第一章空间向量与立体几何 单元测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第一章空间向量与立体几何 单元测试-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 598.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-01 00:37:51 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册空间向量与立体几何单元测试
（共21题，共150分）
一、选择题（共10题，共50分）
（5分）空间任意四个点 ，，，，则 等于
A． B． C． D．
（5分）如图，在同一平面内沿平行四边形 两边 ， 向外分别作正方形 ，，其中 ，，，则
A． B． C． D．
（5分）如图，空间四边形 中，，，，点 在 上，且满足 ，点 为 的中点，则
A． B．
C． D．
（5分）在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，已知点 ，则
A． B． C． D．
（5分）若平面 ，且平面 的一个法向量 ，则平面 的一个法向量可以是
A． B． C． D．
（5分）已知空间中的两点 ，，且 ，，当 取最小值时， 的值为
A． B． C． D．
（5分）若 是平面 的一个法向量，且 ， 都与平面 平行，则向量 等于
A． B．
C． D．
（5分）若 ，且平面 的一个法向量为 ，则平面 的法向量可以是
A． B． C． D．
（5分）如图，正方体 中，， 分别在 ， 上，且 ，，则
A． 至多与 ， 之一垂直 B． ，
C． 与 相交 D． 与 异面
（5分）在空间直角坐标系 中，，， 是 的中点，则
A． B． C． D．
二、填空题（共5题，共30分）
（6分）如图，在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影数量是 ．
（6分） 为空间中任意一点，，， 三点不共线，且 ，若 ，，， 四点共面，则实数 ．
（6分）已知空间中两点 ，，在 轴上有一点 到 ， 两点的距离相等，则点 的坐标为 ．
（6分）已知平面 的一个法向量为 ，，则直线 与平面 的位置关系为 ．
（6分）如图，在棱长为 的正方体中，点 在正方体的体对角线 上，点 在正方体的棱 上，若 ， 均为动点，则 的最小值为 ．
三、解答题（共6题，共70分）
（10分）已知空间中三点 ，，，设 ，．
(1) 若 ，且 ，求向量 ；
(2) 求向量 与向量 的夹角的余弦值．
（12分）如图，在平行六面体 中，，，，，， 是 的中点，设 ，，．
(1) 用 ，， 表示 ；
(2) 求 的长．
（12分）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点 是 的中点，点 的坐标是 ，点 在平面 内，且 ，．
(1) 求 的坐标；
(2) 设 和 的夹角为 ，求角 ．
（12分）已知空间三点 ，，．
(1) 求以 ， 为邻边的平行四边形的面积；
(2) 若向量 分别与 ， 垂直，且 ，求向量 的坐标．
（12分）如图，已知 ，，， 分别是空间四边形 的边 ，，， 的中点．
(1) 求证：，，， 四点共面；
(2) 求证：．
（12分）已知长方体 中，，，点 是 的中点，点 是 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1) 写出点 ，， 的坐标；
(2) 求线段 ， 的长度；
(3) 设点 是线段 上的动点，求线段 长度的最小值．
答案
一、选择题（共10题，共50分）
1. 【答案】C
【解析】 ．
【知识点】空间向量的加减运算
2. 【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
3. 【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
4. 【答案】A
【解析】因为点 关于 轴的对称点为 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ．
故选A．
【知识点】空间直角坐标系
5. 【答案】C
【解析】因为平面 ，
所以平面 的法向量与平面 的法向量垂直，即它们的数量积为 ．
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
【知识点】空间向量的坐标运算
6. 【答案】C
【解析】
故当 时， 取得最小值．
【知识点】空间向量的坐标运算
7. 【答案】D
【解析】由题意知 ，，
所以 解得
所以 ．
【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系
8. 【答案】C
【知识点】平面的法向量与平面的向量表示、空间向量的坐标运算
9. 【答案】B
【解析】以 点为坐标原点，以 ，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 ，则 ，，，，，，由题意则 ，，，，，，显然 ，，从而 ，，，事实上， 是异面直线 与 的公垂线．
【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题
10. 【答案】C
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题
二、填空题（共5题，共30分）
11. 【答案】
