湘教版七年级数学上册 绝对值和数轴有关的综合题型 2022-2023学年(含解析)

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名称 湘教版七年级数学上册 绝对值和数轴有关的综合题型 2022-2023学年(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2022-10-01 12:26:02

文档简介

初一上册——绝对值和数轴有关的综合题型
一、数和数轴的对应
1.把下面的直线补成条数轴,并在数轴上表示下列各数:﹣3,,0,,2.
【答案】解:画图如下:
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】在数轴上表示出各点即可。
2.把这些数用数轴上的点表示出来;4,,,,0,-1
请将这些数按从小到大的顺序排列(用“<”连接):
【答案】解:将数用数轴上的点表示,如图所示,
数轴可知:;
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较
【解析】【分析】将数据在数轴上表示出各数,再根据数轴上右边的数大于左边的数可得答案。
3.如图为 四点在数轴上的位置图,其中O为原点,且 , ,若点C所表示的数为x,则点B所表示的数为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离
【解析】【解答】解:∵AC=1,点C所表示的数为x,
∴点A表示的数为x-1,
∵O为原点,OA=OB,
∴点B所表示的数为-(x-1).
故答案为:B.
【分析】根据两点间距离可得点A表示的数,然后根据OA=OB即可得到点B表示的数.
4.若 、 为有理数, , ,且 ,那么 , , , 的大小关系是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解:∵ , ,且 ,
∴ , , ,
∴ ,
∴ .
故答案为:C.
【分析】 由 , ,且 ,可得 , , ,从而得出
据此即可得解.
5.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论,错误的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;相反数及有理数的相反数;有理数的加法;有理数的乘法;绝对值的非负性
【解析】【解答】解:由数轴可知,a<-2<1∴-2<-b<-1,2<-a<3,
∴a<-b故A选项符合题意;B、C、D选项不符合题意.
故答案为:A.
【分析】由数轴可知:a<-2<16.如图,在数轴上,若点表示的数分别是-2和10,点M到距离相等,则M表示的数为(  )
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离
【解析】【解答】解:AB=10-(-2)=10+2=12,
∵点M到A、B距离相等,即M是线段AB的中点,
∴BM=AB=×12=6,
∴点M表示的数为10-6=4,
故答案为:D.
【分析】先求出AB=12,再由线段的中点可得BM=AB=6,从而求出点M表示的数.
7.有理数 在数轴上的位置如图所示,那么下列式子中成立的是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数的加法;有理数的乘法;有理数的除法
【解析】【解答】解:由数轴得b<0<1∴a>b, ,ab<0, ,
故答案为:B.
【分析】由数轴可得b<0<1|a|,然后根据有理数的加法、乘法、除法法则进行判断.
8.如图,有理数,在数轴上表示的位置如图所示,则下列结论不正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较
【解析】【解答】解:由数轴可得:,则:
A、,符合题意;
B、,符合题意;
C、,不符合题意;
D、,符合题意;
故答案为:C.
【分析】结合数轴,再利用特殊值法逐项判断即可。
9.如图,数轴上有A、B、C三点,C为AB的中点,点B表示的数为2,点C表示的数为 ,则点A表示的数为   .
【答案】-4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离
【解析】【解答】解:∵点B表示的数为2,点C表示的数为 ,
∴BC=2-(-1)=3,
∵C为AB中点,
∴AC=BC=3,
∴点A表示的数为:-1-3=-4.
故答案为:-4.
【分析】根据点B、C表示的数结合两点间距离公式可得BC,根据中点的概念可得AC=BC=3,据此不难求出点A表示的数.
10.如图所示在数轴上的点A对应的数为a,B对应的数为b,则a,b与0的大小关系为   < 0 <   .
【答案】a;b
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解:∵在数轴上的点A对应的数为a,B对应的数为b,
点在原点的左侧,点在原点的右侧,正数大于负数,

