高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其意义教材分析与教学建议（图片版含答案）

一元函数的导数及其应用
教材分析与教学建议
各位老师好！很荣幸有这次机会和老师们在一块交流学习。我发言的题目是：选择性必修第二册第5章《一元函数的导数及其应用》的教材分析及教学建议，不当之处，还望各位老师批评指正。我将从以下4个方面和大家交流分享：
本章地位及作用；2、本章编写特点；3、本章内容介绍及主要变化（引例、概念、公式、例题的表述、习题等）；4、本章思考与个人教学建议。
首先，谈一下本章的地位和作用。导数是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。通过本章的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理的基本素养。本章内容较为丰富，主要包含：导数的概念与意义、导数的运算以及导数在研究函数中的应用。本章是对函数性质进一步的研究、补充和完善，通过对本章的学习，学生将理解导数是一种借助极限的运算，会更好的认识函数的单调性、极值最值等基本性质。同时，将导数运用到不等式、数列等体系中，让学生认识到导数的地位和作用。在解决函数的单调性和极值最值时，要让学生进一步体会并掌握分类讨论、数形结合等重要数学思想。这也正是本章的重难点，要有针对性的强化练习。
其次，说一下本章的编写特点。
1.注重了内容的整体性，体现了内容之间的有机衔接,使本章的整体性更强。比如5.1导数的概念及其意义这一节，课本通过高台跳水运动员的速度、抛物线切线的斜率这两个典型的变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法结果形式上的共同特征，并用这种方法研究一般函数从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，最终抽象出导数的概念。在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线的斜率过渡到切线斜率的过程，给出导数的几何意义，让学生再一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。
2.强调了“逼近”过程，不断渗透极限思想。这是和老教材相比较改动比较大的地方。由于高中阶段不专门讲授极限的具体知识，因此极限的思想和方法必须结合具体内容的展开加以渗透。教科书抓住一切机会渗透极限思想，把“体会极限思想”落到实处。这些都是原教材不具备的。例如，在求高台跳水运动员在t=1时的瞬时速度时，通过列表，对于 t的一系列值，给出对应的平均速度的值，观察当 t趋近于0时，平均速度变化趋势，直观感受极限过程，体会极限思想:
进一步地，从解析式的角度观察平均速度的变化趋势，从解析式的角度，更为理性地感受极限过程，体会极限思想：
相比之下，老教材对极限的讲解略加肤浅，前期没有铺垫就给出了极限的表达式：
接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，求运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验，然后将上述过程与方法一般化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识:
与求高台跳水运动员在t=1时的瞬时速度的研究过程和方法一样，对于抛物线在点P（1,1）处的斜率，教科书也做类似处理，帮助学生感受极限过程，体会极限思想：
引入导数概念后，教科书在巩固导数概念的3个例题中，直接利用定义求函数在一点处的导数；在5.2利用导函数的定义求6个常用的具体函数的导函数，通过这些具体实例渗透极限思想：
3.从具体到抽象，适度进行“规则”的抽象概括。由于高中阶段不专门介绍极限的有关知识，因此不可能通过严格的逻辑推理的方式，推导出基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则，以及导数与函数单调性之间关系等公式与“规则”。这样，如何以适当的方式给出这些“规则”，就成了教科书需要着重思考的问题之一。教科书基于高中学生的认知规律，结合“规则”的具体特点，从具体实例出发，从具体到抽象、从特殊到一般地给出“规则”，使得过程自然、合理，不突兀。 例如，在“基本初等函数的导数公式”中，首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，在此基础上，从特殊到一般地给出基本初等函数的导数公式：
