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湘教版(2024)
七年级上册
第1章 有理数
本章复习与测试
湘教版七年级数学上册 绝对值和数轴有关的综合题型 2022-2023学年(含解析)
文档属性
名称
湘教版七年级数学上册 绝对值和数轴有关的综合题型 2022-2023学年(含解析)
格式
zip
文件大小
242.0KB
资源类型
教案
版本资源
湘教版
科目
数学
更新时间
2022-10-01 12:26:02
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文档简介
初一上册——绝对值和数轴有关的综合题型
一、数和数轴的对应
1.把下面的直线补成条数轴,并在数轴上表示下列各数:﹣3,,0,,2.
【答案】解:画图如下:
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】在数轴上表示出各点即可。
2.把这些数用数轴上的点表示出来;4,,,,0,-1
请将这些数按从小到大的顺序排列(用“<”连接):
【答案】解:将数用数轴上的点表示,如图所示,
数轴可知:;
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较
【解析】【分析】将数据在数轴上表示出各数,再根据数轴上右边的数大于左边的数可得答案。
3.如图为 四点在数轴上的位置图,其中O为原点,且 , ,若点C所表示的数为x,则点B所表示的数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离
【解析】【解答】解:∵AC=1,点C所表示的数为x,
∴点A表示的数为x-1,
∵O为原点,OA=OB,
∴点B所表示的数为-(x-1).
故答案为:B.
【分析】根据两点间距离可得点A表示的数,然后根据OA=OB即可得到点B表示的数.
4.若 、 为有理数, , ,且 ,那么 , , , 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解:∵ , ,且 ,
∴ , , ,
∴ ,
∴ .
故答案为:C.
【分析】 由 , ,且 ,可得 , , ,从而得出
据此即可得解.
5.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论,错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;相反数及有理数的相反数;有理数的加法;有理数的乘法;绝对值的非负性
【解析】【解答】解:由数轴可知,a<-2<1
∴-2<-b<-1,2<-a<3,
∴a<-b
故A选项符合题意;B、C、D选项不符合题意.
故答案为:A.
【分析】由数轴可知:a<-2<1
6.如图,在数轴上,若点表示的数分别是-2和10,点M到距离相等,则M表示的数为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离
【解析】【解答】解:AB=10-(-2)=10+2=12,
∵点M到A、B距离相等,即M是线段AB的中点,
∴BM=AB=×12=6,
∴点M表示的数为10-6=4,
故答案为:D.
【分析】先求出AB=12,再由线段的中点可得BM=AB=6,从而求出点M表示的数.
7.有理数 在数轴上的位置如图所示,那么下列式子中成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数的加法;有理数的乘法;有理数的除法
【解析】【解答】解:由数轴得b<0<1
∴a>b, ,ab<0, ,
故答案为:B.
【分析】由数轴可得b<0<1
|a|,然后根据有理数的加法、乘法、除法法则进行判断.
8.如图,有理数,在数轴上表示的位置如图所示,则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较
【解析】【解答】解:由数轴可得:,则:
A、,符合题意;
B、,符合题意;
C、,不符合题意;
D、,符合题意;
故答案为:C.
【分析】结合数轴,再利用特殊值法逐项判断即可。
9.如图,数轴上有A、B、C三点,C为AB的中点,点B表示的数为2,点C表示的数为 ,则点A表示的数为 .
【答案】-4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离
【解析】【解答】解:∵点B表示的数为2,点C表示的数为 ,
∴BC=2-(-1)=3,
∵C为AB中点,
∴AC=BC=3,
∴点A表示的数为:-1-3=-4.
故答案为:-4.
【分析】根据点B、C表示的数结合两点间距离公式可得BC,根据中点的概念可得AC=BC=3,据此不难求出点A表示的数.
10.如图所示在数轴上的点A对应的数为a,B对应的数为b,则a,b与0的大小关系为 < 0 < .
【答案】a;b
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解:∵在数轴上的点A对应的数为a,B对应的数为b,
点在原点的左侧,点在原点的右侧,正数大于负数,
∴
故答案为:
【分析】结合数轴,利用数轴上右边的数大于左边的数可得答案。
11.在数轴上从左到右依次有三个点A、B、C, , ,若点B为原点,求A、B、C三个点所表示的三个数之和.
【答案】解:∵点B为原点,AB=3,BC=6,
∴点A表示的数为-3,点B表示的数为0,点C表示的数为6,
∴A、B、C三个点所表示的三个数之和为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;有理数的加法
【解析】【分析】 根据已知条件可得点A表示的数为-3,点B表示的数为0,点C表示的数为6,然后求和即可.
12.如图,数轴上点A,B,M,N表示的数分别为-1,5,m,n,且AM=AB,点N是线段BM的中点,求m,n的值.
【答案】解:∵数轴上,点A,B表示的数分别为-1,5,
∴AB=6.
∵AM=AB,
∴AM=4.
①当点M在点A右侧时,
∵点A表示的数为-1,AM=4,
∴点M表示的数为3,即m=3.
∵点B表示的数为5,点N是线段BM的中点,
∴点N表示的数为4,即n=4.
② 当点M在点A左侧时,
∵点A表示的数为-1,AM=4,
∴点M表示的数为-5,即m=-5.
∵点B表示的数为5,点N是线段BM的中点,
∴点N表示的数为0,即n=0.
综上,m=3,n=4,或m=-5,n=0.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;线段的中点;线段的计算
【解析】【分析】根据已知得出AM=4.分①当点M在点A右侧时,② 当点M在点A左侧时,分类讨论即可。
13.数轴上,已知AB=a,AC=b.令AN=2b-a,
(1)尺规作图,在点A的左边找出点N,(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若a=5,b=4,点A在数轴上所代表的数为﹣8,那么点N在数轴上所代表的数为多少.