故答案为:
【分析】结合数轴,利用数轴上右边的数大于左边的数可得答案。
11.在数轴上从左到右依次有三个点A、B、C, , ,若点B为原点,求A、B、C三个点所表示的三个数之和.
【答案】解:∵点B为原点,AB=3,BC=6,
∴点A表示的数为-3,点B表示的数为0,点C表示的数为6,
∴A、B、C三个点所表示的三个数之和为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;有理数的加法
【解析】【分析】 根据已知条件可得点A表示的数为-3,点B表示的数为0,点C表示的数为6,然后求和即可.
12.如图,数轴上点A,B,M,N表示的数分别为-1,5,m,n,且AM=AB,点N是线段BM的中点,求m,n的值.
【答案】解:∵数轴上,点A,B表示的数分别为-1,5,
∴AB=6.
∵AM=AB,
∴AM=4.
①当点M在点A右侧时,
∵点A表示的数为-1,AM=4,
∴点M表示的数为3,即m=3.
∵点B表示的数为5,点N是线段BM的中点,
∴点N表示的数为4,即n=4.
② 当点M在点A左侧时,
∵点A表示的数为-1,AM=4,
∴点M表示的数为-5,即m=-5.
∵点B表示的数为5,点N是线段BM的中点,
∴点N表示的数为0,即n=0.
综上,m=3,n=4,或m=-5,n=0.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;线段的中点;线段的计算
【解析】【分析】根据已知得出AM=4.分①当点M在点A右侧时,② 当点M在点A左侧时,分类讨论即可。
13.数轴上,已知AB=a,AC=b.令AN=2b-a,
(1)尺规作图,在点A的左边找出点N,(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若a=5,b=4,点A在数轴上所代表的数为﹣8,那么点N在数轴上所代表的数为多少.
【答案】(1)解:在射线AC上截取CD=AC=b,
在线段DA上截取DN=AB=a,
则N为所求;
(2)解:∵a=5,b=4,
∴AN=2b﹣a=2×4-5=8-5=3,
当点N在点A左边,点A在数轴上所代表的数为﹣8,
∴点N表示的数为-8-3=-11,
当点N在点A右边,点A在数轴上所代表的数为﹣8,
∴点N表示的数为-8+3=-5,
∴点N表示的数为-11或-5.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;作图-直线、射线、线段;线段的计算
【解析】【分析】(1) 先在射线AC上截取CD=AC=b,再在线段DA上截取DN=AB=a,则点N即为所求;
(2)先求出AN=3, 分两种情况:当点N在点A左边 或 当点N在点A右边, 据此分别求解即可.
二、倒数相反数有关概念性的题型
14.有理数的相反数是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解:∵只有符号不同的两个数互为相反数,
∴有理数的相反数是,
故答案为:C.
【分析】根据相反数的定义求解即可。
15.已知a,b互为倒数,x,y互为相反数.
(1)求式子2x+3ab+2y的值;
(2)若2b=4,by=8,求式子72ay﹣xb的值.
【答案】(1)解:2x+3ab+2y=2(x+y)+3ab,
∵a,b互为倒数,x,y互为相反数,
∴ab=1,x+y=0,
∴原式=2×0+3×1
=0+3
=3,
即式子2x+3ab+2y的值为3;
(2)解:∵2b=4,by=8,
∴b=2,y=3,
又∵a,b互为倒数,x,y互为相反数,
∴a=,x=-3,
∴72ay﹣xb
=72×()3-(-3)2
=72×-9
=9-9
=0.
【知识点】相反数及有理数的相反数;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】(1)根据倒数和相反数的性质可得ab=1,x+y=0,再整体代入2x+3ab+2y计算即可;
(2)先求出b、y的值,再求出a、x的值,最后代入计算即可。
16.已知a、b互为倒数,c能够使得 有最小值,d<0,且 ,求 的值.
【答案】解:∵a、b互为倒数,c能够使得(c-3)2+6有最小值,d<0,且|d-3|=4,
∴ab=1,c=3,d=-1,
∴ .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】根据“a、b互为倒数,c能够使得(c-3)2+6有最小值,d<0,且|d-3|=4,”可得ab=1,c=3,d=-1,再将其代入计算即可。
17.已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,e的绝对值等于2,求﹣ab+3e﹣的值.
【答案】解:∵a,b互为倒数
∴ab=1,
∵c,d互为相反数
∴c+d=0,
∵=2
∴e=±2,
当e=2时,原式=-1+3×2-0=5,
当e=-2时,原式=-1+3×(-2)-0=-7.
【知识点】相反数及有理数的相反数;绝对值及有理数的绝对值;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】利用互为倒数的两数之积为1,可求出ab的值;利用互为相反数的两数之和为0,可求出c+d的值;利用绝对值等于2的数有两个,可求出e的值;再整体代入求出原式的值.
三、绝对值结合数轴
18.如图,数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、C,且|a|=|b|,AB=BC,则下列结论中①ab<0;②a=-b:③a+c>0;④3a+c=0中,正确的有(  )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;相反数及有理数的相反数;有理数的加法;有理数的乘法
【解析】【解答】解:根据a、b、C在数轴上的位置,得a<0<b<c, |a|=|b|<|c| ,
∴ ab<0, a+c>0,
故①③正确;
∵|a|=|b|,
∴a,b互为相反数,
∴a=-b,故②正确:
∵ AB=BC,a=-b,
∴c=3b==-3a,
∴3a+c=0,故④正确,
故答案为:D.
【分析】根据a、b、C在数轴上的位置,得出a<0<b<c, |a|=|b|<|c| ,根据有理数的加法和乘法法则得出ab<0, a+c>0, 根据相反数的几何意义得出a=-b,根据线段中点的定义得出c=-3a,逐项进行判断,即可得出答案.
19.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,
求|a+b|﹣3|b+c|+2|a﹣b|﹣|c﹣b|的值.
【答案】解:由数轴可知a<0<b<c,且|a|>|b|,
所以a+b<0,b+c>0,a-b<0,c-b>0,
所以|a+b|=-(a+b),|b+c|=b+c,|a-b|=-(a-b),|c-b|=c-b,
原式=-(a+b)-3(b+c)-2(a-b)-(c-b)
=-a-b-3b-3c-2a+2b-c+b
=-3a-b-4c.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;整式的加减运算
【解析】【分析】观察数轴可知a<0<b<c,且|a|>|b|,可得到a+b<0,b+c>0,a-b<0,c-b>0;然后利用绝对值的性质,先化简绝对值,再合并同类项.
20.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简: .
【答案】解:根据题意可知 , , ,
∴原式=
= .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】结合数轴利用特殊值法判断出绝对值中的正负,再利用绝对值的性质去掉绝对值,最后合并同类项即可。
21.已知有理数 在数轴上如图所示,化简代数式 .
【答案】解: ,
∴ , , ,

=
=
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 , , , 再化简求值即可。
22.已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a + b| - |a - b| + |a + c|的结果为(  )
A.-a-c B.-a-b-c C.-a-2b-c D.a-2b+c
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;绝对值的非负性;合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解:通过数轴得到a<0,c>0,b>0,|a|>|c|>|b|,
∴a+b<0,a-b<0,a+c<0
∴|a+b| - |a-b| + |a+c|=-a-b+a-b﹣a-c=-a-2b-c.
故答案为:C.
【分析】根据数轴可得:a<023.已知 ,则 的相反数是(  )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数;绝对值及有理数的绝对值;解一元一次方程
【解析】【解答】解: ,
a=-4,
∴ =4,
∴ 的相反数是-4.
故答案为:A.
【分析】首先根据2a=-8求出a的值,然后结合绝对值、相反数的概念进行解答.
24.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,若m=|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|,则m=   .
【答案】-1-c
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解:由数轴上点的位置可知:,
∴,,,


