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班级 姓名 学号 分数
第十一章 三角形（B卷·能力提升）
（时间：90分钟，满分：120 分）
选择题（本题共13小题，每小题3分，共39分。）
1.下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3.如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
4.下列命题中真命题是（ ）
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
5.△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=（ ）
A．5° B．10° C．12° D．20°
6.设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为（ ）
A．2
7.（2022·海南海口·七年级期末）如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
8..（2022·河南洛阳·七年级期中）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
9.等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（ ）．
A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确
10.一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
11.（2022·广东深圳·七年级期末）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12.如下图，的面积为10，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13.如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
14.（2022·山东菏泽·八年级期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是______ ．
15.（2022·北京通州·八年级期中）如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则______．
16．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，小王在玩拼图游戏时，将等边三角形，正方形，正五边形按图示的位置摆放，他发现若测得∠2＝24°，∠3＝28°，那么∠1的度数就可以不用测量了，则∠1等于 _____．
17.一个三角形的三个内角的度数的比是1:2:3，这个三角形是________三角形；
18.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．
19.在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为_________．
20.中，，于，，则______．
21.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．
22.如图，在中，，平分，平分，平分，平分，则的度数是_______．
23.如图，已知，那么的度数是
解答题（本题共6小题，共51分。）
24.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD．
25．（8分）在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
26.（8分）如图，已知，分别是的高和角平分线，，．
(1)求；
(2)若，求的长．
27.（9分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
28.（2021·河南商丘·八年级期末）（10分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．
(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
29.（2022·陕西咸阳·八年级期末）（10分）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
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班级 姓名 学号 分数
第十一章 三角形（B卷·能力提升）
（时间：90分钟，满分：120 分）
选择题（本题共13小题，每小题3分，共39分。）
1.下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，根据题中各个选项所给的图形可知只有D选项符合，
故选：D．
2.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】
解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故选择：A.
3.如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【解析】
解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．
4.下列命题中真命题是（ ）
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【解析】
解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意；
B、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
5.△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=（ ）
A．5° B．10° C．12° D．20°
【答案】B
【解析】
∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
6.设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为（ ）
A．2【答案】D
【解析】
解：根据三角形三边关系可得：
，
即，
∴ ，
故选：D．
7.（2022·海南海口·七年级期末）如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【解析】
∵ABCDE为正五边形
∴∠C=∠ABC==108°
∵FB⊥AB
∴∠FBC=108°-90°=18°
在△FBC中，∠BFC=180°-108°-18°=54°
故选：B
8..（2022·河南洛阳·七年级期中）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
【答案】A
【解析】
解：∵CE∥DF，
∴
∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
，
故选A．
9.等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（ ）．
A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确
【答案】B
【解析】
解：设等腰三角形腰长为x，
由题意得：或，
解得或8，
当时，8，8，17无法构成三角形，
∴，
故选：B．
10.一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【答案】A
【解析】
解：设新多边形的边数为n，
则（n-2） 180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
11.（2022·广东深圳·七年级期末）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：∵∠BCA=40°，∠ABC=60°
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴＝130°，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
12.如下图，的面积为10，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
解：∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
13.如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】
设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
14.（2022·山东菏泽·八年级期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是______ ．
【答案】30°
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=1800°，
解得：n=12，
360°÷12=30°．
故答案为：30°．
15.（2022·北京通州·八年级期中）如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则______．
【答案】310°
【解析】
解：连接AC，
∵∠ABC=130°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，
∴．
故答案为：．
16．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，小王在玩拼图游戏时，将等边三角形，正方形，正五边形按图示的位置摆放，他发现若测得∠2＝24°，∠3＝28°，那么∠1的度数就可以不用测量了，则∠1等于 _____．
【答案】50°
【解析】
解：等边三角形的一个内角的度数是60°，正方形的一个内角度数是90°，
正五边形的一个内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠1＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠3﹣∠2＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣28°﹣24°＝50°．
故答案是：50°．
17.一个三角形的三个内角的度数的比是1:2:3，这个三角形是________三角形；
【答案】直角
【解析】
解：，
因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．
18.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．
【答案】10
【解析】
解：BD是的中线，即点D是线段AC的中点，
，
，的周长为12，
，即，
解得：，
，
则的周长是．
故答案为：10．
19.在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为_________．
【答案】2
【解析】
解：如图，连接，，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中线，是的中线，
∴，，
∴；
同理可得；；
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：2
20.中，，于，，则______．
【答案】或
【解析】
解：分两种情况讨论：
当是锐角三角形时，如图，
于，，
；
当是钝角三角形时，如图，
于，，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
21.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．
【答案】
【解析】
解：设三角形三边长为 且由于得到
为整数，
c 为：11，12，13，14，
①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10
6；14，9，7；
②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9
8；
③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8；
④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个．
故答案为：12．
【点睛】
本题利用了三角形中三边的关系求解，注意不要漏掉哪一种情况．
22.如图，在中，，平分，平分，平分，平分，则的度数是_______．
【答案】110°
【解析】
解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：110°
【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，即“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
23.如图，已知，那么的度数是
【答案】320°
【解析】
解：如图所示，
∵ ，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴．
解答题（本题共6小题，共51分。）
24.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点睛】
本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
25．（8分）在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
【答案】12
【解析】
解：如图，
∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，
若AB＞BC，则AB-BC=8，
又∵2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=12，BC=4，
12、12、4三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC-AB=8，
又2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=，BC=，
、、三边不能够组成三角形；
∴腰长AB为12．
26.（8分）如图，已知，分别是的高和角平分线，，．
(1)求；
(2)若，求的长．
【答案】(1)5°；
(2)4.8cm；
【解析】
(1)
解：∵平分，，
∴，
∵⊥，
∴，
∴，
∴；
(2)
解：∵，，
又∵，
∴，
∴cm；
27.（9分）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【答案】∠AEC=75°、∠DAE=15°
【解析】
∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，∠ABC＝42°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，
∵∠EAC＋∠AEC＋∠C＝180°
∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝75°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝15°．
28.（2021·河南商丘·八年级期末）（10分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．
(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
【答案】(1)①30°；②30°
(2)嘉嘉说得对，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)①根据角平分线的定义及三角形外角的性质，即可解答；②同①解答即可；
(2) 根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可得∠E=∠A，据此即可判定．
(1)
解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=50°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；
②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=80°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；
故答案为：①30°；②30°；
(2)
解：嘉嘉说得对．
理由如下：
∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD
∵∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC)
又∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A
∴∠E的大小与∠B的度数无关．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，结合题意和图形准确找到相关角之间的关系是解决本题的关键．
29.（2022·陕西咸阳·八年级期末）（10分）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
【答案】(1)110
(2)27°
【解析】
【分析】
（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°-∠C=180°-60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B=180°-∠AOB=180°-70°=110°，∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C=180°-60°=120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，∴2∠1+2∠3=120°，∴∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE-∠BED=6°②，联立①②得，解得：，∴∠BED=27°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
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