第一章 空间向量与立体几何 章末检测(答案)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ D ）
A．1 B. C. D.
2、平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( C )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
3、已知A(1，－1，2)，B(2，3，－1)，C(－1，0，0)，则△ABC的面积是( C )
A． B．
C． D．
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x，y的值分别为( C )
A．1，1 B．1，
， D．，1
5、在空间直角坐标系中，平面的法向量为, 已知，则P到平面的距离等于 （ B ）
A． B. C. D.
6、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( B )
A． B．
C． D．
7、长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小时，DP＝( A )
A．1 B．2 C． D．4
8、如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C BF D的正切值为( D )
B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、下列说法中不正确的是( ABD )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
10、如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2，AC＝4，A到平面PBC的距离为，则下列结论正确的是( ABD )
A．PA＝4
B．三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32π
C．直线AB与直线PC所成角的余弦值为
D．AB与平面PBC所成角的正弦值为
11、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( ACD )
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
12、已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，下列结论正确的是( ABC )
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、若空间中三点A，B，C共线，则p＋q＝____7____．
14、已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝____________．
15、已知平面α的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，点A(3，4，－1)是平面α内的一点，则点P(1，2，－1)到平面α的距离是___2________．
16、(2022·安徽阜阳二模)在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为______________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t(t∈R)，
所以＝＋＝＋t
＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，
此时E点的坐标为.
18、(2022·日照实验高中月考)如图，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO＝.
(1)求证：BO∥平面PAC；
(2)计算BO与平面PAC之间的距离．
解：(1)证明：如图，连接OC，因为O为△ABC的外心，
所以OA＝OB＝OC，又因为AC＝BC＝1，
所以△OAC≌△OBC，
所以∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝60°，
故△OAC和△OBC都为等边三角形，可得OA＝AC＝CB＝BO＝1，
即四边形OACB为菱形，所以OB∥AC；
又AC 平面PAC，OB 平面PAC，
所以BO∥平面PAC.
(2)因为BO∥平面PAC，
所以BO到平面PAC的距离即为点O到平面PAC的距离，记为d，
由题意知PA＝PC＝＝＝，AC＝1，
所以S△PAC＝×1×＝，S△OAC＝×1×1×sin 60°＝，
又因为VP-OAC＝VO-PAC，所以×S△OAC×PO＝×S△PAC×d，
即××＝××d，解得d＝，
所以BO与平面PAC之间的距离为.
19、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，
所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，
易得CD⊥DM.
又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM 平面PDM，
所以CD⊥平面PDM.
因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM.
又PM 平面PDM，所以AB⊥PM.
(2)因为PM⊥MD，PM⊥DC，
所以PM⊥平面ABCD.
连接AM，则PM⊥AM.
因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，
所以AM＝，
又PA＝，所以PM＝2.
由(1)知CD⊥DM，
过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD.
故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－，2，0)，P(0，0，2)，C(，－1，0)，
N(，－，)，
所以＝(，－，).
易知平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0).
设直线AN与平面PDM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.
故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为.
20、(2022·河南省部分名校阶段性测试)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，△ADE为等腰直角三角形，∠AED＝90°，平面ADE⊥平面ABCD，且EF∥AB，EF＝1.
(1)证明：AC⊥平面BDF；
(2)若G为棱BF上的一点，使直线AG与平面BCF所成角的正弦值为，求AG的长．
解：(1)证明：取AD的中点H，
因为△ADE为等腰直角三角形，∠AED＝90°，
所以EH⊥AD，
因为平面ADE⊥平面ABCD，
且平面ADE∩平面ABCD＝AD，
所以EH⊥平面ABCD，
设AC，BD的交点为O，连接OF，OH，
则OH∥AB，且OH＝AB＝1，
因为EF∥AB，EF＝1，所以EF∥HO且EF＝HO，
所以四边形EFOH为平行四边形．
故FO∥EH且FO＝EH，
所以FO⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，
所以FO⊥AC，
在菱形ABCD中，有AC⊥BD，
因为FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDF.
(2)以O为原点，以OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，F(0，0，1).
设G(a，0，c)，＝λ(0≤λ≤1)，＝(a－1，0，c)，＝(－1，0，1)，
得a＝1－λ，c＝λ，即G(1－λ，0，λ)，
从而＝(1－λ，，λ)，＝(－1，，0).
设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，
由得取n＝(，1，)，
由已知可得＝，得λ2－λ＝0，
所以λ＝0或λ＝1，所以AG＝||＝2.
21、在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝4，已知E，F分别是BC，AC的中点，将△CEF沿EF折起，使C到C1的位置如图所示，且∠BEC1＝，连接C1B，C1A.
(1)求证：平面AFC1⊥平面ABC1；
(2)求平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小．
解：(1)证明：取AC1，BC1的中点分别为G，H，连接GH，GF，HE.如图所示，
则GH∥AB∥EF，GH＝EF＝AB，
因为EF⊥BE，EF⊥C1E，BE∩C1E＝E，
所以EF⊥平面BEC1，EH 平面BEC1，
所以EF⊥EH，所以GH⊥EH，
因为∠BEC1＝，E是BC的中点，
所以△EBC1为等边三角形，
所以EH⊥BC1，又因为GH 平面ABC1，
BC1 平面ABC1，GH∩BC1＝H，
所以EH⊥平面ABC1.
