第一、二章综合检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝( )
A． B．5 C．6 D．
2、(2022·亳州调研)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝－1
C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝
3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
4、已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
5、如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)，＝(0，2，0)，设二面角C-AB-O的平面角为θ，则cos θ＝( )
A． B．
C． D．
6、圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
7、“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
10、(2022·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中不正确的是( )
A．AC1＝3
B．AC1⊥DB
C．向量B1C与AA1的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
11、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有( )
A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离
12、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹中包含AA1的中点
B．点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线长为
C．MP的最大值是
D．直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为_______．
14、如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为_______．
15、若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
16、 (2022·石家庄市第十七中学月考)如图，三棱锥V-ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
18、已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
19、如图，已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
20、(2022·宿州质检)图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2.以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2.
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值．
21、已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
22、(2022·重庆市巴蜀中学月考)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.
(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；
(2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．第一、二章综合检测（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝( A )
A． B．5 C．6 D．
2、(2022·亳州调研)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( D )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝－1
C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝
3、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( C )
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
4、已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( D )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
5、如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)，＝(0，2，0)，设二面角C-AB-O的平面角为θ，则cos θ＝( B )
A． B．
C． D．
6、圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是( C )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
7、“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( B )
A． B．
C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是( CD )
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
10、(2022·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中不正确的是( ACD )
A．AC1＝3
B．AC1⊥DB
C．向量B1C与AA1的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
11、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有( AC )
A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离
12、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中正确的是( BCD )
A．点P的轨迹中包含AA1的中点
B．点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线长为
C．MP的最大值是
D．直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为___1____．
14、如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________．
15、若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是____8____．
16、 (2022·石家庄市第十七中学月考)如图，三棱锥V-ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
解：（1）由已知可得，，
．
（2），，
，存在实数使得，
，，，联立解得．
（3），，
即，解得．
18、已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
19、如图，已知点A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3，2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)由得C(4，3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
20、(2022·宿州质检)图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2.以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2.
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图①，连接AE，AC，AC交BE于点F.
因为＝2，DC＝3，所以CE＝2，所以AB＝CE，
又AB∥CD，所以四边形AECB是平行四边形．
在Rt△ACD中，AC＝＝2，
所以AF＝CF＝.
在图②中，AC1＝，
所以AF2＋C1F2＝AC，
所以C1F⊥AF，
由题意得C1F⊥BE，又BE∩AF＝F，
所以C1F⊥平面ABED，又C1F 平面BC1E，
所以平面BC1E⊥平面ABED.
(2)如图②，以D为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，FC1的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz.
则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，E(0，1，0)，
F，C1，
所以BC1＝，＝(，0，0)，
DC1＝，
设平面AC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝，得n＝(0，－2，)，所以|n|＝，
记直线BC1与平面AC1D所成的角为θ，
则sin θ＝|cos ?BC1，n?|＝＝＝.
21、已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，|CQ|＝＝4，
则|QM|的最小值为＝4.
22、(2022·重庆市巴蜀中学月考)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.
(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；
(2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图1，连接BD，由题意，△ADB是正三角形，设M是AB的中点，则DM⊥AB，所以DM⊥DC，
又DD1⊥平面ABCD，所以DM⊥平面DD1C1C.
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，D1(0，0，3)，
C(0，2，0)，B(，1，0)，
则＝(－，1，0)，
BD1＝(－，－1，3).
显然，平面D1CD的一个法向量是m＝(1，0，0)，
设平面BD1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝，
得n＝(，3，2)，
设二面角B-D1C-D的平面角为θ，
则cos θ＝＝＝.
故二面角B-D1C-D的平面角的余弦值为.
(2)设＝λ，即有D1P＝λD1C，
由(1)知D1，C，则D1C＝(0，2，－3)，
所以P，又D，B，
于是＝，＝，
设平面PBD的法向量为a＝，
则令x＝，
得a＝，
因为A，D1B的中点为E，
所以＝，
因为AE∥平面PDB，所以⊥a，
即·a＝·＝－－＋＝0，解得λ＝，
即线段D1C上存在点P使得AE∥平面PDB，此时＝.
