1）∵A（3，0），C（0，），四边形OABC是矩形，
∴B（3，），
∵D是BC的中点，
∴D（，），
∵点P与原点重合，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x，
故答案为：y＝﹣x2+x；
（2）∵OM＝OC，
∴OM＝，
∴M（0，），
如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，
∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，
∴∠GDG'＝∠FDF'，
∴△DFF'≌△DGG'（SAS），
∴FF'＝GG'，
当P点与O点重合时，y＝﹣x2+x，
令y＝0，则x＝0或x＝，
∴E（，0），
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F（3，）；
当P点与M点重合时，
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点B（3，），D（，），P（0，）代入，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
解得x＝6或x＝﹣，
∴E（6，0），
设直线ED的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+，
∴F'（3，）；
∴FF'＝﹣＝，
∴GG'＝，
∴点G的运动路径的长是，
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
11、［中］已知，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
［思路分析］把x＝0代入y＝x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y＝x+2与y＝﹣x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线y＝﹣x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x﹣h）2﹣h，最后，求得当抛物线恰好与菱形的边AB、BC都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
［答案详解］解：把x＝0代入y＝x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
将y＝x+2与y＝﹣x联立，解得：x＝﹣2，y＝1，
∴B（﹣2，1）．
∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k＝﹣h．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：
当抛物线经过点C（O）时，抛物线恰好与BC、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h＝0，解得h＝0（舍去）或h＝．
如图2所示：当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BC、AB均有交点
此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝﹣2．
∴当﹣2≤h≤时，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点．
故答案为：﹣2≤h≤．
［经验总结］本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物线与菱形的边AB、BC恰好都有公共点时h的值是解题的关键．
12、［中］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
［思路分析］根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
［答案详解］解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
［经验总结］此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
13、［中］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
［思路分析］根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；然后由两点间的距离公式求得A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，…AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；最后将其代入求值即可．
［答案详解］解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合题．解答此题的难点是求＝1++…+的值．在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和．
14、［中］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
［思路分析］设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
［答案详解］解：设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，
所以S＝x（40﹣x）
＝﹣x2+40x
＝﹣（x﹣20）2+400，
∵﹣1＜0，
∴x＝20时，S取得最大值，最大值为400，
答：当x＝20m时，矩形场地的面积S最大；
故答案为：20．
［经验总结］本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．
15、［中］已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
［思路分析］将m＝2，x＝2代入解析式可判定①，将x＝1代入解析式可得y＝0，可判断②，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由m的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，从而判断④．
［答案详解］解：当m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
将x＝2代入y＝x2﹣4x+3得y＝4﹣8+3得y＝﹣1，
∴（2，﹣1）在抛物线上，①错误．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1＝x2﹣2x﹣mx+m+1＝x2﹣2x﹣m（x﹣1）+1，
∴当x＝1时，y＝1﹣2+1＝0，
∴抛物线经过定点（1，0），
∴②正确．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1+，
当m＞0时，1+＞1，
∴当x＞1+时，y随x增大而增大，③错误．
点A（﹣3，0），B（1，0）关于直线x＝﹣1对称，
当﹣4≤m＜0时，﹣1≤1+＜1，
∴抛物线对称轴在直线x＝﹣1与点B之间，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与线段AB有2个交点，④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
三、解答题
17、［中］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
［思路分析］（1）求出B（60，2），用待定系数法即得y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）分两种情况：当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210，当60＜x≤80时，；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，可得当x＝50时，W取最大值为40（万元），当60＜x≤80时，W＝+70，当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元）．
［答案详解］解：（1）在y＝中，令x＝60，得，
∴B（60，2），
∴当30≤x≤60时，设y＝kx+b，图象过（60，2）和（30，5）
∴，
解得：
∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x﹣210，
当60＜x≤80时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）×﹣50＝﹣+70，
综上所述：W＝；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，
当x＝50时，W取最大值为40（万元），
当60＜x≤80时，W＝+70，
∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元），
综上所述，当x＝50或x＝80 时，获得的利润最大，最大利润是40万元，
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，求二次函数最大值等，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
18、［中］某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克） … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