【答案】(1)解:在射线AC上截取CD=AC=b,
在线段DA上截取DN=AB=a,
则N为所求;
(2)解:∵a=5,b=4,
∴AN=2b﹣a=2×4-5=8-5=3,
当点N在点A左边,点A在数轴上所代表的数为﹣8,
∴点N表示的数为-8-3=-11,
当点N在点A右边,点A在数轴上所代表的数为﹣8,
∴点N表示的数为-8+3=-5,
∴点N表示的数为-11或-5.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;作图-直线、射线、线段;线段的计算
【解析】【分析】(1) 先在射线AC上截取CD=AC=b,再在线段DA上截取DN=AB=a,则点N即为所求;
(2)先求出AN=3, 分两种情况:当点N在点A左边 或 当点N在点A右边, 据此分别求解即可.
二、倒数相反数有关概念性的题型
14.有理数的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解:∵只有符号不同的两个数互为相反数,
∴有理数的相反数是,
故答案为:C.
【分析】根据相反数的定义求解即可。
15.已知a,b互为倒数,x,y互为相反数.
(1)求式子2x+3ab+2y的值;
(2)若2b=4,by=8,求式子72ay﹣xb的值.
【答案】(1)解:2x+3ab+2y=2(x+y)+3ab,
∵a,b互为倒数,x,y互为相反数,
∴ab=1,x+y=0,
∴原式=2×0+3×1
=0+3
=3,
即式子2x+3ab+2y的值为3;
(2)解:∵2b=4,by=8,
∴b=2,y=3,
又∵a,b互为倒数,x,y互为相反数,
∴a=,x=-3,
∴72ay﹣xb
=72×()3-(-3)2
=72×-9
=9-9
=0.
【知识点】相反数及有理数的相反数;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】(1)根据倒数和相反数的性质可得ab=1,x+y=0,再整体代入2x+3ab+2y计算即可;
(2)先求出b、y的值,再求出a、x的值,最后代入计算即可。
16.已知a、b互为倒数,c能够使得 有最小值,d<0,且 ,求 的值.
【答案】解:∵a、b互为倒数,c能够使得(c-3)2+6有最小值,d<0,且|d-3|=4,
∴ab=1,c=3,d=-1,
∴ .
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】根据“a、b互为倒数,c能够使得(c-3)2+6有最小值,d<0,且|d-3|=4,”可得ab=1,c=3,d=-1,再将其代入计算即可。
17.已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,e的绝对值等于2,求﹣ab+3e﹣的值.
【答案】解:∵a,b互为倒数
∴ab=1,
∵c,d互为相反数
∴c+d=0,
∵=2
∴e=±2,
当e=2时,原式=-1+3×2-0=5,
当e=-2时,原式=-1+3×(-2)-0=-7.
【知识点】相反数及有理数的相反数;绝对值及有理数的绝对值;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】利用互为倒数的两数之积为1,可求出ab的值;利用互为相反数的两数之和为0,可求出c+d的值;利用绝对值等于2的数有两个,可求出e的值;再整体代入求出原式的值.
三、绝对值结合数轴
18.如图,数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、C,且|a|=|b|,AB=BC,则下列结论中①ab<0;②a=-b:③a+c>0;④3a+c=0中,正确的有( )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;相反数及有理数的相反数;有理数的加法;有理数的乘法
【解析】【解答】解:根据a、b、C在数轴上的位置,得a<0<b<c, |a|=|b|<|c| ,
∴ ab<0, a+c>0,
故①③正确;
∵|a|=|b|,
∴a,b互为相反数,
∴a=-b,故②正确:
∵ AB=BC,a=-b,
∴c=3b==-3a,
∴3a+c=0,故④正确,
故答案为:D.
【分析】根据a、b、C在数轴上的位置,得出a<0<b<c, |a|=|b|<|c| ,根据有理数的加法和乘法法则得出ab<0, a+c>0, 根据相反数的几何意义得出a=-b,根据线段中点的定义得出c=-3a,逐项进行判断,即可得出答案.
19.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,
求|a+b|﹣3|b+c|+2|a﹣b|﹣|c﹣b|的值.
【答案】解:由数轴可知a<0<b<c,且|a|>|b|,
所以a+b<0,b+c>0,a-b<0,c-b>0,
所以|a+b|=-(a+b),|b+c|=b+c,|a-b|=-(a-b),|c-b|=c-b,
原式=-(a+b)-3(b+c)-2(a-b)-(c-b)
=-a-b-3b-3c-2a+2b-c+b
=-3a-b-4c.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;整式的加减运算
【解析】【分析】观察数轴可知a<0<b<c,且|a|>|b|,可得到a+b<0,b+c>0,a-b<0,c-b>0;然后利用绝对值的性质,先化简绝对值,再合并同类项.
20.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简: .
【答案】解:根据题意可知 , , ,
∴原式=
= .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】结合数轴利用特殊值法判断出绝对值中的正负,再利用绝对值的性质去掉绝对值,最后合并同类项即可。
21.已知有理数 在数轴上如图所示,化简代数式 .
【答案】解: ,
∴ , , ,
∴
=
=
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 , , , 再化简求值即可。
22.已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a + b| - |a - b| + |a + c|的结果为( )
A.-a-c B.-a-b-c C.-a-2b-c D.a-2b+c
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;绝对值的非负性;合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解:通过数轴得到a<0,c>0,b>0,|a|>|c|>|b|,
∴a+b<0,a-b<0,a+c<0
∴|a+b| - |a-b| + |a+c|=-a-b+a-b﹣a-c=-a-2b-c.
故答案为:C.
【分析】根据数轴可得:a<0
23.已知 ,则 的相反数是( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数;绝对值及有理数的绝对值;解一元一次方程
【解析】【解答】解: ,
a=-4,
∴ =4,
∴ 的相反数是-4.
