3.2.2函数的奇偶性讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

数学学科学生讲义
学生姓名： 年级： 科目：数学 学科教师：
课题 3.2.2 函数奇偶性
授课类型 基础知识 经典例题 巩固提升 考试真题
教学目标
教学重难点
授课日期及时段
教学内容
知识清单 一、函数奇偶性的概念 1．一般地，如果对于函数的定义域内① 一个，都有② ，那么函数就叫做偶函数。 2．一般地，如果对于函数的定义域内③ 一个，都有④ ，那么函数就叫做奇函数。 特别提醒：(1)一般地，奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即。 (2)常数函数在⑤ 的情况下既是奇函数又是偶函数。 二、奇偶函数的图象 1．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以⑥ 为对称中心的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以⑦ 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 2．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以⑧ 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是⑨ 。 重要知识点讲解 知识点一：函数奇偶性的概念和判断 解题指导： 1、判断函数奇偶性的一般步骤 2、函数按照奇偶性分为：奇函数、偶函数、即奇又偶函数和非奇非偶函数； 3、在判断函数的奇偶性之前，先要判断定义域是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； 4、若奇函数在原点有定义，则必有； 5、简单的奇函数有等奇次项的函数； 6、简单的偶函数有等偶次项函数，和绝对值函数； 7、奇函数、偶函数的倍数（包括负数倍），奇偶性不变； 8、奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+偶函数=非奇非偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数； 9、如果一个函数是奇函数，那么它是由若干个简单的奇函数加减构成；如果一个函数是偶函数，那么它是由若干个简单的偶函数加减构成； 例题1 判断下列函数的奇偶性 （1） （2） 变式1 判断下列函数的奇偶性 例题2 判断函数的奇偶性； 例题3下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 变式2 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 知识点二：根据奇偶性求参数的值 解题指导：根据函数奇偶性解题时可以根据以下方法 1、定义域对称； 2、若奇函数在原点有定义，则； 3、根据奇函数有，偶函数求解； 4、根据“如果一个函数是奇函数，那么它是由若干个简单的奇函数加减构成；如果一个函数是偶函数，那么它是由若干个简单的偶函数加减构成”； 例题1 已知为偶函数，其定义域为，则____，______； 变式1 ； 变式2 ； 例题2 ； 变式3 若为偶函数，则实数_________； 变式4 若函数为奇函数，则___________； 例题3 若函数为偶函数，则实数___________； 知识点三：利用奇偶性求值或求函数解析式 例题1已知是奇函数，是偶函数，且，，则； 变式1 已知是奇函数，若，且，则________； 例题2已知函数为奇函数，且当时，，则_________； 变式2 设是定义在上的奇函数，当时，，则________； 例题3已知函数在上是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为___________； 变式3 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式； 例题4 定义在上的偶函数，对任意，有，则（ ） B. C. D. 变式4 已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为_________； 知识点四：利用图像解函数奇偶性问题 例题1 已知函数是偶函数，且图像与轴有四个交点，则方程的所有根之和是_______； 变式1 若是定义在上的奇函数，则它的图像必过点 A. B. C. D. 变式2已知为奇函数，与的图像关于对称，若，则________； 知识点五：函数奇偶性与单调性的综合应用 例题1 定义在上的偶函数，当时，单调递减，若成立，求的取值范围； 变式1 已知偶函数在内单调递增，则满足的的取值范围是_________； 变式2 已知奇函数在内单调递增，则满足的的取值范围是_________； 例题2 设奇函数在内单调递增，且，则不等式的解集为____________； 变式3 设函数是奇函数，在内单调递增，且，则的解集为______________； 例题3 设奇函数在内单调递增，且，则不等式的解集为______________； 变式4 设函数是奇函数，在内单调递增，且，则的解集为______________； A.基础过关（一）函数奇偶性的概念 一、选择题 1.函数（ ） A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2.设是定义在上的一个函数，则函数在上一定（ ） A.是奇函数 B.是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 3.已知有四个命题：①偶函数的图像必定与轴相交；②偶函数的图像必定关于轴对称；③奇函数的图像必定通过原点；④若函数既是奇函数，又是偶函数，则.其中正确的命题的个数是（ ） A. B. C. D. 4.若是偶函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既不是奇函数又不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 二、填空题 5.若偶函数在上为增函数，则满足的实数的取值范围是 . 6.如果函数为奇函数，为偶函数，并且有，则的表达式为 ，的表达式为 . 7.偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，按从小到大的顺序排列是 . 三、解答题 8.判断下列函数的奇偶性. （1） （2） . 9.（1）如图a，给出奇函数的局部图像，试作出轴右侧的图像并求出的值； （2）如图b，给出偶函数的局部图像，比较与的大小，并试作出轴右侧的图像. 10. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性. 11.已知函数是偶函数，且其定义域为. （1）求的值； （2）求函数在其定义域上的最大值。 （二）函数奇偶性的应用 一、选择题 1.已知函数，则这个函数（ ） A. 是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数 C. 是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 2.函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 原点对称 C. 轴对称 D. 直线对称 3. 为偶函数，且当时，，则当时，有（ ） A. B. C. D. 4.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 5.设是上的奇函数，且当时，，则 . 6.若是偶函数，则，，从小到大的顺序是 . 7.定义在上的奇函数，则常数的值分别为 . 三、解答题 8.已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式； （2）画出函数的图像. 9.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论。 B.能力提升 1.下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数为奇函数，则必有（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.偶函数的定义域为，当，是增函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若为上的奇函数，给出下列结论：①② ③；④.其中不正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 若偶函数在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则的值为 A. B. C. D. 9.已知为奇函数，，，则 。 10. 设函数，若是奇函数，则的值是 。 11. 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立。 （1）证明函数是上的减函数； （2）讨论函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围。 12.设函数。 (1)用定义证明函数在上为减函数； (2)判断函数的奇偶性。 13.已知函数的定义域为，若对于任意的，都有，且时，。 （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）用定义判断函数的单调性； （3）设.若对所有，恒成立，求的取值范围. 14. 已知函数。 （1）若为奇函数，求的值； （2）试判断在内的单调性，并用定义证明。