又如，在“导数的四则运算法则”中，对于两个可导函数和、差的导数运算法则，设计了从特殊到一般得出法则的过程:
再如，在“简单复合函数的导数”中，从两个角度研究的导数：
教科书通过这样的“抽象概括”过程，让学生在对“规则”有一定直观感知的基础上给出“规则”，有效地化解了由无法证明“规则”造成的“不严密”问题和“规则”的抽象性问题。
加强了形与数的融合，意在培养学生直观想象素养。由于高中阶段没有建立完整的微积分知识体系，因此，只能通过直观的方式，尤其是几何直观的方式，认识微积分的一些重要思想方法，“获得”一些“法则”。本章注重形与数的融合，帮助学生利用图形直观，理解一些重要的思想方法和“法则”。例如，通过研究导数的几何意义，从“形”的角度加深对导数概念的理解：
进一步地，通过将点P附近的曲线不断放大，发现点P附近的曲线越来越接近于直线，即在点P附近，曲线可以用点P处的切线PT近似代替，从而帮助学生初步感受微积分的重要思想方法----以直代曲
5.强调利用导数研究函数的性质。单调性是函数最主要的性质，也是研究函数其他性质的基础。课本从具体实例抽象概括出函数的单调性与导函数的正负之间关系，进而用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增减快慢问题。具体体现为：
1，采用了从具体到抽象，从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点特征，并利用函数导数的正负与函数单调性的关系，用导数求函数的极值、最值和实际问题的最值，并综合研究函数的图像和性质。
2，注意提炼研究函数性质的通性通法。例如，总结出利用导数研究函数单调性、极值、最值的步骤。
说一下本章的内容和主要变化。
1.本章知识结构框图新旧教材对比
新教材知识结构如下：
老教材知识结构如下：
对本章的课时安排如下：
5.1导数的概念及其意义
本节知识结构框图：
重点：导数的概念，导数的几何意义
难点：导数的概念，曲线的切线概念
对比新老教材的引言部分，不难发现，新教材指明了导数与函数的单调性有关，是进一步研究函数单调性的工具，为后面的学习指明了方向：
对于5.1.1变化率问题这一节，新教材用高台跳水和抛物线切线的斜率这两个例子，结合“两个思考、两个观察、四个探究”深入浅出地让学生弄清平均速度与瞬时速度的关系、割线与切线的关系，体会极限思想，感受极限力量；而老教材只是通过两个问题给出了平均变化率的概念，之后对平均变化率取极限得出导数的概念。相比较来说新教材对探究对象的研究更具体，更加符合学生的认知规律。另外，新教材在第61页和64页增加了5道练习，意在让学生会用极限表达式求瞬时速度和切线的斜率，而老教材是没有相应的练习的。
对于5.1.2导数的概念及其几何意义这一节，新教材通过引言顺理成章地给出了函数在处的导数概念，与上一节衔接自然；在分析例2、例3两个实际问题的基础上，通过比较、综合，舍弃背景，从思想方法和表达形式上归纳出共性，并用于描述一般函数从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而抽象出导数的概念---导数是瞬时变化率的数学表达。对于导数的几何意义，新教材先设置了一个思考栏目，意在利用图像直观探究导数的几何意义，而老教材是没有的；关于切线的定义，新教材仍从“形”的角度，多次、反复经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，感受“运动变化的观点”“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等基本思想，并体会“极限思想”。与新教材相比，老教材对上述基本思想体现的不够直接、完美：
本节例题和习题变化如下：
内容 原教材（道） 新教材（道）
例题 3 4
课后练习题 3 13
课后习题 9 12
思考栏目 1 3
探究栏目 2 4
观察与归纳栏目 1 2
新教材在在保留并改进原题的同时，也增加了像习题第5、7题等，意在考察导数的几何意义和瞬时变化率的表达：
5.2导数的运算
本节知识结构框图：
重点：求简单函数的导数
难点：求简单复合函数的导数
对于5.2.1基本初等函数的导数这一节，虽然增加了的导数求解，也就是由旧教材5个常用函数的导数增加到了6个常用函数的导数，但学习要求没有任何变化，仍然是让学生进一步的理解导数的概念，理解求函数的导数是一种借助于极限的运算体会极限思想。但教学时要有意识的将导数和导数的几何意义联系起来，使学生深刻认识导数的内涵。另外，将通货膨胀率问题调整到了第一课时，同时增加了1个具体的求函数导数的例题。课后也有了配套的练习题，这样的调整使学习目标更加明确，避免了旧教材的杂乱无章:
对于5.2.2导数的四则运算法则这一节，新教材以上节例2为引导，通过“探究”栏目，采用由特殊到一般的方法，先通过具体函数的求导使学生对运算法则有一个直观的认识，然后再一般化的给出函数和、差的导数，从具体到抽象，适度进行“规则”的抽象概括，从而降低了运算法则的抽象性，使得过程自然、合理，不突兀：
同样地，对于函数积、商的导数的探究，也设置了一个思考题目，探究的过程也是完全一样的。
而老教材仅是简单通过一句话生硬地给出了求导法则：
相比旧教材，这一节教材还设置了两个求具体函数导数的例题，和相应的课后练习，让学生及时应用导数运算法则求导，巩固了学生对导数运算法则的理解和掌握：
对于5.2.3简单复合函数的导数这一节来说，新旧教材都先通过“思考”栏目引入，但函数表达式由“”改为“)”，这样学生更容易理解复合函数是怎样“复合”的，同时也说明了该函数不是由基本初等函数通过加减乘除运算得到的。更为重要的是，新教材通过细致研究的导数，进而“抽象”地给出了复合函数的求导法则，而老教材直接给出了求导公式。相比之下，新教材的设计过程更自然、合理，不突兀，符合学生的认知规律：
另外，新教材还增加了弹簧振子的位移问题，体现了复合函数求导的实际应用：
内容 原教材（道） 新教材（道）
例题 4 7
课后练习题 2 10
课后习题 11 13
思考栏目 2 2
探究栏目 2 2
对于复合函数的导数，教师在教学时要注意引导学生分析复合函数结构，找出中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导；也可以再给几个复合函数的例子帮助学生掌握简单复合函数的求导，限于的形式即可。
本节例题和习题变化如下：
新教材增加的第6题是比较典型的一类题目，意在让学生意识到，导数值是一个常数。
5. 5.3导数在研究函数中的应用
本节知识结构框图：
重点：利用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间
难点：用导数求函数的极值与最大（小）值
对于5.3导数在研究函数中的应用这一节，新老教材在知识点的引入上大同小异，但新教材增加了“思考”栏目，给学生明确了需要思考的问题，进而由高台跳水这一特殊例子推广到一般。相比较于老教材，新教材这样处理更加过渡自然，水到渠成:
既然是研究函数的性质，那么就需要看多种函数结构，所以在例题和课后练习上，新教材选取了多种类型的函数，然后借助导数，从多种角度深入地研究函数，让导数在研究函数的性质上绽放出绚丽光芒。具体表现为：
而老教材给出的函数类型比较单一：
另外，通过例3，新教材还总结出判断函数单调性的步骤：
增加了“探究”和例4，让学生进一步认识用导数研究函数的单调性（增减快慢）：
通过例6总结出求函数最值的步骤：
通过步骤，再进一步研究例4，从代数的角度，通过构造函数的方法，证明了当时，这一比较重要的不等式。
增加了例7，强调导数能够综合研究函数的图像与性质。同时教材也给出了画函数图像的一般步骤，在教学时要给予重视。
本节例题和习题变化如下：
在习题发生变化的同时，仍然要求学生从数与形两方面掌握一些重要的不等式：
也要根据学生的实际情况，有选择性地提高学生素养，培养优良品质：
最后，谈一下对本章的个人教学建议。
1.把握好本章内容的主要变化，这是运用好新教材的关键，更是备战高考的关键；
2.加强单元教学设计，注重局部范围内知识的系统化。单元教学设计具有使局部范围内知识的系统化的优点，因此有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构；
3.让学生充分经历概念的生成过程，注重思想方法的渗透。导数的概念非常抽象，而导数的几何意义涉及一般曲线的切线的概念，对于学生来说比较新颖，因此要使学生理解导数的内涵和思想，教学中必须让学生经历导数的概念和几何意义的生成过程，教师可以借助信息技术工具，通过典型丰富的实例抽象概括出导数概念和切线概念，得到其几何意义；
4.强调导数研究函数性质的一般步骤。应强调利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质的一般步骤，体现出程序化思想；
5.加强运算训练，提升数学运算素养。不管是哪一个环节，本章对学生的计算要求较高，是贯穿本章的主线，教学时应加强训练，不断提升学生的运算素养。
删繁就简三秋树
领异标新六月花
唯有不断学习，与时俱进，才能在教学课堂中标新立异， 就像六月的花一样，芳香四溢，生机勃勃.
谢谢！