故答案为:.
【分析】由数轴上点的位置可知:,从而得出,,,根据绝对值的性质进行化简即可.
25.在数轴上,点M、N分别表示数m,n.则点M、N之间的距离为 .已知点A,B,C,D在数轴上分别表示的数为a,b,c,d.且 ,则线段 的长度为(  )
A.4.5 B.1.5 C.6.5或1.5 D.4.5或1.5
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;线段的计算
【解析】【解答】解:①如图,当 在 点的右侧时,

②如图,当 在 点的左侧时,

综上所述,线段 的长度为6.5或1.5
故答案为:C
【分析】分两种情况:①如图,当 在 点的右侧时,②如图,当 在 点的左侧时,据此分别解答即可.
26.有理数 , , 在数轴上所表示的点的位置如图所示,则化简    .
【答案】-3b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得: ,且
∴ , ,

故答案为:-3b.
【分析】由数轴可得 ,且 ,从而求出 , , ,然后根据绝对值的性质进行化简即可.
27.一只蚂蚁从数轴上点A出发向左爬了5个单位长度到了表示-2的点处,则点A所表示的数是   .
【答案】3
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解:根据题意得:点A所表示的数是 .
故答案为:3.
【分析】由题意可得:将表示-2的点向右平移5个单位长度可得点A,据此不难得到点A表示的数.
28.有理数 、 在数轴上的位置如图所示,下列说法:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ;其中正确的序号有   .
【答案】②③⑤
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;有理数的乘法;有理数的乘方
【解析】【解答】解:由数轴上点的位置,得 ,
① ,则 错误,故①错误;
② 则 正确,故②正确;
③ 且 ,则 正确,故③正确;
④由已知得 ,所以 错误,故④错误;
⑤由已知可得 ,则 ,所以 正确,故⑤正确;
故答案为:②③⑤.
【分析】根据数轴可得a<029.有理数a、b在数轴上的表示如图所示,化简:|a﹣b|﹣(﹣3a+b﹣1)+2.
【答案】解:由数轴可知:,故。
原式

【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先根据数轴,利用特殊值法判断出绝对值的正负,再去绝对值,然后合并同类项即可。
30.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且|a|=|b|,化简|c-a|+|c-b|+|a+b|.
【答案】解:由数轴,得b>c>0,a<0,又|a|=|b|,
∴c-a>0,c-b<0,a+b=0.
|c-a|+|c-b|+|a+b|=c-a+b-c=b-a.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 b>c>0,a<0, 再求出 c-a>0,c-b<0,a+b=0 ,最后化简计算求解即可。
四、与数轴相关的动点问题
31.数轴上两点A、B,A在B左边,原点O是线段AB上的一点,已知AB=4,且OB=3OA.A、B对应的数分别是a、b,点P为数轴上的一动点,其对应的数为x.
(1)a=   ,b=   ,并在数轴上面标出A、B两点;
(2)若PA=2PB,求x的值;
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动,同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.请问在运动过程中,3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由若不变,请求其值.
【答案】(1)-1;3
(2)解:①当P点在A点左侧时,PA
②当P点位于A、B两点之间
解得
③当P点在B点右侧时
解得
故x的值为解得或.
(3)解:t秒后,A点的值为,P点的值为2t,B点的值为
所以3PB-PA的值为定值,不随着时间t的变化而改变.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;整式的加减运算;一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】(1)解: AB=4,且OB=3OA,A、B对应的数分别是a、b,
故答案为:
【分析】(1)由AB=4且OB=3OA可得OA=1,OB=3,根据点A、B的位置及数轴的特点可求出a、b;
(2)分三种情况: ①当P点在A点左侧时 ,不存在;②当P点位于A、B两点之间,③当P点在B点右侧时,根据PA=2PB分别列出方程求出x值即可;
(3) 求出t秒后,A点的值为,P点的值为2t,B点的值为 ,可得PB=3+3t-2t,PA=2t-(-1-t),然后求出3PB-PA的值,从而判断即可.
32.如图,P是线段AB上不同于点A,B的一点,AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发,在线段AB上向左运动(无论谁先到达A点,均停止运动),点C的运动速度为1cm/s,点D的运动速度为2cm/s.
(1)若AP=PB,
①当动点C,D运动了2s时,AC+PD=   cm;
②当C,D两点间的距离为5cm时,则运动的时间为   s;
(2)当点C,D在运动时,总有PD=2AC,·
①求AP的长度;
②若在直线AB上存在一点Q,使AQ﹣BQ=PQ,求PQ的长度.
【答案】(1)12;4
(2)解:①设运动时间为,则,


当在运动时,总有,即总有,
的值与点的位置无关,
在点的运动过程中,点始终在线段上,此时满足,

又,

解得,
答:的长度为;
②由题意,分两种情况:
(Ⅰ)当点在线段上时,

点在点的右侧,
,,
代入得:,解得;
(Ⅱ)当点在的延长线上时,则,
代入得:;
综上,的长度为或.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-行程问题;线段的计算
【解析】【解答】解:(1)
解:①,