故答案为:A.
【分析】首先根据2a=-8求出a的值,然后结合绝对值、相反数的概念进行解答.
24.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,若m=|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|,则m= .
【答案】-1-c
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解:由数轴上点的位置可知:,
∴,,,
∴
,
故答案为:.
【分析】由数轴上点的位置可知:,从而得出,,,根据绝对值的性质进行化简即可.
25.在数轴上,点M、N分别表示数m,n.则点M、N之间的距离为 .已知点A,B,C,D在数轴上分别表示的数为a,b,c,d.且 ,则线段 的长度为( )
A.4.5 B.1.5 C.6.5或1.5 D.4.5或1.5
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;线段的计算
【解析】【解答】解:①如图,当 在 点的右侧时,
,
②如图,当 在 点的左侧时,
,
综上所述,线段 的长度为6.5或1.5
故答案为:C
【分析】分两种情况:①如图,当 在 点的右侧时,②如图,当 在 点的左侧时,据此分别解答即可.
26.有理数 , , 在数轴上所表示的点的位置如图所示,则化简 .
【答案】-3b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】根据题意得: ,且
∴ , ,
∴
故答案为:-3b.
【分析】由数轴可得 ,且 ,从而求出 , , ,然后根据绝对值的性质进行化简即可.
27.一只蚂蚁从数轴上点A出发向左爬了5个单位长度到了表示-2的点处,则点A所表示的数是 .
【答案】3
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解:根据题意得:点A所表示的数是 .
故答案为:3.
【分析】由题意可得:将表示-2的点向右平移5个单位长度可得点A,据此不难得到点A表示的数.
28.有理数 、 在数轴上的位置如图所示,下列说法:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ;其中正确的序号有 .
【答案】②③⑤
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;有理数的乘法;有理数的乘方
【解析】【解答】解:由数轴上点的位置,得 ,
① ,则 错误,故①错误;
② 则 正确,故②正确;
③ 且 ,则 正确,故③正确;
④由已知得 ,所以 错误,故④错误;
⑤由已知可得 ,则 ,所以 正确,故⑤正确;
故答案为:②③⑤.
【分析】根据数轴可得a<0
29.有理数a、b在数轴上的表示如图所示,化简:|a﹣b|﹣(﹣3a+b﹣1)+2.
【答案】解:由数轴可知:,故。
原式
.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先根据数轴,利用特殊值法判断出绝对值的正负,再去绝对值,然后合并同类项即可。
30.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且|a|=|b|,化简|c-a|+|c-b|+|a+b|.
【答案】解:由数轴,得b>c>0,a<0,又|a|=|b|,
∴c-a>0,c-b<0,a+b=0.
|c-a|+|c-b|+|a+b|=c-a+b-c=b-a.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;有理数大小比较;合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先求出 b>c>0,a<0, 再求出 c-a>0,c-b<0,a+b=0 ,最后化简计算求解即可。
四、与数轴相关的动点问题
31.数轴上两点A、B,A在B左边,原点O是线段AB上的一点,已知AB=4,且OB=3OA.A、B对应的数分别是a、b,点P为数轴上的一动点,其对应的数为x.
(1)a= ,b= ,并在数轴上面标出A、B两点;
(2)若PA=2PB,求x的值;
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动,同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.请问在运动过程中,3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由若不变,请求其值.
【答案】(1)-1;3
(2)解:①当P点在A点左侧时,PA
②当P点位于A、B两点之间
解得
③当P点在B点右侧时
解得
故x的值为解得或.
(3)解:t秒后,A点的值为,P点的值为2t,B点的值为
所以3PB-PA的值为定值,不随着时间t的变化而改变.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;整式的加减运算;一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】(1)解: AB=4,且OB=3OA,A、B对应的数分别是a、b,
故答案为:
【分析】(1)由AB=4且OB=3OA可得OA=1,OB=3,根据点A、B的位置及数轴的特点可求出a、b;
(2)分三种情况: ①当P点在A点左侧时 ,不存在;②当P点位于A、B两点之间,③当P点在B点右侧时,根据PA=2PB分别列出方程求出x值即可;
(3) 求出t秒后,A点的值为,P点的值为2t,B点的值为 ,可得PB=3+3t-2t,PA=2t-(-1-t),然后求出3PB-PA的值,从而判断即可.
32.如图,P是线段AB上不同于点A,B的一点,AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发,在线段AB上向左运动(无论谁先到达A点,均停止运动),点C的运动速度为1cm/s,点D的运动速度为2cm/s.
(1)若AP=PB,
①当动点C,D运动了2s时,AC+PD= cm;
②当C,D两点间的距离为5cm时,则运动的时间为 s;
(2)当点C,D在运动时,总有PD=2AC,·
①求AP的长度;
②若在直线AB上存在一点Q,使AQ﹣BQ=PQ,求PQ的长度.
【答案】(1)12;4
(2)解:①设运动时间为,则,
,
,
当在运动时,总有,即总有,
的值与点的位置无关,
在点的运动过程中,点始终在线段上,此时满足,
,
又,
,
解得,
答:的长度为;
②由题意,分两种情况:
(Ⅰ)当点在线段上时,
,
点在点的右侧,
,,
代入得:,解得;
(Ⅱ)当点在的延长线上时,则,
代入得:;
综上,的长度为或.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-行程问题;线段的计算
【解析】【解答】解:(1)
解:①,
,
当动点运动了时,,
,
,
故答案为:12;
②设运动时间为,
点运动到点所需时间为,点运动到点所需时间为,
则,
由题意得:,
则,
当点重合时,,即,
解得,
所以当时,点一定在点的右侧,
则,即,
解得,
即当两点间的距离为时,运动的时间为,
故答案为:4.
