(共30张PPT)
垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O
上点C，D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交
⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵ OA=OA′
∴ △OAA′是等腰三角形
又∵AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合， ， 分别与 ， 重合.
因此，AM=A′M， ， 即直径CD平分弦AA′，并且平分 ，
.
这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
举例证明其中一种组合方法
已知:_________;求证:_________.
①CD是直径
②CD⊥AB，垂足为E
③AE=BE
④AC=BC ⑤AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
① ③
② ④ ⑤
由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
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⌒
证明：连接AO,BO,则AO=BO,
又∵AE=BE，
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
进一步，我们还可以得到推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
例1.赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
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⌒
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
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⌒
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m
所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.52+(R-7.23)2
解得 R≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m
如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？
解：过点作于点，并延长交于点，如图，
则由题意得
又，
，
在Rt中，
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
E
F
解：当弦AB和CD在圆心同侧时，
过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴CE＝5cm，AF＝12cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OE-OF=12 5＝7cm.
例2.☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
E
F
解：当弦AB和CD在圆心异侧时，
过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AF＝12cm，CE＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
例3.如图，AB、CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8、CD=6,MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值.
解:连接OB，0C，BC，作CH⊥AB于H.
易得点A与点B关于直线MN对称,四边形HEFC是矩形.
根据垂径定理，得BE=AB=4，CF=CD=3
∴OE=3，OF= =4
∴CH=EF=OE+0F=3+4=7
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7
在Rt△BCH中，由勾股定理得到BC=7
则PA+PC的最小值为7，此时P为BC与MN的交点.
1．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为cm，水面宽为cm，则水的最大深度为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
C
2．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
B
3．如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
B
4．如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
B
5．如图，AC是的直径，弦于E，连接BC，过点O作于F，若，，则OE的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
A
6.如图，是的直径，弦于点，，，则的直径为______．
7.如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF=_____．
8.如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是______．
9.如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），，垂足分别为C，D，则CD的长为________．
10.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
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证明：∵ AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC
∴ ∠A=∠ODA=∠OEA=90°
∴ 四边形ADOE是矩形
∵ OD⊥AB，OE⊥AC
∴ AE=CE=AC，AD=BD=AB
又 AB=AC
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE是正方形.
11.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．
（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
解：（1）于点且
，
设半径为，则
在Rt中有
解得：
即半圆的半径为5
（2）为半圆的直径
则
在Rt中有
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