【解析】向量 在向量 方向上的投影数量为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算
12. 【答案】
【解析】因为 ，，， 四点共面，
所以 ，
所以 ．
【知识点】空间向量基本定理
13. 【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，
由于 ，
因此 ，
整理得 ，解得 ，
因此点 的坐标为 ．
【知识点】空间直角坐标系
14. 【答案】直线 在平面 上或直线 与平面 平行
【解析】因为 ，
所以 ，
又向量 为平面 的一个法向量，
所以直线 在平面 上或直线 与平面 平行．
【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系
15. 【答案】
【解析】因为 ， 分别为 ， 上的动点，
所以 的最小值即异面直线 ， 间的距离．
如图，
建立空间直角坐标系，
则 ，，，，
所以 ，，，
设 是异面直线 与 的公垂线的方向向量，
则
令 ，得 ，，
所以 是异面直线 与 的公垂线的方向向量，
设异面直线 ， 间的距离为 ，
则 ，
即 的最小值为 ．
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题
三、解答题（共6题，共70分）
16. 【答案】
(1) 因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ．
(2) 因为 ，，
所以 ，
又因为 ，，
所以 ，
即向量 与向量 的夹角的余弦值为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量的数乘运算
17. 【答案】
(1) ．
(2)
所以 即 的长为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量基本定理
18. 【答案】
(1) 如图所示，过 作 ，垂足为 ，
在 中，由 ，，，得 ，，
所以 ，，
所以点 坐标为 ，即 的坐标为 ．
(2) 依题意，，，，
所以 ，，
设 和 的夹角为 ，则
所以 ．
【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量的坐标运算
19. 【答案】
(1) 由已知 ，，
所以 ，；
．
故以 ， 为邻边的平行四边形的面积等于
(2) 设 ，由已知，得 ．
所以，向量 或 ．
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量的数量积运算
20. 【答案】
(1) 连接 ，
则
由共面向量定理的推论知 ，，， 四点共面．
(2) 因为
所以 ．
又 ，，
所以 ．
【知识点】空间向量基本定理、利用空间向量判定线线的垂直、平行关系
21. 【答案】
(1) 由题意得 ，，．
(2) 由空间两点间的距离公式，
可得 ，
．
(3) 依题意可设点 的坐标为 ，其中 ，
则
当 时，线段 取得最小值，为 ，即 ．
故线段 长度的最小值为 ．
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题、空间直角坐标系
（共21题，共150分）
一、选择题（共10题，共50分）
（5分）空间任意四个点 ，，，，则 等于
A． B． C． D．
（5分）如图，在同一平面内沿平行四边形 两边 ， 向外分别作正方形 ，，其中 ，，，则
A． B． C． D．
（5分）如图，空间四边形 中，，，，点 在 上，且满足 ，点 为 的中点，则
A． B．
C． D．
（5分）在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，已知点 ，则
A． B． C． D．
（5分）若平面 ，且平面 的一个法向量 ，则平面 的一个法向量可以是
A． B． C． D．
（5分）已知空间中的两点 ，，且 ，，当 取最小值时， 的值为
A． B． C． D．
（5分）若 是平面 的一个法向量，且 ， 都与平面 平行，则向量 等于
A． B．
C． D．
（5分）若 ，且平面 的一个法向量为 ，则平面 的法向量可以是
A． B． C． D．
（5分）如图，正方体 中，， 分别在 ， 上，且 ，，则
A． 至多与 ， 之一垂直 B． ，
C． 与 相交 D． 与 异面
（5分）在空间直角坐标系 中，，， 是 的中点，则
A． B． C． D．
二、填空题（共5题，共30分）
（6分）如图，在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影数量是 ．
（6分） 为空间中任意一点，，， 三点不共线，且 ，若 ，，， 四点共面，则实数 ．
（6分）已知空间中两点 ，，在 轴上有一点 到 ， 两点的距离相等，则点 的坐标为 ．
（6分）已知平面 的一个法向量为 ，，则直线 与平面 的位置关系为 ．
（6分）如图，在棱长为 的正方体中，点 在正方体的体对角线 上，点 在正方体的棱 上，若 ， 均为动点，则 的最小值为 ．
三、解答题（共6题，共70分）
（10分）已知空间中三点 ，，，设 ，．
(1) 若 ，且 ，求向量 ；
(2) 求向量 与向量 的夹角的余弦值．
（12分）如图，在平行六面体 中，，，，，， 是 的中点，设 ，，．
(1) 用 ，， 表示 ；
(2) 求 的长．
（12分）如图所示，在空间直角坐标系中，，原点 是 的中点，点 的坐标是 ，点 在平面 内，且 ，．
(1) 求 的坐标；
(2) 设 和 的夹角为 ，求角 ．
（12分）已知空间三点 ，，．