【分析】(1)①由题意可求出,,则可求好处AC、PD的值,即可求出答案;②设运动时间为,则,可求出,求出t即可;
(2)①设运动时间为,则,当在运动时,总有,即总有,得出的值与点的位置无关,推出得出AP的值即可;②由题意,分两种情况:(Ⅰ)当点在线段上时,(Ⅱ)当点在的延长线上时,分别讨论即可得出PQ的值。
33.如图,已知A、B两点在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足,点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动.点Q以每秒3个单位长度的速度从点O向右运动(点P、点Q同时出发).
(1)分别求出点A、B在数轴上对应的数;
(2)经过几秒时,点P、点Q分别到原点O的距离相等?
(3)当点P运动到什么位置时,恰好使AP=2BQ?
【答案】(1)解:∵,且,,
∴,,
∴,,
∴点A、B在数轴上对应的数分别、.
(2)解:设经过x秒时,点P、点Q分别到原点O的距离相等,
当点P、Q在点O两侧时,
依题意得:,
解得:;
当点P与Q重合时,
依题意得:,
解得:,
∴经过秒或20秒时,点P、Q分别到原点O的距离相等.
(3)解:设经过y秒时,恰好使AP=2BQ.
当点Q在点B的左侧时,
依题意得:,
解得:,
∴,
当点Q在点B的右侧时,
依题意得:,
解得,
∴,
∴当点P运动到28或220位置时,恰好使AP=2BQ.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-行程问题;非负数之和为0
【解析】【分析】(1)根据非负数的性质可得点A、B在数轴上表示的数;
(2)分当点P、Q两侧和当点P、Q重合时,两种情况讨论即可;
(3)分当点Q在点B的左侧时,当点Q在点B的右侧时,两种情况讨论即可。
34.如图,点,是数轴上两点,点表示的数为,.动点,分别从,出发,点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.
(1)数轴上点表示的数是 .
(2)求数轴上点,表示的数(用含t的式子表示).
(3)若点和同时出发,t为何值时,这两点相遇?
(4)若点比点迟2秒钟出发,则点出发几秒时,点和点刚好相距5个单位长度?
【答案】(1)4
(2)解:根据题意得: ,
∴点表示的数为 点表示的数为;
(3)解:依题意得:,
解得:,
答:当时,这两点相遇;
(4)解:当点和相遇前,两点相距5个单位长度时,
,
解得:;
当点和相遇后,两点相距5个单位长度时,
,
解得:;
答:点出发或7秒时,点和点刚好相距5个单位长度.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解:(1)
解:∵点表示的数为,.
∴数轴上点表示的数是4;
【分析】根据AB=20,点A表示-16,可得出点B表示的数;
(2)根据两个点的运动方向和速度可得出答案;
(3)根据题意得出2t+t=20,解方程得出答案;
(4)分情况讨论:相遇前和相遇后。
35.如图,数轴上点A,C对应的数分别为a,c,且.a,c满足|a+4|+(c﹣1)2022=0,点B对应的数为﹣3.
(1)求数a,c.
(2)点A,B沿数轴同时出发向右匀速运动,点A速度为2个单位长度/秒,点B速度为l个单位长度/秒,设运动时间为t秒,运动过程中,当A,B两点到原点O的距离相等时,求t的值.
(3)在(2)的条件下,点B运动到点C后立即以原速返回,到达自己的出发点后停止运动,点A运动至点C后也以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点C运动,当点B停止运动时,点A随之停止运动,请直接写出在此运动过程中A,B两点同时到达的点在数轴上所表示的数.
【答案】(1)解:由题意得,
(2)解: 对应的数为-3, 对应的数为-4,
或
解得 或
当A,B两点到原点O的距离相等时, 或
(3)解:由(2)得,当 时,A、B两点同时到达的点是-2,
2.5秒时点A的对应数是1,B点对应的数是-0.5,
设经过t秒A、B相遇,由题意得,
此时点A、B两点同时到达的点是0,
再经过2秒时,点A到达点A,B返回在0,
设点A、B两点再过t秒相遇,由题意得,
此时A、B两点同时到达的点是 ,在此3秒时,A为0,B为-3,
A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数为:-2,0, .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;偶次幂的非负性;绝对值的非负性;一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据绝对值以及偶次幂的非负性可得a+4=0,c-1=0,求解可得a、c的值;
(2)根据点A、B对应的数可得AB=1,AO=4,BO=3,然后根据|AO|=|BO|求解即可;
(3)由(2)得:当t=1时,A、B两点同时到达的点是-2,求出2.5秒时点A、B对应的数,得到AB的值,设经过t秒A、B相遇,列出关于t的方程,求出t的值,可得此时点A、B两点同时到达的点是0,再经过2秒时,点A到达点A,B返回在0,此时AB=4,设点A、B两点再过t秒相遇,同理列出关于t的方程,求出t的值,得到此时A、B表示的数,据此解答.
五、去绝对值的分类讨论问题
36.已知 ,则 的值是
【答案】1或-3
【知识点】绝对值的非负性;实数的绝对值
【解析】【解答】解: ,
①a、b、c全是负数,
则 =-1-1-1=-3;
②a、b、c两正一负,
一定两个1与一个-1的和,
计算结果是1+1-1=1.
故答案为:1或-3.
【分析】分类讨论,根据 ,计算求解即可。
37.三个有理数a、b、c满足abc>0,则 的值为 .
【答案】3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的乘法
【解析】【解答】a、b、c为三个非零有理数,若 ,则a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数,
若a、b、c中有两个为负数,则原式
a、b、c三个都是正数,则原式
故答案为3或-1.
【分析】 由 可得a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数,然后利用绝对值的性质分别求解即可.