当动点运动了时,,


故答案为:12;
②设运动时间为,
点运动到点所需时间为,点运动到点所需时间为,
则,
由题意得:,
则,
当点重合时,,即,
解得,
所以当时,点一定在点的右侧,
则,即,
解得,
即当两点间的距离为时,运动的时间为,
故答案为:4.
【分析】(1)①由题意可求出,,则可求好处AC、PD的值,即可求出答案;②设运动时间为,则,可求出,求出t即可;
(2)①设运动时间为,则,当在运动时,总有,即总有,得出的值与点的位置无关,推出得出AP的值即可;②由题意,分两种情况:(Ⅰ)当点在线段上时,(Ⅱ)当点在的延长线上时,分别讨论即可得出PQ的值。
33.如图,已知A、B两点在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足,点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动.点Q以每秒3个单位长度的速度从点O向右运动(点P、点Q同时出发).
(1)分别求出点A、B在数轴上对应的数;
(2)经过几秒时,点P、点Q分别到原点O的距离相等?
(3)当点P运动到什么位置时,恰好使AP=2BQ?
【答案】(1)解:∵,且,,
∴,,
∴,,
∴点A、B在数轴上对应的数分别、.
(2)解:设经过x秒时,点P、点Q分别到原点O的距离相等,
当点P、Q在点O两侧时,
依题意得:,
解得:;
当点P与Q重合时,
依题意得:,
解得:,
∴经过秒或20秒时,点P、Q分别到原点O的距离相等.
(3)解:设经过y秒时,恰好使AP=2BQ.
当点Q在点B的左侧时,
依题意得:,
解得:,
∴,
当点Q在点B的右侧时,
依题意得:,
解得,
∴,
∴当点P运动到28或220位置时,恰好使AP=2BQ.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-行程问题;非负数之和为0
【解析】【分析】(1)根据非负数的性质可得点A、B在数轴上表示的数;
(2)分当点P、Q两侧和当点P、Q重合时,两种情况讨论即可;
(3)分当点Q在点B的左侧时,当点Q在点B的右侧时,两种情况讨论即可。
34.如图,点,是数轴上两点,点表示的数为,.动点,分别从,出发,点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.
(1)数轴上点表示的数是   .
(2)求数轴上点,表示的数(用含t的式子表示).
(3)若点和同时出发,t为何值时,这两点相遇?
(4)若点比点迟2秒钟出发,则点出发几秒时,点和点刚好相距5个单位长度?
【答案】(1)4
(2)解:根据题意得: ,
∴点表示的数为 点表示的数为;
(3)解:依题意得:,
解得:,
答:当时,这两点相遇;
(4)解:当点和相遇前,两点相距5个单位长度时,

解得:;
当点和相遇后,两点相距5个单位长度时,

解得:;
答:点出发或7秒时,点和点刚好相距5个单位长度.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解:(1)
解:∵点表示的数为,.
∴数轴上点表示的数是4;
【分析】根据AB=20,点A表示-16,可得出点B表示的数;
(2)根据两个点的运动方向和速度可得出答案;
(3)根据题意得出2t+t=20,解方程得出答案;
(4)分情况讨论:相遇前和相遇后。
35.如图,数轴上点A,C对应的数分别为a,c,且.a,c满足|a+4|+(c﹣1)2022=0,点B对应的数为﹣3.
(1)求数a,c.
(2)点A,B沿数轴同时出发向右匀速运动,点A速度为2个单位长度/秒,点B速度为l个单位长度/秒,设运动时间为t秒,运动过程中,当A,B两点到原点O的距离相等时,求t的值.
(3)在(2)的条件下,点B运动到点C后立即以原速返回,到达自己的出发点后停止运动,点A运动至点C后也以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点C运动,当点B停止运动时,点A随之停止运动,请直接写出在此运动过程中A,B两点同时到达的点在数轴上所表示的数.
【答案】(1)解:由题意得,
(2)解: 对应的数为-3, 对应的数为-4,

解得 或
当A,B两点到原点O的距离相等时, 或
(3)解:由(2)得,当 时,A、B两点同时到达的点是-2,
2.5秒时点A的对应数是1,B点对应的数是-0.5,
设经过t秒A、B相遇,由题意得,
此时点A、B两点同时到达的点是0,
再经过2秒时,点A到达点A,B返回在0,
设点A、B两点再过t秒相遇,由题意得,
此时A、B两点同时到达的点是 ,在此3秒时,A为0,B为-3,
A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数为:-2,0, .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;偶次幂的非负性;绝对值的非负性;一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据绝对值以及偶次幂的非负性可得a+4=0,c-1=0,求解可得a、c的值;
(2)根据点A、B对应的数可得AB=1,AO=4,BO=3,然后根据|AO|=|BO|求解即可;
(3)由(2)得:当t=1时,A、B两点同时到达的点是-2,求出2.5秒时点A、B对应的数,得到AB的值,设经过t秒A、B相遇,列出关于t的方程,求出t的值,可得此时点A、B两点同时到达的点是0,再经过2秒时,点A到达点A,B返回在0,此时AB=4,设点A、B两点再过t秒相遇,同理列出关于t的方程,求出t的值,得到此时A、B表示的数,据此解答.
五、去绝对值的分类讨论问题
36.已知 ,则 的值是   
【答案】1或-3
【知识点】绝对值的非负性;实数的绝对值
【解析】【解答】解: ,
①a、b、c全是负数,
则 =-1-1-1=-3;
②a、b、c两正一负,
一定两个1与一个-1的和,
计算结果是1+1-1=1.
故答案为:1或-3.
【分析】分类讨论,根据 ,计算求解即可。
37.三个有理数a、b、c满足abc>0,则 的值为   .
【答案】3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的乘法
【解析】【解答】a、b、c为三个非零有理数,若 ,则a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数,
若a、b、c中有两个为负数,则原式
a、b、c三个都是正数,则原式
故答案为3或-1.
【分析】 由 可得a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数,然后利用绝对值的性质分别求解即可.
38.已知|a|=8,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b的值为(  )
A.5或11 B.-5或-11 C.-5 D.-11
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法
【解析】【解答】解: |a|=8,|b|=3,
|a-b|=b-a,


