第1~3章 综合检测（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，B＝{－1,0,2}，则( UA)∩B＝( B )
A．{－1} B．{－1,2}
C．{－2,0} D．{－2，－1,0,2}
2、命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( C )
A． x∈R，x3－x2＋1<0 B． x∈R，x3－x2＋1≥0
C． x∈R，x3－x2＋1>0 D． x∈R，x3－x2＋1≤0
3、函数y＝1＋x－的值域为( B )
A. B.
C. D.
4、(2022·宿州期中)函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( D )
A．a＝0 B．a<0
C．0
5、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( B )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
6、若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( B )
A.1或3 B.1 C.3 D.2
7、(2022·连云港海头高级中学质量检测)已知a，b>0，a＋b＝2，则下列不等式不一定成立的是( C )
A．ab≤1 B．＋≤2
C．＋≥＋2 D．a2＋b2≥2
8、(2022·湖北高三月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( A )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、有以下说法，其中正确的为( CD )
A．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件
B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>1”是“<1”的充分不必要条件
10、不等式的解集为，则能使成立的的集合可以为（ BC ）.
A． B．
C． D．
11、设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是( AD )
A．数域必含有0,1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ACD ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、命题 n∈N，n2>2n＋5的否定为__ n∈N，n2≤2n＋5______．
14、设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____{a|0＜a≤5}________．
15、若a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为___9_____．
16、函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式__f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)______.(只要写出一个即可)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{2＜x＜10}，C＝{x|5－a＜x＜a}．
(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若C (A∪B)，求a的取值范围．
解：(1)因为集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{2＜x＜10}，在数轴上表示可得：
故A∪B＝{x|2＜x＜10}， RA＝{x|x＜3或x≥7}，
( RA)∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}．
(2)依题意可知，
①当C＝ 时，有5－a≥a，得a≤；
②当C≠ 时，有
解得＜a≤3.
综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，3]．
18、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，
故k的取值范围是(－∞，1).
19、若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
20、已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
(1)证明 当a＝－2时，f(x)＝.
设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.
(2)解 设1＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a＞0，x2－x1＞0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].
21、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)单调递增，f(1)＝0，f(3)＝1.
(1)解不等式0(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得解得所以原不等式的解集为(－2，－)∪(，2).
(2)因为函数f(x)在(0，3]上单调递增，
所以f(x)在(0，3]上的最大值为f(3)＝1，
所以不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1，1]恒成立．
设g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1，1]，
所以需满足即
解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).
22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.第1~3章 综合检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，B＝{－1,0,2}，则( UA)∩B＝( )
A．{－1} B．{－1,2}
C．{－2,0} D．{－2，－1,0,2}
2、命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A． x∈R，x3－x2＋1<0 B． x∈R，x3－x2＋1≥0
C． x∈R，x3－x2＋1>0 D． x∈R，x3－x2＋1≤0
3、函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B.
C. D.
4、(2022·宿州期中)函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )
A．a＝0 B．a<0
C．05、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
6、若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A.1或3 B.1 C.3 D.2
7、(2022·连云港海头高级中学质量检测)已知a，b>0，a＋b＝2，则下列不等式不一定成立的是( )
A．ab≤1 B．＋≤2
C．＋≥＋2 D．a2＋b2≥2
8、(2022·湖北高三月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、有以下说法，其中正确的为( )
A．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件
B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>1”是“<1”的充分不必要条件
10、不等式的解集为，则能使成立的的集合可以为（ ）.
A． B．
C． D．
11、设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是( )
A．数域必含有0,1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
12、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、命题 n∈N，n2>2n＋5的否定为________．
14、设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________．
15、若a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
16、函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0.请写出函数f(x)的一个解析式________.(只要写出一个即可)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{2＜x＜10}，C＝{x|5－a＜x＜a}．
(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若C (A∪B)，求a的取值范围．
18、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
19、若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
20、已知f(x)＝(x≠a).
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
21、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)单调递增，f(1)＝0，f(3)＝1.
(1)解不等式0(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.