38.已知|a|=8,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b的值为( )
A.5或11 B.-5或-11 C.-5 D.-11
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法
【解析】【解答】解: |a|=8,|b|=3,
|a-b|=b-a,
或
或
故答案为:B
【分析】由|a|=8,|b|=3,可得 根据|a-b|=b-a可得从而确定 或 然后分别代入计算即可.
39.已知 , ,且 ,求 的值.
【答案】解:因为 , ,
所以 或-3, 或-5.
又因为 所以 或-3, ,
①当 , 时 .
②当 , 时 .
所以 的值为-11或1.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加减乘除混合运算
【解析】【分析】 由,,可得 或-3, 或-5,根据a>b可确定a=3,b=-5或a=-3,b=-5,然后分别计算即可.
40.已知abc≠0,且 的最大值为m,最小值为n,则m+n= .
【答案】0
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法;有理数的乘法
【解析】【解答】解:∵a,b,c都不等于0,
∴有以下情况:
①a,b,c都大于0,原式=1+1+1+1=4;
②a,b,c都小于0,原式=-1-1-1-1=-4;
③a,b,c,一负两正,不妨设a<0,b>0,c>0,
原式=-1+1+1-1=0;
④a,b,c,一正两负,不妨设a>0,b<0,c<0,
原式=1-1-1+1=0;
∴m=4,n=-4,
∴m+n=4-4=0.
故答案为:0.
【分析】由于a,b,c都不等于0,可分四种情况:①a,b,c都大于0,②a,b,c都小于0,③a,b,c,一负两正,④a,b,c,一正两负,根据绝对值的性质分别解答即可.
41.计算:| |+| |+| |+…+| |= .
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加减混合运算
【解析】【解答】解:| |+| |+| |+…+| |
=
=
= ,
故答案为: .
【分析】利用绝对值的非负性,先化简绝对值,再利用有理数的加减法法则进行计算.
42.已知|x|=2,|y|=1,且|x﹣y|=y﹣x,则x-y= .
【答案】-3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的减法
【解析】【解答】解:∵|x-y|=y-x,
∴y>x,
∵|x|=2,|y|=1,
∴x=-2,y=1或y=1,
当x=-2,y=1时,x-y=-2-1=-3;
当x=-2,y=-1时,x-y=-2+1=-1.
故答案为:-3或-1.
【分析】由|x-y|=y-x可得y>x,由|x|=2,|y|=1,可得x=-2,y=1或y=1,然后分别代入计算即可.
43.设a,b,c为不为零的实数,且 ,那么 ,则x的值为 .
【答案】3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法
【解析】【解答】解:∵a,b,c,为互不为0的实数,abc>0,
当a,b,c都为正数时,
;
当a,b,c中有两个为负数,一个为正数时,设a>0,b<0,c<0,
∴;
∴x的值为3或-1.
故答案为:3或-1.
【分析】利用已知条件:a,b,c,为互不为0的实数,abc>0,分情况讨论:当a,b,c都为正数时;当a,b,c中有两个为负数,一个为正数时,设a>0,b<0,c<0;利用绝对值的性质,分别进行化简,即可求出结果.
44.有理数a、b、c均不为0,且a+b+c=0,设x=,则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 .
【答案】4041或1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;代数式求值
【解析】【解答】解:∵a+b+c=0,
∴b+c= a,c+a= b,a+b= c,
当a、b、c有一个负数时,x=++= 1 1+1= 1,
有两个负数时,x=++=1+1 1=1,
x= 1时,x2021+2021x﹣2021=( 1)2021 2021×( 1)+2021= 1+2021+2021=4041,
x=1时,x2021+2021x﹣2021=12021 2021×1+2021=1 2021+2021=1.
故答案为:4041或1.
【分析】先利用绝对值的性质求出x的值,再分两种情况,分别将x的值代入x2021+2021x﹣2021计算即可。
45.若a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,则|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为
【答案】2
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解:∵a,b,c均为整数,且 ,
∴ , 或 , ,
∴a,b,c有两个数相等,
设 ,
则 ,
∴ 或 ,
∴ 或 ,
∴ ;
设 ,
同理可得: .
故答案为:2.
【分析】由已知条件可得|a-b|=0,|c-a|=1或|a-b|=1,|c-a|=0,进而推出a,b,c有两个数相等,然后分a=b、a=c进行计算.
六、绝对值有关的距离和最值问题
46.已知数轴上A、B两点表示的数分别是-2和5,点P是在数轴上运动.请解答下列问题:
(1)当点P到A、B两点的距离相等时,写出点P表示的数.
(2)当点P到A、B两点的距离之和为15时,写出点P表示的数.
(3)当点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒4个单位长度的速度向左运动,它们同时出发多长时间点P到A、B两点的距离相等?
【答案】(1)解:设点P表示的数是x,则x+2=5-x,
解得x=1.5
(2)解:设点P表示的数是 m,
当点P在点A左侧时,则-2-m+5-m=15,解得m=-6;
当点P在点B右侧时,则m-5+m+2=15,解得m=9;
故点P表示的数是-6或9
(3)解:设出发t秒时点P到A、B两点的距离相等,
则点P、A、B表示的数分别为: 、 、 .
当点P在点A右侧时,由于点P追上点A只需要2秒钟,
而点B追上点P需要2.5秒钟,所以不存在点P到A、B两点的距离相等的情况.
当点P在点A左侧时,有两种情况:
① 解得 .
② 解得 .
答:它们同时出发3秒或 秒时点P到A、B两点的距离相等.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的其他应用;两点间的距离
【解析】【分析】(1)设点P表示的数是x,可得PA=x=2,PB=5-x,根据PA=PB列出方程,求出x值即可;
(2)设点P表示的数是m, 分两种情况:①当点P在点A左侧时,②当点P在点B右侧时,根据PA+
PB=15分别列出方程并解之即可;
(3)设出发t秒时点P到A、B两点的距离相等, 可得点P、A、B表示的数分别为 、 、 .首先排除当点P在点A右侧不成立;当点P在点A左侧时,有两种情况:点AB重合或点P在AB两点的中间,由PA=PB分别列出方程并解答即可.