故答案为:B
【分析】由|a|=8,|b|=3,可得 根据|a-b|=b-a可得从而确定 或 然后分别代入计算即可.
39.已知 , ,且 ,求 的值.
【答案】解:因为 , ,
所以 或-3, 或-5.
又因为 所以 或-3, ,
①当 , 时 .
②当 , 时 .
所以 的值为-11或1.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加减乘除混合运算
【解析】【分析】 由,,可得 或-3, 或-5,根据a>b可确定a=3,b=-5或a=-3,b=-5,然后分别计算即可.
40.已知abc≠0,且 的最大值为m,最小值为n,则m+n=   .
【答案】0
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法;有理数的乘法
【解析】【解答】解:∵a,b,c都不等于0,
∴有以下情况:
①a,b,c都大于0,原式=1+1+1+1=4;
②a,b,c都小于0,原式=-1-1-1-1=-4;
③a,b,c,一负两正,不妨设a<0,b>0,c>0,
原式=-1+1+1-1=0;
④a,b,c,一正两负,不妨设a>0,b<0,c<0,
原式=1-1-1+1=0;
∴m=4,n=-4,
∴m+n=4-4=0.
故答案为:0.
【分析】由于a,b,c都不等于0,可分四种情况:①a,b,c都大于0,②a,b,c都小于0,③a,b,c,一负两正,④a,b,c,一正两负,根据绝对值的性质分别解答即可.
41.计算:| |+| |+| |+…+| |=   .
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加减混合运算
【解析】【解答】解:| |+| |+| |+…+| |
=
=
= ,
故答案为: .
【分析】利用绝对值的非负性,先化简绝对值,再利用有理数的加减法法则进行计算.
42.已知|x|=2,|y|=1,且|x﹣y|=y﹣x,则x-y=   .
【答案】-3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的减法
【解析】【解答】解:∵|x-y|=y-x,
∴y>x,
∵|x|=2,|y|=1,
∴x=-2,y=1或y=1,
当x=-2,y=1时,x-y=-2-1=-3;
当x=-2,y=-1时,x-y=-2+1=-1.
故答案为:-3或-1.
【分析】由|x-y|=y-x可得y>x,由|x|=2,|y|=1,可得x=-2,y=1或y=1,然后分别代入计算即可.
43.设a,b,c为不为零的实数,且 ,那么 ,则x的值为   .
【答案】3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法
【解析】【解答】解:∵a,b,c,为互不为0的实数,abc>0,
当a,b,c都为正数时,