［思路分析］（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
［答案详解］解：（1）如图，
设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
19、［中］如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
［思路分析］（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）①令x＝7.3，求出y的值，与3m比较即可作出判断；②把y＝3代入解析式求出x得值，再与7.3m比较；
（3）将y＝3.19代入解析式，进而得出答案．
［答案详解］解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
把（0，）代入，得a＝﹣，
所以篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）①把x＝7.3代入抛物线解析式得：y＝﹣（7.3﹣4）2+4＝2.79，
∵2.79＜3，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的；
②当y＝3时，3＝﹣（x﹣4）2+4，
解得x＝7或1（舍去），
7.3﹣7＝0.3（米），
所以小明应该向前走0.3米才能命中篮圈中心；
（3）当y＝3.19时，3.19＝﹣（x﹣4）2+4，
解得x＝1.3或6.7，
∵6.7＞4，
∴x＝1.3，
答：他应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的求法及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
20、［中］2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．
（1）试求y关于x的函数关系式；
（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
［思路分析］（1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到日销售利润w与销售单价x的函数关系式，化为顶点式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，可以求得答案．
［答案详解］解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（150，304），点（156，280）在该函数图象上，
∴，
解得，
即日销售量y与销售单价x函数关系式是y＝﹣4x+904；
（2）由题意可得，设日销售利润为w元，
w＝（x﹣100）（﹣4x+904）＝﹣4x2+1304x﹣90400＝﹣4（x﹣163）2+15876，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝163，
∵物价部门规定其每件的售价不低于成本且利润不高于成本的45%，
∴100≤x≤145，
∴当x＝145时，w取得最大值14580，
答：当销售单价为145元时，日销售利润最大，最大利润为14580元．
［经验总结］本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
21、［中］2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为8元/kg，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为30元/kg时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．
［思路分析］（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）把x＝30代入y＝﹣3x+216中即可求解销售量，利用利润＝销售量×（销售单价﹣成本）得出结论；
（3）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
［答案详解］解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）当x＝30时，y＝﹣3×30+216＝126，
∴当荔枝的销售单价定为30元/千克时，荔枝的销售量为126千克，
∴当x＝30时，利润为：126×（30﹣8）＝2772（元）；
（3）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
［经验总结］本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
22、［中］如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
［思路分析］（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；
（2）当时，，联立，可得出点P的横坐标，比较jke得出结论；
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）代入进行验证即可得出结论；
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，比较即可．
［答案详解］解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，
由题意得，
解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设，
将（100，0.250）代入得，解得m＝25，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．
由得v2＝320，
又∵v＞0，
∴．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
［经验总结］本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
23、［中］在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
［思路分析］（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
［答案详解］解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；
（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．
24、［中］如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为 ；
（3）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（4）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）因为y＝ax2+x+c的图象经过A（﹣2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y＝0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y＝﹣x2+x+3上，得出Q点坐标为（x，﹣x2+x+3），连接OQ，根据S四边形ABQC＝S△AOC+S△OQC+S△OBQ，代入求出即可；
（4）在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，①当P1A＝AC时（P1在x轴的负半轴），P1（﹣2，0）；②当P2A＝AC时（P2在x轴的正半轴），P2（﹣2，0）；③当P3C＝AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C＝P4A时（P4在x轴的正半轴），P4（，0），即可得出答案．
［答案详解］解：（1）∵y＝ax2+x+c的图象经过A（﹣2，0），C（0，3），
∴c＝3，a＝﹣，
∴所求解析式为：y＝﹣x2+x+3，
答：这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+x+3．
（2）解：令 y＝0，即﹣x2+x+3＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴B（6，0），
故答案为：（6，0）．
（3）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y＝﹣x2+x+3上，
即：Q点坐标为（x，﹣x2+x+3），
连接OQ，
S四边形ABQC＝S△AOC+S△OQC+S△OBQ，
＝3+x+3（﹣x2+x+3）
＝﹣x2+x+12，
∵a＜0，
∴S四边形ABQC最大值＝，
Q点坐标为（3，），
答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，），面积的最大值是．
（4）解：在Rt△AOC中，
∵AO＝2，OC＝3，
∴AC＝，
，①当P1A＝AC时（P1在x轴的负半轴），P1（﹣2﹣，0）；
②当P2A＝AC时（P2在x轴的正半轴），P2（﹣2，0）；
③当P3C＝AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P4C＝P4A时（P4在x轴的正半轴），
在Rt△P4OC中，设P4O＝x，则（x+2）2＝x2+32，
解得：x＝，
∴P4（，0）；
答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（，0）．
［经验总结］本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．