47.如图,数轴上点A对应的有理数为2,点B对应的有理数为-8,点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发,点F以每秒2个单位长度的速度从B出发,且E,F两点同时向数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,E,F两点对应的有理数分别是 , ,EF= ;
(2)用含t的式子表示:AE= , 当点F在点A左侧时,AF= ,当点F在点A右侧时,AF= ;
(3)当点F是线段AE的中点时,求t的值.
(4)是否存在t,使点E是线段BF的中点,如果存在,求t的值,如果存在,说明理由.
【答案】(1)4;-4;8
(2)t;10-.2t;2t-10
(3)解: 对应的数分别为 点F是线段AE的中点,
对应的数为
而F对应的数也为
解得:
当运动时间为 s时,点F是线段AE的中点.
(4)解:不存在,理由如下:
对应的数分别为 点E是线段BF的中点,
对应的数为
而 对应的数为
此时方程无解,
所以点E不能是线段BF的中点.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;线段的中点
【解析】【解答】解:(1)如图,
所以E对应的数为 F对应的数为
故答案为: ;
(2)解:如图,
所以
当点F在点A左侧时,
当点F在点A右侧时,
故答案为: ;
【分析】(1)找出t=2时E、F的位置,进而可得点E、F对应的数,然后根据两点间距离公式计算即可;
(2)用点E表示的数减去点A表示的数可得AE;然后分点F在点A左侧、右侧两种情况进行解答;
(3)根据中点坐标公式可得点F对应的数,据此求出t的值;
(4)根据中点坐标公式可得点E对应的数,结合点E对应的数为2+t,建立方程,求解即可.
48.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例:如图所示,点A、B在数轴上分别对应的数为a、b,则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|.
根据以上知识解题:
(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1,
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ;
②若该两点之间的距离为2,那么x值为 .
(2)|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ,若x为整数,此时x的取值是 ;
(3)已知|x+1|+|x﹣2|=7时,x的取值是 .
【答案】(1)|x+1|;﹣3或1
(2)3;﹣1≤x≤2
(3)﹣3或4
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;两点间的距离;绝对值的非负性
【解析】【解答】解:(1)①∵数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1,
A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|;
故答案为:|x+1|;
②依题意有|x+1|=2,
则x+1=﹣2或x+1=2,
解得:x=﹣3或x=1.
故x值为﹣3或1.
故答案为:﹣3或1.
(2)当x<-1时,|x+1|+|x﹣2|=﹣x-1-x+2=-2x+1>3,
当-1≤x≤2时,|x+1|+|x﹣2|=x+1-x+2=3,
当x>2时,|x+1|+|x﹣2|=x+1+x-2=2x-1>3,
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值为3,此时x的取值是﹣1≤x≤2;
故答案为:3;﹣1≤x≤2;
(3)当x<﹣1时,- x-1-x+2=7,
-2x=6,
x=-3,
当-1≤x≤2时,x+1-x+2=7,
得3=7不成立,
当x>2时,x+1+ x﹣2=7.
2 x =8,
解得x =4,
综上所述,x的取值是﹣3或4.
故答案为:﹣3或4.
【分析】(1)①直接根据数轴上两点间距离公式进行解答;
②依题意有|x+1|=2,求解即可;
(2)分x<-1;-1≤x≤2;x>2,利用绝对值的性质对其进行化简,进而可得最小值;
(3)分x<-1,-1≤x≤2,x>2,利用绝对值的性质对原方程进行化简,进而可得x的值.
49.绝对值拓展材料:|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|=|5﹣0|,即|5﹣0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离类似的,有:|5+3|=|5﹣(﹣3)|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|.
完成下列题目:
(1)A、B分别为数轴上两点,A点对应的数为﹣2,B点对应的数为4
①A、B两点之间的距离为 ;
②折叠数轴,使A点与B点重合,则表示﹣3的点与表示 的点重合;
③若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的2倍,则点P所表示的数是 ;
(2)若满足|x﹣2|+|x+3|=6时,则x的值是 .
【答案】(1)6;5;2或10
(2)2.5或-3.5
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;绝对值及有理数的绝对值;解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解:(1)①∵A点对应的数为﹣2,B点对应的数为4,
∴A、B两点之间的距离为|-2-4|=6;
②∵A、B两点之间的距离为6,
AB中点对应的数为(-2+4)÷2=1,
∵点A表示的数为-1,
∴1-(-3)+1=1+3+1=5
∴表示﹣3的点与表示的5点重合.
③设点P表示的数为x,
∵点P到A的距离是点P到B的距离的2倍
则|-2-x|=2|x-4|
∴2+x=2(x-4)或2+x=-2(x-4)
解之:x=10或x=2.
故答案为:6,5,2或10.
(2)∵|x﹣2|+|x+3|=6,
当x<-3时
∴2-x-x-3=6
解之:x=3.5;
当-2≤x≤-3时,
x-2-x-3≠6,此方程无解;
当x>2时,
x-2+x+3=6
解之:x=2.5.
故答案为:2.5或3.5.
【分析】(1)①利用数轴上两点之间的距离的计算方法,可求出A、B两点之间的距离;②利用折叠的性质,可知AB中点对应的数,再利用点A表示的数,可求出与表示﹣3的点重合的点表示的数;③设点P表示的数为x,根据点P到A的距离是点P到B的距离的2倍,可得到|-2-x|=2|x-4|,然后求出此方程的解.