当a,b,c中有两个为负数,一个为正数时,设a>0,b<0,c<0,
∴;
∴x的值为3或-1.
故答案为:3或-1.
【分析】利用已知条件:a,b,c,为互不为0的实数,abc>0,分情况讨论:当a,b,c都为正数时;当a,b,c中有两个为负数,一个为正数时,设a>0,b<0,c<0;利用绝对值的性质,分别进行化简,即可求出结果.
44.有理数a、b、c均不为0,且a+b+c=0,设x=,则代数式x2021+2021x﹣2021的值为    .
【答案】4041或1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;代数式求值
【解析】【解答】解:∵a+b+c=0,
∴b+c= a,c+a= b,a+b= c,
当a、b、c有一个负数时,x=++= 1 1+1= 1,
有两个负数时,x=++=1+1 1=1,
x= 1时,x2021+2021x﹣2021=( 1)2021 2021×( 1)+2021= 1+2021+2021=4041,
x=1时,x2021+2021x﹣2021=12021 2021×1+2021=1 2021+2021=1.
故答案为:4041或1.
【分析】先利用绝对值的性质求出x的值,再分两种情况,分别将x的值代入x2021+2021x﹣2021计算即可。
45.若a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,则|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为   
【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解:∵a,b,c均为整数,且 ,
∴ , 或 , ,
∴a,b,c有两个数相等,
设 ,
则 ,
∴ 或 ,
∴ 或 ,
∴ ;
设 ,
同理可得: .
故答案为:2.
【分析】由已知条件可得|a-b|=0,|c-a|=1或|a-b|=1,|c-a|=0,进而推出a,b,c有两个数相等,然后分a=b、a=c进行计算.
六、绝对值有关的距离和最值问题
46.已知数轴上A、B两点表示的数分别是-2和5,点P是在数轴上运动.请解答下列问题:
(1)当点P到A、B两点的距离相等时,写出点P表示的数.
(2)当点P到A、B两点的距离之和为15时,写出点P表示的数.
(3)当点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒4个单位长度的速度向左运动,它们同时出发多长时间点P到A、B两点的距离相等?
【答案】(1)解:设点P表示的数是x,则x+2=5-x,
解得x=1.5
(2)解:设点P表示的数是 m,
当点P在点A左侧时,则-2-m+5-m=15,解得m=-6;
当点P在点B右侧时,则m-5+m+2=15,解得m=9;
故点P表示的数是-6或9
(3)解:设出发t秒时点P到A、B两点的距离相等,
则点P、A、B表示的数分别为: 、 、 .
当点P在点A右侧时,由于点P追上点A只需要2秒钟,
而点B追上点P需要2.5秒钟,所以不存在点P到A、B两点的距离相等的情况.
当点P在点A左侧时,有两种情况:
① 解得 .
② 解得 .
答:它们同时出发3秒或 秒时点P到A、B两点的距离相等.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的其他应用;两点间的距离
【解析】【分析】(1)设点P表示的数是x,可得PA=x=2,PB=5-x,根据PA=PB列出方程,求出x值即可;
(2)设点P表示的数是m, 分两种情况:①当点P在点A左侧时,②当点P在点B右侧时,根据PA+
PB=15分别列出方程并解之即可;
(3)设出发t秒时点P到A、B两点的距离相等, 可得点P、A、B表示的数分别为 、 、 .首先排除当点P在点A右侧不成立;当点P在点A左侧时,有两种情况:点AB重合或点P在AB两点的中间,由PA=PB分别列出方程并解答即可.
47.如图,数轴上点A对应的有理数为2,点B对应的有理数为-8,点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发,点F以每秒2个单位长度的速度从B出发,且E,F两点同时向数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,E,F两点对应的有理数分别是   ,   ,EF=   ;
(2)用含t的式子表示:AE=   , 当点F在点A左侧时,AF=   ,当点F在点A右侧时,AF=   ;
(3)当点F是线段AE的中点时,求t的值.
(4)是否存在t,使点E是线段BF的中点,如果存在,求t的值,如果存在,说明理由.
【答案】(1)4;-4;8
(2)t;10-.2t;2t-10
(3)解: 对应的数分别为 点F是线段AE的中点,
对应的数为
而F对应的数也为
解得:
当运动时间为 s时,点F是线段AE的中点.
(4)解:不存在,理由如下:
对应的数分别为 点E是线段BF的中点,
对应的数为
而 对应的数为
此时方程无解,
所以点E不能是线段BF的中点.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;线段的中点
【解析】【解答】解:(1)如图,
所以E对应的数为 F对应的数为
故答案为: ;
(2)解:如图,
所以
当点F在点A左侧时,
当点F在点A右侧时,
故答案为: ;
【分析】(1)找出t=2时E、F的位置,进而可得点E、F对应的数,然后根据两点间距离公式计算即可;
(2)用点E表示的数减去点A表示的数可得AE;然后分点F在点A左侧、右侧两种情况进行解答;
(3)根据中点坐标公式可得点F对应的数,据此求出t的值;
(4)根据中点坐标公式可得点E对应的数,结合点E对应的数为2+t,建立方程,求解即可.
48.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例:如图所示,点A、B在数轴上分别对应的数为a、b,则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|.
根据以上知识解题:
(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1,
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为    ;
②若该两点之间的距离为2,那么x值为    .
(2)|x+1|+|x﹣2|的最小值为    ,若x为整数,此时x的取值是    ;
(3)已知|x+1|+|x﹣2|=7时,x的取值是    .
【答案】(1)|x+1|;﹣3或1
(2)3;﹣1≤x≤2
(3)﹣3或4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;绝对值的非负性
【解析】【解答】解:(1)①∵数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1,
A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|;
故答案为:|x+1|;
②依题意有|x+1|=2,
则x+1=﹣2或x+1=2,
解得:x=﹣3或x=1.
故x值为﹣3或1.
故答案为:﹣3或1.
(2)当x<-1时,|x+1|+|x﹣2|=﹣x-1-x+2=-2x+1>3,
当-1≤x≤2时,|x+1|+|x﹣2|=x+1-x+2=3,
当x>2时,|x+1|+|x﹣2|=x+1+x-2=2x-1>3,
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值为3,此时x的取值是﹣1≤x≤2;
故答案为:3;﹣1≤x≤2;
(3)当x<﹣1时,- x-1-x+2=7,
-2x=6,
x=-3,
当-1≤x≤2时,x+1-x+2=7,
得3=7不成立,
当x>2时,x+1+ x﹣2=7.
2 x =8,
解得x =4,
综上所述,x的取值是﹣3或4.
故答案为:﹣3或4.
【分析】(1)①直接根据数轴上两点间距离公式进行解答;
②依题意有|x+1|=2,求解即可;
(2)分x<-1;-1≤x≤2;x>2,利用绝对值的性质对其进行化简,进而可得最小值;
(3)分x<-1,-1≤x≤2,x>2,利用绝对值的性质对原方程进行化简,进而可得x的值.
