第三章 函数的概念与性质 章末检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、下列图象中不能表示函数的图象的是( D )
2、(2022·广东三模)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝( C )
A．－4x－ B．4x－
C．4x－1 D．4x＋1
3、(2022·长沙模拟)已知函数f＝2x2－3x，则f(2)＝( A )
A．－1 B．1
C．2 D．3
4、对于任意的实数x，已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为( C )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5、设f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( B )
A．f(－π)B．f(－2)C．f(－π)D．f(3)6、(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
7、(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( B )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
8、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为( D )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( ABD )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
10、下列各组函数是同一函数的为( AC )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
11、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( BD )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
12、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足( ABD )
A.f(0)＝0 B.y＝f(x)是奇函数
C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2) D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于____－3____
14、已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为____(0，1)____
15、f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为___2_____．
16、定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解： (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线
x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
18、已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
解：(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
19、设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，得
即－4∴所求m的取值范围是(－4,0]．
(2)法一：要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
即使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0．
综上所述，m的取值范围是．
20、已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
(1)证明 当a＝－2时，f(x)＝.
设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.
(2)解 设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].
21、定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
解：(1)得，则，
而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.第三章 函数的概念与性质 章末检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、下列图象中不能表示函数的图象的是( )
2、(2022·广东三模)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝( )
A．－4x－ B．4x－
C．4x－1 D．4x＋1
3、(2022·长沙模拟)已知函数f＝2x2－3x，则f(2)＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
4、对于任意的实数x，已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5、设f(x)的定义域为R，图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)B．f(－2)C．f(－π)D．f(3)6、(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
7、(2022·青岛模拟)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
8、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
10、下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝ D.f(x)＝，g(x)＝x
11、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
12、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足( )
A.f(0)＝0 B.y＝f(x)是奇函数
C.f(x)在[1，2]上有最大值f(2) D.f(x－1)＞0的解集为{x|x＜1}
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________
14、已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为________
15、f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________．
16、定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
18、已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
19、设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
20、已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
21、定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