(2)分情况讨论:当x<-3时;当-2≤x≤-3时;当x>2时;分别利用绝对值的性质,进行化简,可得答案.
50.数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值,例如:点A、B在数轴上对应的数分别是a、b,则点A、B两点间的距离表示为AB=|a﹣b|,
利用上述结论,回答以下四个问题:
(1)若点A在数轴上表示3,点B在数轴上表示1,那么AB= ;
(2)在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3,那么x= ;
(3)若数轴上表示a的点位于﹣4和3之间,那么|a+4|+|a﹣3|= ;
(4)对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是 .
【答案】(1)2
(2)﹣4或2
(3)7
(4)3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;两点间的距离;定义新运算
【解析】【解答】解:(1)点A在数轴上表示3,点B在数轴上表示1,那么AB=|3﹣1|=2,
故答案为:2;
(2)根据题意得,|x﹣(﹣1)|=3,解得x=﹣4或2.
故答案为:﹣4或2;
(3)如果数轴上表示数a的点位于﹣4和3之间,那么|a+4|+|a﹣3|=(a+4)﹣(a﹣3)=a+4﹣a+3=7.
故答案为:7;
(4)结合数轴得出:|x﹣3|+|x﹣6|表示数x到3和6两点的距离之和,
因此当x在3和6之间时,|x﹣3|+|x﹣6|有最小值,其值即为3和6两数所表示点的距离,
∵3和6两数所表示点的距离为3,
∴所求最小值为3.
故答案为:3.
【分析】(1)根据两点的距离公式计算即可;
(2)根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可;
(3)根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可;
(4)结合数轴得出 |x﹣3|+|x﹣6| 表示数x到3和6两点的距离之和, |x﹣3|+|x﹣6| 由最小值,则x一定在3和6之间,则最小值是3.初一上册——绝对值和数轴有关的综合题型
一、数和数轴的对应
1.把下面的直线补成条数轴,并在数轴上表示下列各数:﹣3,,0,,2.
2.把这些数用数轴上的点表示出来;4,,,,0,-1
请将这些数按从小到大的顺序排列(用“<”连接):
3.如图为 四点在数轴上的位置图,其中O为原点,且 , ,若点C所表示的数为x,则点B所表示的数为( )
A. B. C. D.
4.若 、 为有理数, , ,且 ,那么 , , , 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5.有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论,错误的是( )
A. B.
C. D.
6.如图,在数轴上,若点表示的数分别是-2和10,点M到距离相等,则M表示的数为( )
A.10 B.8 C.6 D.4
7.有理数 在数轴上的位置如图所示,那么下列式子中成立的是( )
A. B. C. D.
8.如图,有理数,在数轴上表示的位置如图所示,则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图,数轴上有A、B、C三点,C为AB的中点,点B表示的数为2,点C表示的数为 ,则点A表示的数为 .
10.如图所示在数轴上的点A对应的数为a,B对应的数为b,则a,b与0的大小关系为 < 0 < .
11.在数轴上从左到右依次有三个点A、B、C, , ,若点B为原点,求A、B、C三个点所表示的三个数之和.
12.如图,数轴上点A,B,M,N表示的数分别为-1,5,m,n,且AM=AB,点N是线段BM的中点,求m,n的值.
13.数轴上,已知AB=a,AC=b.令AN=2b-a,
(1)尺规作图,在点A的左边找出点N,(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若a=5,b=4,点A在数轴上所代表的数为﹣8,那么点N在数轴上所代表的数为多少.
二、倒数相反数有关概念性的题型
14.有理数的相反数是( )
A. B. C. D.
15.已知a,b互为倒数,x,y互为相反数.
(1)求式子2x+3ab+2y的值;
(2)若2b=4,by=8,求式子72ay﹣xb的值.
16.已知a、b互为倒数,c能够使得 有最小值,d<0,且 ,求 的值.
17.已知a、b互为倒数,c、d互为相反数,e的绝对值等于2,求﹣ab+3e﹣的值.
三、绝对值结合数轴
18.如图,数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、C,且|a|=|b|,AB=BC,则下列结论中①ab<0;②a=-b:③a+c>0;④3a+c=0中,正确的有( )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
19.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,
求|a+b|﹣3|b+c|+2|a﹣b|﹣|c﹣b|的值.
20.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简: .
21.已知有理数 在数轴上如图所示,化简代数式 .
22.已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|a + b| - |a - b| + |a + c|的结果为( )
A.-a-c B.-a-b-c C.-a-2b-c D.a-2b+c
23.已知 ,则 的相反数是( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
24.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,若m=|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|,则m= .
25.在数轴上,点M、N分别表示数m,n.则点M、N之间的距离为 .已知点A,B,C,D在数轴上分别表示的数为a,b,c,d.且 ,则线段 的长度为( )
A.4.5 B.1.5 C.6.5或1.5 D.4.5或1.5
26.有理数 , , 在数轴上所表示的点的位置如图所示,则化简 .
27.一只蚂蚁从数轴上点A出发向左爬了5个单位长度到了表示-2的点处,则点A所表示的数是 .
28.有理数 、 在数轴上的位置如图所示,下列说法:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ;其中正确的序号有 .
29.有理数a、b在数轴上的表示如图所示,化简:|a﹣b|﹣(﹣3a+b﹣1)+2.
30.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且|a|=|b|,化简|c-a|+|c-b|+|a+b|.
四、与数轴相关的动点问题
31.数轴上两点A、B,A在B左边,原点O是线段AB上的一点,已知AB=4,且OB=3OA.A、B对应的数分别是a、b,点P为数轴上的一动点,其对应的数为x.
(1)a= ,b= ,并在数轴上面标出A、B两点;
(2)若PA=2PB,求x的值;
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动,同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒3个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.请问在运动过程中,3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由若不变,请求其值.