49.绝对值拓展材料:|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|=|5﹣0|,即|5﹣0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离类似的,有:|5+3|=|5﹣(﹣3)|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|.
完成下列题目:
(1)A、B分别为数轴上两点,A点对应的数为﹣2,B点对应的数为4
①A、B两点之间的距离为   ;
②折叠数轴,使A点与B点重合,则表示﹣3的点与表示   的点重合;
③若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的2倍,则点P所表示的数是   ;
(2)若满足|x﹣2|+|x+3|=6时,则x的值是   .
【答案】(1)6;5;2或10
(2)2.5或-3.5
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解:(1)①∵A点对应的数为﹣2,B点对应的数为4,
∴A、B两点之间的距离为|-2-4|=6;
②∵A、B两点之间的距离为6,
AB中点对应的数为(-2+4)÷2=1,
∵点A表示的数为-1,
∴1-(-3)+1=1+3+1=5
∴表示﹣3的点与表示的5点重合.
③设点P表示的数为x,
∵点P到A的距离是点P到B的距离的2倍
则|-2-x|=2|x-4|
∴2+x=2(x-4)或2+x=-2(x-4)
解之:x=10或x=2.
故答案为:6,5,2或10.
(2)∵|x﹣2|+|x+3|=6,
当x<-3时
∴2-x-x-3=6
解之:x=3.5;
当-2≤x≤-3时,
x-2-x-3≠6,此方程无解;
当x>2时,
x-2+x+3=6
解之:x=2.5.
故答案为:2.5或3.5.
【分析】(1)①利用数轴上两点之间的距离的计算方法,可求出A、B两点之间的距离;②利用折叠的性质,可知AB中点对应的数,再利用点A表示的数,可求出与表示﹣3的点重合的点表示的数;③设点P表示的数为x,根据点P到A的距离是点P到B的距离的2倍,可得到|-2-x|=2|x-4|,然后求出此方程的解.
(2)分情况讨论:当x<-3时;当-2≤x≤-3时;当x>2时;分别利用绝对值的性质,进行化简,可得答案.
50.数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值,例如:点A、B在数轴上对应的数分别是a、b,则点A、B两点间的距离表示为AB=|a﹣b|,
利用上述结论,回答以下四个问题:
(1)若点A在数轴上表示3,点B在数轴上表示1,那么AB=   ;
(2)在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3,那么x=   ;
(3)若数轴上表示a的点位于﹣4和3之间,那么|a+4|+|a﹣3|=   ;
(4)对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是   .
【答案】(1)2
(2)﹣4或2
(3)7
(4)3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;两点间的距离;定义新运算
【解析】【解答】解:(1)点A在数轴上表示3,点B在数轴上表示1,那么AB=|3﹣1|=2,
故答案为:2;
(2)根据题意得,|x﹣(﹣1)|=3,解得x=﹣4或2.
故答案为:﹣4或2;
(3)如果数轴上表示数a的点位于﹣4和3之间,那么|a+4|+|a﹣3|=(a+4)﹣(a﹣3)=a+4﹣a+3=7.
故答案为:7;
(4)结合数轴得出:|x﹣3|+|x﹣6|表示数x到3和6两点的距离之和,
因此当x在3和6之间时,|x﹣3|+|x﹣6|有最小值,其值即为3和6两数所表示点的距离,
∵3和6两数所表示点的距离为3,
∴所求最小值为3.
故答案为:3.
【分析】(1)根据两点的距离公式计算即可;
(2)根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可;
(3)根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可;
(4)结合数轴得出 |x﹣3|+|x﹣6| 表示数x到3和6两点的距离之和, |x﹣3|+|x﹣6| 由最小值,则x一定在3和6之间,则最小值是3.初一上册——绝对值和数轴有关的综合题型
一、数和数轴的对应
1.把下面的直线补成条数轴,并在数轴上表示下列各数:﹣3,,0,,2.
2.把这些数用数轴上的点表示出来;4,,,,0,-1
请将这些数按从小到大的顺序排列(用“<”连接):
3.如图为 四点在数轴上的位置图,其中O为原点,且 , ,若点C所表示的数为x,则点B所表示的数为(  )
A. B. C. D.
4.若 、 为有理数, , ,且 ,那么 , , , 的大小关系是(  )
A. B.
C. D.
5.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论,错误的是(  )
A. B.
C. D.
6.如图,在数轴上,若点表示的数分别是-2和10,点M到距离相等,则M表示的数为(  )
A.10 B.8 C.6 D.4
7.有理数 在数轴上的位置如图所示,那么下列式子中成立的是(  )
A. B. C. D.
8.如图,有理数,在数轴上表示的位置如图所示,则下列结论不正确的是(  )
A. B. C. D.
9.如图,数轴上有A、B、C三点,C为AB的中点,点B表示的数为2,点C表示的数为 ,则点A表示的数为   .
10.如图所示在数轴上的点A对应的数为a,B对应的数为b,则a,b与0的大小关系为   < 0 <   .
11.在数轴上从左到右依次有三个点A、B、C, , ,若点B为原点,求A、B、C三个点所表示的三个数之和.
12.如图,数轴上点A,B,M,N表示的数分别为-1,5,m,n,且AM=AB,点N是线段BM的中点,求m,n的值.
13.数轴上,已知AB=a,AC=b.令AN=2b-a,
(1)尺规作图,在点A的左边找出点N,(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若a=5,b=4,点A在数轴上所代表的数为﹣8,那么点N在数轴上所代表的数为多少.
二、倒数相反数有关概念性的题型
14.有理数的相反数是(  )
A. B. C. D.
15.已知a,b互为倒数,x,y互为相反数.
(1)求式子2x+3ab+2y的值;
(2)若2b=4,by=8,求式子72ay﹣xb的值.
16.已知a、b互为倒数,c能够使得 有最小值,d<0,且 ,求 的值.
17.已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,e的绝对值等于2,求﹣ab+3e﹣的值.
三、绝对值结合数轴
18.如图,数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、C,且|a|=|b|,AB=BC,则下列结论中①ab<0;②a=-b:③a+c>0;④3a+c=0中,正确的有(  )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
19.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,
求|a+b|﹣3|b+c|+2|a﹣b|﹣|c﹣b|的值.
20.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简: .
21.已知有理数 在数轴上如图所示,化简代数式 .
22.已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a + b| - |a - b| + |a + c|的结果为(  )
A.-a-c B.-a-b-c C.-a-2b-c D.a-2b+c
23.已知 ,则 的相反数是(  )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
24.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,若m=|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|,则m=   .
25.在数轴上,点M、N分别表示数m,n.则点M、N之间的距离为 .已知点A,B,C,D在数轴上分别表示的数为a,b,c,d.且 ,则线段 的长度为(  )
A.4.5 B.1.5 C.6.5或1.5 D.4.5或1.5
26.有理数 , , 在数轴上所表示的点的位置如图所示,则化简    .
