7.4 综合与实践-排队问题
一、教学目标
1. 学会运用不等式的相关知识解决实际问题.
2.正确地进行分析，建立相应的数学模型，从而培养推理能力.
3.初步学会在排队问题中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用不等式的相关知识和方法解决问题，增强应用意识，提高实践能力.
4.培养探索精神以及互相协作的态度，体验数学的应用价值，培养用数学眼光看世界的意识.
二、教学重难点
重点：利用不等关系分析排队问题的数量，表示这些数量，构造不等式模型，设计解决方案.
难点：对实际问题背景的理解，如何将实际问题数学化．
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【大家谈谈】 在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等. 有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费。如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题，下面我们一块来研究最简单的排队问题. 问题1：某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务 ”的方式服务，该窗口每2min服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有6名顾客在等待，在窗口开始工作1min后，又有一位"新顾客”到达，且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达. 学生交流讨论. 选择学生感兴趣的问题导入新课，可以激发学习热情，又能增强学生的应用意识.
环节二 探究新知 【一起探究】 教师活动：引导学生认真读题，分析数据. 思考问题： 设e1，e2，…， e6 表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，c1，c2，…， cn 表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客 ”，请将下面表格补充完整(这里假设e1，e2，…， e6 的到达时间为0). 解： 猜想并追问：每一位顾客的服务开始时间都等于其到达时间吗？ 分析：c5的到达时间是21min，而c4的服务结束时间是20分钟，故c5的服务开始时间是21min；同理可得c6的服务开始时间是26min. (2)下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待的时间，试将该表格补充完整. 分析：等待时间=服务开始时间到达时间 解： (3)根据上述两个表格, 能否知道在“新顾客”中 , 哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队的？求出他的到达时间. 追问：“不需要排队”是什么意思？ 分析：不需要排队的意思是等待时间为0，由表格中可以得到表格中新顾客c5、c6的等待时间为0，又因为要求是第一位到达，所以c5是第一位到达而不需要排队的，到达时间为21min. (4)在第一位不需要排队的顾客到达之前, 该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？ 解：由表格可知，在c5之前一共服务了6+4=10(位)顾客，共花费了10×2=20(min). 平均等待现象是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间是多少？ 解：(0+2+4+6+8+10+11+8+5+2)÷10=56÷10=5.6(min) 教师活动：在上述问题中，如果问题的条件变复杂(例如，当窗口开始工作时已经在等待的顾客非常多），使用列表方法就很不方便，你能否用代数式表示出上面的数量，总结上面表格中的数量关系，并根据这个关系来解决问题. 问题2：在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”cn离去时，排队现象就此消失了，即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”. 用关于n的代数式来表示，在第一位不需要排队的“新顾客”cn+1到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？ 解：已经服务了(10+n)位；为这些顾客服务共花费2(10+n)min. 用关于n的代数式表示cn+1的到达时间. 分析：开始工作1min后，又有一位"新顾客”到达，且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达. 解： cn+1的到达时间为(1+5n)min. (3)根据(1)和(2)得到的代数式以及它们的数量关系，求n+1的值. 解：在cn+1到达服务机构之前，该窗口为顾客服务所花费的时间小于等于cn+1的到达时间. 即 2(10+n)≤1+5n 解得：n≥ ，n+1=7+1=8. 【归纳】 应用不等式解决排队问题的一般过程： 选出几位学生代表，给出答案，出现不同的结果，从而引发学生思考. 学生根据问题1的解决过程类比思考、前后桌4人一组交流讨论思路和解 一连串的问题引发学生阵阵思考，同时培养学生良好的思维习惯和合作交流意识. 让学生自己交流讨论，既可渗透类比思想，又能经历从具体到抽象的思维过程.学会举一反三，巩固已学知识.
环节三 应用新知 【典型例题】 1：2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为________cm. 解析：设长为8xcm，则高为11xcm. 由题意，得19x+20≤115，解得x≤5，故行李箱的高的最大值为：11x=55 通过该例题的讲解，强化将实际问题数学化的、构造不等式模型的能力，同时巩固不等式的相关知识.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【做一做】 练习1 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题数为________． 解：小华要答对x道. 10x5(20x)＞120 解得：x＞ ∵x为正整数，∴x的最小值是15. 即小华至少要答对的题的题数为15. 练习2 把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，求这些书本数和人数. 解：设有x名学生，那么共有图书(3x+8)本，则 (3x+8)5(x1)≥0 (3x+8)5(x1)＜3 解得5＜x≤6.5，∴x=6， (3x+8)=26 答：这些书共有26本，一共有6名同学. 自主完成练习 学生通过练习，进一步提高分析问题和解决问题的能力.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 让学生通过概括整理，进一步体会模型化思想，帮助学生学会总结、学会表达、学会学习.
环节六 布置作业 教科书第42页A组复习题第5题. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共20张PPT)
7.3 综合与实践
排队问题
学习目标
1.学会运用不等式的相关知识解决实际问题.
2.正确地进行分析，建立相应的数学模型，从而培养推理能力.
3.初步学会在排队问题中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用不等式的相关知识和方法解决问题，增强应用意识，提高实践能力.
4.培养探索精神以及互相协作的态度，体验数学的应用价值，培养用数学眼光看世界的意识.