32.如图,P是线段AB上不同于点A,B的一点,AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发,在线段AB上向左运动(无论谁先到达A点,均停止运动),点C的运动速度为1cm/s,点D的运动速度为2cm/s.
(1)若AP=PB,
①当动点C,D运动了2s时,AC+PD= cm;
②当C,D两点间的距离为5cm时,则运动的时间为 s;
(2)当点C,D在运动时,总有PD=2AC,·
①求AP的长度;
②若在直线AB上存在一点Q,使AQ﹣BQ=PQ,求PQ的长度.
33.如图,已知A、B两点在数轴上,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a、b满足,点P以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动.点Q以每秒3个单位长度的速度从点O向右运动(点P、点Q同时出发).
(1)分别求出点A、B在数轴上对应的数;
(2)经过几秒时,点P、点Q分别到原点O的距离相等?
(3)当点P运动到什么位置时,恰好使AP=2BQ?
34.如图,点,是数轴上两点,点表示的数为,.动点,分别从,出发,点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.
(1)数轴上点表示的数是 .
(2)求数轴上点,表示的数(用含t的式子表示).
(3)若点和同时出发,t为何值时,这两点相遇?
(4)若点比点迟2秒钟出发,则点出发几秒时,点和点刚好相距5个单位长度?
35.如图,数轴上点A,C对应的数分别为a,c,且.a,c满足|a+4|+(c﹣1)2022=0,点B对应的数为﹣3.
(1)求数a,c.
(2)点A,B沿数轴同时出发向右匀速运动,点A速度为2个单位长度/秒,点B速度为l个单位长度/秒,设运动时间为t秒,运动过程中,当A,B两点到原点O的距离相等时,求t的值.
(3)在(2)的条件下,点B运动到点C后立即以原速返回,到达自己的出发点后停止运动,点A运动至点C后也以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点C运动,当点B停止运动时,点A随之停止运动,请直接写出在此运动过程中A,B两点同时到达的点在数轴上所表示的数.
五、去绝对值的分类讨论问题
36.已知 ,则 的值是
37.三个有理数a、b、c满足abc>0,则 的值为 .
38.已知|a|=8,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b的值为( )
A.5或11 B.-5或-11 C.-5 D.-11
39.已知 , ,且 ,求 的值.
40.已知abc≠0,且 的最大值为m,最小值为n,则m+n= .
41.计算:| |+| |+| |+…+| |= .
42.已知|x|=2,|y|=1,且|x﹣y|=y﹣x,则x-y= .
43.设a,b,c为不为零的实数,且 ,那么 ,则x的值为 .
44.有理数a、b、c均不为0,且a+b+c=0,设x=,则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 .
45.若a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,则|c-a|+|a-b|+|b-c|的值为
六、绝对值有关的距离和最值问题
46.已知数轴上A、B两点表示的数分别是-2和5,点P是在数轴上运动.请解答下列问题:
(1)当点P到A、B两点的距离相等时,写出点P表示的数.
(2)当点P到A、B两点的距离之和为15时,写出点P表示的数.
(3)当点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,点B以每秒4个单位长度的速度向左运动,它们同时出发多长时间点P到A、B两点的距离相等?
47.如图,数轴上点A对应的有理数为2,点B对应的有理数为-8,点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发,点F以每秒2个单位长度的速度从B出发,且E,F两点同时向数轴正方向运动,设运动时间为t秒.
(1)当t=2时,E,F两点对应的有理数分别是 , ,EF= ;
(2)用含t的式子表示:AE= , 当点F在点A左侧时,AF= ,当点F在点A右侧时,AF= ;
(3)当点F是线段AE的中点时,求t的值.
(4)是否存在t,使点E是线段BF的中点,如果存在,求t的值,如果存在,说明理由.
48.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例:如图所示,点A、B在数轴上分别对应的数为a、b,则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a﹣b|.
根据以上知识解题:
(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1,
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ;
②若该两点之间的距离为2,那么x值为 .
(2)|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ,若x为整数,此时x的取值是 ;
(3)已知|x+1|+|x﹣2|=7时,x的取值是 .
49.绝对值拓展材料:|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如:|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|=|5﹣0|,即|5﹣0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离类似的,有:|5+3|=|5﹣(﹣3)|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|.
完成下列题目:
(1)A、B分别为数轴上两点,A点对应的数为﹣2,B点对应的数为4
①A、B两点之间的距离为 ;
②折叠数轴,使A点与B点重合,则表示﹣3的点与表示 的点重合;
③若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的2倍,则点P所表示的数是 ;
(2)若满足|x﹣2|+|x+3|=6时,则x的值是 .
50.数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值,例如:点A、B在数轴上对应的数分别是a、b,则点A、B两点间的距离表示为AB=|a﹣b|,
利用上述结论,回答以下四个问题:
(1)若点A在数轴上表示3,点B在数轴上表示1,那么AB= ;
(2)在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3,那么x= ;
(3)若数轴上表示a的点位于﹣4和3之间,那么|a+4|+|a﹣3|= ;
(4)对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是 .
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同课章节目录
第1章 有理数
1.1 具有相反意义的量
1.2 数轴、相反数与绝对值
1.3 有理数大小的比较
1.4 有理数的加法和减法
1.5 有理数的乘法和除法
1.6 有理数的乘方
1.7 有理数的混合运算
第2章 代数式
2.1 用字母表示数
2.2 列代数式
2.3 代数式的值
2.4 整式
2.5 整式的加法和减法
第3章 一元一次方程
3.1 建立一元一次方程模型
3.2 等式的性质
3.3 一元一次方程的解法
3.4 一元一次方程模型的应用
第4章 图形的认识
4.1 几何图形
4.2 线段、射线、直线
4.3 角
第5章 数据的收集与统计
5.1 数据的收集与抽样
5.2 统计图
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