27.一只蚂蚁从数轴上点A出发向左爬了5个单位长度到了表示-2的点处,则点A所表示的数是   .
28.有理数 、 在数轴上的位置如图所示,下列说法:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ;其中正确的序号有   .
29.有理数a、b在数轴上的表示如图所示,化简:|a﹣b|﹣(﹣3a+b﹣1)+2.
30.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且|a|=|b|,化简|c-a|+|c-b|+|a+b|.
四、与数轴相关的动点问题
31.数轴上两点A、B,A在B左边,原点O是线段AB上的一点,已知AB=4,且OB=3OA.A、B对应的数分别是a、b,点P为数轴上的一动点,其对应的数为x.
(1)a=   ,b=   ,并在数轴上面标出A、B两点;
(2)若PA=2PB,求x的值;
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动,同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.请问在运动过程中,3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由若不变,请求其值.
32.如图,P是线段AB上不同于点A,B的一点,AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发,在线段AB上向左运动(无论谁先到达A点,均停止运动),点C的运动速度为1cm/s,点D的运动速度为2cm/s.
(1)若AP=PB,
①当动点C,D运动了2s时,AC+PD=   cm;
②当C,D两点间的距离为5cm时,则运动的时间为   s;
(2)当点C,D在运动时,总有PD=2AC,·
①求AP的长度;
②若在直线AB上存在一点Q,使AQ﹣BQ=PQ,求PQ的长度.
33.如图,已知A、B两点在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足,点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动.点Q以每秒3个单位长度的速度从点O向右运动(点P、点Q同时出发).
(1)分别求出点A、B在数轴上对应的数;
(2)经过几秒时,点P、点Q分别到原点O的距离相等?
(3)当点P运动到什么位置时,恰好使AP=2BQ?
34.如图,点,是数轴上两点,点表示的数为,.动点,分别从,出发,点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.
(1)数轴上点表示的数是   .
(2)求数轴上点,表示的数(用含t的式子表示).
(3)若点和同时出发,t为何值时,这两点相遇?
(4)若点比点迟2秒钟出发,则点出发几秒时,点和点刚好相距5个单位长度?
35.如图,数轴上点A,C对应的数分别为a,c,且.a,c满足|a+4|+(c﹣1)2022=0,点B对应的数为﹣3.
(1)求数a,c.
(2)点A,B沿数轴同时出发向右匀速运动,点A速度为2个单位长度/秒,点B速度为l个单位长度/秒,设运动时间为t秒,运动过程中,当A,B两点到原点O的距离相等时,求t的值.
(3)在(2)的条件下,点B运动到点C后立即以原速返回,到达自己的出发点后停止运动,点A运动至点C后也以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点C运动,当点B停止运动时,点A随之停止运动,请直接写出在此运动过程中A,B两点同时到达的点在数轴上所表示的数.
五、去绝对值的分类讨论问题
36.已知 ,则 的值是   
37.三个有理数a、b、c满足abc>0,则 的值为   .
38.已知|a|=8,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b的值为(  )
A.5或11 B.-5或-11 C.-5 D.-11
39.已知 , ,且 ,求 的值.
40.已知abc≠0,且 的最大值为m,最小值为n,则m+n=   .
41.计算:| |+| |+| |+…+| |=   .
42.已知|x|=2,|y|=1,且|x﹣y|=y﹣x,则x-y=   .
43.设a,b,c为不为零的实数,且 ,那么 ,则x的值为   .
44.有理数a、b、c均不为0,且a+b+c=0,设x=,则代数式x2021+2021x﹣2021的值为    .
45.若a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,则|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为   
六、绝对值有关的距离和最值问题
46.已知数轴上A、B两点表示的数分别是-2和5,点P是在数轴上运动.请解答下列问题:
(1)当点P到A、B两点的距离相等时,写出点P表示的数.
(2)当点P到A、B两点的距离之和为15时,写出点P表示的数.
(3)当点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒4个单位长度的速度向左运动,它们同时出发多长时间点P到A、B两点的距离相等?
47.如图,数轴上点A对应的有理数为2,点B对应的有理数为-8,点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发,点F以每秒2个单位长度的速度从B出发,且E,F两点同时向数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,E,F两点对应的有理数分别是   ,   ,EF=   ;
(2)用含t的式子表示:AE=   , 当点F在点A左侧时,AF=   ,当点F在点A右侧时,AF=   ;
(3)当点F是线段AE的中点时,求t的值.
(4)是否存在t,使点E是线段BF的中点,如果存在,求t的值,如果存在,说明理由.
48.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例:如图所示,点A、B在数轴上分别对应的数为a、b,则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|.
根据以上知识解题:
(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1,
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为    ;
②若该两点之间的距离为2,那么x值为    .
(2)|x+1|+|x﹣2|的最小值为    ,若x为整数,此时x的取值是    ;
(3)已知|x+1|+|x﹣2|=7时,x的取值是    .
49.绝对值拓展材料:|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|=|5﹣0|,即|5﹣0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离类似的,有:|5+3|=|5﹣(﹣3)|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|.
完成下列题目:
(1)A、B分别为数轴上两点,A点对应的数为﹣2,B点对应的数为4
①A、B两点之间的距离为   ;
②折叠数轴,使A点与B点重合,则表示﹣3的点与表示   的点重合;
③若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的2倍,则点P所表示的数是   ;
(2)若满足|x﹣2|+|x+3|=6时,则x的值是   .
50.数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值,例如:点A、B在数轴上对应的数分别是a、b,则点A、B两点间的距离表示为AB=|a﹣b|,
利用上述结论,回答以下四个问题:
(1)若点A在数轴上表示3,点B在数轴上表示1,那么AB=   ;
(2)在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3,那么x=   ;
(3)若数轴上表示a的点位于﹣4和3之间,那么|a+4|+|a﹣3|=   ;
(4)对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是   .