又因为GH∥EF，GH＝EF，所以四边形EHGF为平行四边形，所以FG∥EH，
所以FG⊥平面ABC1.又因为FG 平面AFC1，
所以平面AFC1⊥平面ABC1.
(2)以B为坐标原点，在平面BC1E内与BE垂直的直线为x轴，BE，BA所在的直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，2)，F(0，2，1)，C1(，1，0)，
易知平面BEC1的一个法向量为m＝(0，0，1)，
设平面AFC1的法向量为n＝(x，y，z)，
因为AC1＝(，1，－2)，＝(0，2，－1)，
所以令y＝1，
则z＝2，x＝，所以n＝(，1，2)，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，
结合图形可知平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小为.
22、(2022·深圳八校联考)如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD＝.
(1)若AD＝2，求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；
(2)有以下三个条件：①4·＝·，②直线AD与BE所成角的正弦值为，③＝.请你选择两个条件作为已知条件，求直线AD与平面EAB所成角的余弦值．
解：(1)在平面EDC内作EF⊥CD于F，如图所示．易知平面ABCD⊥平面EDC，平面ABCD∩平面EDC＝CD，所以EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高．
因为E为半圆弧CD上一点，所以CE⊥ED.
故VE-ABCD＝×S矩形ABCD×EF＝××2×＝CE×ED.
因为CE2＋ED2＝CD2＝5，
所以VE-ABCD≤×＝×＝，
当且仅当CE＝ED＝时等号成立，
故四棱锥E-ABCD的体积的最大值为.
(2)由条件①得，4||||cos ∠CDE＝||||·cos ∠DCE，
所以4DE2＝CE2，
所以2DE＝CE，
又CE2＋ED2＝5，
则DE＝1，CE＝2.
因为AD∥BC，BC⊥平面DCE，
所以∠CBE为直线AD与BE所成的角，由条件②得sin ∠CBE＝＝，
所以tan ∠CBE＝＝.
由条件③得＝＝，
设AD＝x，则＝.
若选条件①②，则DE＝1，CE＝2，且tan ∠CBE＝＝，
故AD＝BC＝.
若选条件①③，则DE＝1，CE＝2，
且＝，
所以AD＝x＝.
若选条件②③，则tan ∠CBE＝＝，
且＝，又CE2＋ED2＝5，
所以AD＝x＝.
即从①②③中任选两个条件作为已知条件，都可以得到DE＝1，CE＝2，AD＝BC＝，下面求直线AD与平面EAB所成角的余弦值．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(，0，0)，D(0，0，)，E(，，)，
则＝(，0，0)，＝(0，0，)，＝(，，).
设平面EAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则?m·＝0，
m·＝0，?即
令z＝1，则平面EAB的一个法向量为m＝(0，－，1).
所以cos <，m>?＝＝，
所以sin <，m>?＝.
故直线AD与平面EAB所成角的余弦值为.第一章 空间向量与立体几何 章末检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B. C. D.
2、平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
3、已知A(1，－1，2)，B(2，3，－1)，C(－1，0，0)，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．1，1 B．1，
， D．，1
5、在空间直角坐标系中，平面的法向量为, 已知，则P到平面的距离等于 （ ）
A． B. C. D.
6、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
7、长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝5，P是棱DD1上的动点，则△PA1C的面积最小时，DP＝( )
A．1 B．2 C． D．4
8、如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C BF D的正切值为( )
B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、下列说法中不正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
10、如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2，AC＝4，A到平面PBC的距离为，则下列结论正确的是( )
A．PA＝4
B．三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32π
C．直线AB与直线PC所成角的余弦值为
D．AB与平面PBC所成角的正弦值为
11、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
12、已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，下列结论正确的是( )
A．DE⊥BF
B．EF与CH所成角为
C．EC⊥平面DBF
D．BF与平面ACFE所成角为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、若空间中三点A，B，C共线，则p＋q＝________．
14、已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝____________．
15、已知平面α的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，点A(3，4，－1)是平面α内的一点，则点P(1，2，－1)到平面α的距离是___________．
16、(2022·安徽阜阳二模)在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为______________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
18、(2022·日照实验高中月考)如图，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO＝.
(1)求证：BO∥平面PAC；
(2)计算BO与平面PAC之间的距离．
19、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
20、(2022·河南省部分名校阶段性测试)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，△ADE为等腰直角三角形，∠AED＝90°，平面ADE⊥平面ABCD，且EF∥AB，EF＝1.
(1)证明：AC⊥平面BDF；
(2)若G为棱BF上的一点，使直线AG与平面BCF所成角的正弦值为，求AG的长．
21、在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝4，已知E，F分别是BC，AC的中点，将△CEF沿EF折起，使C到C1的位置如图所示，且∠BEC1＝，连接C1B，C1A.
(1)求证：平面AFC1⊥平面ABC1；
(2)求平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小．
22、(2022·深圳八校联考)如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD＝.
(1)若AD＝2，求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；
(2)有以下三个条件：①4·＝·，②直线AD与BE所成角的正弦值为，③＝.请你选择两个条件作为已知条件，求直线AD与平面EAB所成角的余弦值．
