第二章 直线和圆的方程 章末检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为( )
A．0 B． C． D．不存在
2、若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m＝( )
A． B．－
C．－2 D．2
3、过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A．x－3y＋4＝0 B．x－y＋2＝0
C．x－3y＋2＝0 D．x－y＝0
4、“m＝2”是“直线2x＋my＋1＝0与直线mx＋2y－1＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
5、已知点P(1,2)，则当点P到直线2ax＋y－4＝0的距离最大时，a＝( )
A．1 B．－ C． D．
6、已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A．1 B．
C．－ D．－3
7、已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．6
8、点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为( )
A．2 B．
C．2＋1 D．＋1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、下列说法正确的有( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)
C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3
10、已知直线l经过点(3,4)，且点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( )
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－3y＋6＝0
11、已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
12、已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是( )
A．直线l与圆M一定相交
B．若k＝0，则直线l与圆M相切
C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________．
14、已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则__________．
15、已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．
16、过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为________；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
18、已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
19、已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
20、已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
21、已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0．
(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
22、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．第二章 直线和圆的方程 章末检测（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为( C )
A．0 B． C． D．不存在
2、若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m＝( A )
A． B．－
C．－2 D．2
3、过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为( A )
A．x－3y＋4＝0 B．x－y＋2＝0
C．x－3y＋2＝0 D．x－y＝0
4、“m＝2”是“直线2x＋my＋1＝0与直线mx＋2y－1＝0平行”的( D )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
5、已知点P(1,2)，则当点P到直线2ax＋y－4＝0的距离最大时，a＝( B )
A．1 B．－ C． D．
6、已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( C )
A．1 B．
C．－ D．－3
7、已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为( B )
A．2 B．4
C．8 D．6
8、点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为( D )
A．2 B．
C．2＋1 D．＋1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、下列说法正确的有( ABC )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)
C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3
10、已知直线l经过点(3,4)，且点A(－2,2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( AB )
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－3y＋6＝0
11、已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( ABC )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
12、已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是( BCD )
A．直线l与圆M一定相交
B．若k＝0，则直线l与圆M相切
C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长
D．圆心M到直线l的距离的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0________．
14、已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则_____m＝±_____．
15、已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是___[1,5]_____．
16、过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为____x＋3y－4＝0____；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___(1，－1)_____．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0．
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
18、已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
19、已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)由题意可得圆心为C(2,3)，半径为2，直线l与圆C相切，
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
∴＝2，解得k＝－，
∴直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0．
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心C(2,3)到直线l的距离为＝，
∴弦长为2＝2．
20、已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①
又直径|CD|＝4，
所以|PA|＝2．
所以(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得或
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
21、已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0．
(1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)直线方程可化为(2x＋y＋4)－m(x－2y－3)＝0，令解得故直线l恒过定点P(－1，－2)，
由点Q(3,4)到直线的距离最大，
可知点Q与定点P的连线的距离就是所求最大值，
即＝2为最大值．
∵kPQ＝＝，
∴(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，可得－＝－，解得m＝．
(2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，
∵直线l恒过定点P(－1，－2)，∴直线l的方程可设为y＋2＝k(x＋1)，k＜0，则A，B(0，k－2)，
S△AOB＝|k－2|＝(2－k)＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即k＝－2时取等号，故△AOB面积的最小值为4．
此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0．
22、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)．
由题意，得·＝－，
化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)．
则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，
直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．
令x＝3，得yM＝，yN＝．
于是△PMN的面积为S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝．
又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，
点P到直线AB的距离d＝．
于是△PAB的面积为S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|．
当S△PAB＝S△PMN时，得|x0＋y0|＝．
又|x0＋y0|≠0，
所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝．
因为x＋3y＝4，所以y0＝±．
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为或．