(1) 求以 ， 为邻边的平行四边形的面积；
(2) 若向量 分别与 ， 垂直，且 ，求向量 的坐标．
（12分）如图，已知 ，，， 分别是空间四边形 的边 ，，， 的中点．
(1) 求证：，，， 四点共面；
(2) 求证：．
（12分）已知长方体 中，，，点 是 的中点，点 是 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1) 写出点 ，， 的坐标；
(2) 求线段 ， 的长度；
(3) 设点 是线段 上的动点，求线段 长度的最小值．
答案
一、选择题（共10题，共50分）
1. 【答案】C
【解析】 ．
【知识点】空间向量的加减运算
2. 【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
3. 【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
4. 【答案】A
【解析】因为点 关于 轴的对称点为 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ．
故选A．
【知识点】空间直角坐标系
5. 【答案】C
【解析】因为平面 ，
所以平面 的法向量与平面 的法向量垂直，即它们的数量积为 ．
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
【知识点】空间向量的坐标运算
6. 【答案】C
【解析】
故当 时， 取得最小值．
【知识点】空间向量的坐标运算
7. 【答案】D
【解析】由题意知 ，，
所以 解得
所以 ．
【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系
8. 【答案】C
【知识点】平面的法向量与平面的向量表示、空间向量的坐标运算
9. 【答案】B
【解析】以 点为坐标原点，以 ，， 所在直线分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 ，则 ，，，，，，由题意则 ，，，，，，显然 ，，从而 ，，，事实上， 是异面直线 与 的公垂线．
【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题
10. 【答案】C
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题
二、填空题（共5题，共30分）
11. 【答案】
【解析】向量 在向量 方向上的投影数量为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算
12. 【答案】
【解析】因为 ，，， 四点共面，
所以 ，
所以 ．
【知识点】空间向量基本定理
13. 【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，
由于 ，
因此 ，
整理得 ，解得 ，
因此点 的坐标为 ．
【知识点】空间直角坐标系
14. 【答案】直线 在平面 上或直线 与平面 平行
【解析】因为 ，
所以 ，
又向量 为平面 的一个法向量，
所以直线 在平面 上或直线 与平面 平行．
【知识点】利用空间向量判定线线的垂直、平行关系
15. 【答案】
【解析】因为 ， 分别为 ， 上的动点，
所以 的最小值即异面直线 ， 间的距离．
如图，
建立空间直角坐标系，
则 ，，，，
所以 ，，，
设 是异面直线 与 的公垂线的方向向量，
则
令 ，得 ，，
所以 是异面直线 与 的公垂线的方向向量，
设异面直线 ， 间的距离为 ，
则 ，
即 的最小值为 ．
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题
三、解答题（共6题，共70分）
16. 【答案】
(1) 因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ．
(2) 因为 ，，
所以 ，
又因为 ，，
所以 ，
即向量 与向量 的夹角的余弦值为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量的数乘运算
17. 【答案】
(1) ．
(2)
所以 即 的长为 ．
【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量基本定理
18. 【答案】
(1) 如图所示，过 作 ，垂足为 ，
在 中，由 ，，，得 ，，
所以 ，，
所以点 坐标为 ，即 的坐标为 ．
(2) 依题意，，，，
所以 ，，
设 和 的夹角为 ，则
所以 ．
【知识点】空间向量的数量积运算、空间向量的坐标运算
19. 【答案】
(1) 由已知 ，，
所以 ，；
．
故以 ， 为邻边的平行四边形的面积等于
(2) 设 ，由已知，得 ．
所以，向量 或 ．
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量的数量积运算
20. 【答案】
(1) 连接 ，
则
由共面向量定理的推论知 ，，， 四点共面．
(2) 因为
所以 ．
又 ，，
所以 ．
【知识点】空间向量基本定理、利用空间向量判定线线的垂直、平行关系
21. 【答案】
(1) 由题意得 ，，．
(2) 由空间两点间的距离公式，
可得 ，
．
(3) 依题意可设点 的坐标为 ，其中 ，
则
当 时，线段 取得最小值，为 ，即 ．
故线段 长度的最小值为 ．
【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题、空间直角坐标系