综合与实践
-排队问题
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等.
大家谈谈
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
大家谈谈
有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费。如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题，下面我们一块来研究最简单的排队问题.
问题1：某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务 ”的方式服务，该窗口每2min服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有6名顾客在等待，在窗口开始工作1min后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达。
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 c1 c2 c3 c4 c5 c6 …
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 …
服务开始时间/min 0 2 4 6 …
服务结束时间/min 2 4 6 …
一起探究
(1)设e1，e2，…， e6 表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客， c1，c2，…， cn 表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完整(这里假设e1，e2，…， e6 的到达时间为0).
8
每2min服务一名顾客
8
10
10
12
12
14
？
第一位新顾客到达以后，每5min都会有一位“新顾客”到达.
6
14
16
11
16
21
26
16
18
18
20
每一位顾客的服务开始时间都等于其到达时间吗？
21
23
26
28
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 …
服务开始时间/min 0 2 4 6 …
8
10
12
6
14
11
16
21
26
16
18
21
26
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一起探究
(2)下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待的时间，试将该表格补充完整.
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 c1 c2 c3 c4 c5 c6 …
等待时间/min 0 2 4 6 8 8 5 …
10
11
2
0
0
等待时间 = 服务开始时间 到达时间
等待时间/min 0 2 4 6 8 8 5 …
10
11
2
0
0
(3)根据上述两个表格, 能否知道在“新顾客”中 , 哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队的？求出他的到达时间.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
一起探究
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 c1 c2 c3 c4 c5 c6 …
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 …
服务开始时间/min 0 2 4 6 …
服务结束时间/min 2 4 6 …
8
8
10
10
12
12
14
6
14
16
11
16
21
26
16
18
18
20
21
23
26
28
等待时间为0
答： c5是第一位到达而不需要排队的，到达时间为21min.
(4)在第一位不需要排队的顾客到达之前, 该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
一起探究
等待时间/min 0 2 4 6 8 8 5 …
10
11
2
0
0
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 c1 c2 c3 c4 c5 c6 …
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 …
服务开始时间/min 0 2 4 6 …
服务结束时间/min 2 4 6 …
8
8
10
10
12
12
14
6
14
16
11
16
21
26
16
18
18
20
21
23
26
28
解：已经服务了6+4=10(位)；
共花费10×2=20(min).
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
一起探究
等待时间/min 0 2 4 6 8 8 5 …
10
11
2
0
0
顾客 e1 e2 e3 e4 e5 e6 c1 c2 c3 c4 c5 c6 …
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 …
服务开始时间/min 0 2 4 6 …
服务结束时间/min 2 4 6 …
8
8
10
10
12
12
14
6
14
16
11
16
21
26
16
18
18
20
21
23
26
28
解：(0+2+4+6+8+10+11+8+5+2)÷10=56÷10=5.6(min)
(5)平均等待现象是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象消失之前，所有顾客的平均等待时间是多少？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一起探究
在上述问题中，如果问题的条件变复杂(例如，当窗口开始工作时已经在等待的顾客非常多），使用列表方法就很不方便，你能否用代数式表示出上面的数量，总结上面表格中的数量关系，并根据这个关系来解决问题.
问题2：在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，
如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”cn
离去时，排队现象就此消失了，即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
试着做做
问题2：在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，
如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”cn
离去时，排队现象就此消失了，即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”.
(1)用关于n的代数式来表示，在第一位不需要排队的“新顾客”cn+1到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？
解：已经服务了(10+n)位；
为这些顾客服务共花费2(10+n)min.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
试着做做
问题2：在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，
如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”cn
离去时，排队现象就此消失了，即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”.
(2)用关于n的代数式表示cn+1的到达时间.
解： cn+1的到达时间为(1+5n)min.
分析：开始工作1min后，又有一位"新顾客”到达，且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
试着做做
问题2：在问题1的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，
如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”cn
离去时，排队现象就此消失了，即cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”.
(3)根据(1)和(2)得到的代数式以及它们的数量关系，求n+1的值.
分析：在cn+1到达服务机构之前，该窗口为顾客服务所花费的时间小于等于cn+1的到达时间.
解：2(10+n)≤1+5n
解得n≥ ，n+1=7+1=8.
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
归 纳
应用不等式解决排队问题的一般过程：
排队问题
数学化
列不等式
数学问题
(不等式模型)
解不等式
检验
实际问题的
解答
典型例题
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
1.2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为________cm.
解析：
设长为8xcm，则高为11xcm.
由题意，得19x+20≤115，
解得x≤5，
故行李箱的高的最大值为：11x=55
55
1. 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题数为________．
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
解：
设小华要答对x道.
10x 5(20 x)＞120
10x 100+5x＞120
15x＞220
x＞
∵x为正整数，
∴x的最小值是15.
即小华至少要答对的题的题数为15.
15
2.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，求这些书本数和人数.
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
解：
设有x名学生，那么共有图书
(3x+8)本，则
(3x+8) 5(x 1)≥0
(3x+8) 5(x 1)＜3
解得5＜x≤6.5，
∴x 6， (3x+8)=26
答：这些书共有26本，一共有6名同学.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
解决方法
综合与实践
-
排队问题
一般步骤
列表法和列代数式法
布置作业
教科书第42页A组复习题
第5题.
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
