2022-2023学年湘教版七年级数学上册4.3.2第2课时互余与互补 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
第四章　图形的认识
4.3.2　角的度量与计算　
第2课时　互余与互补
1.知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求一个角的余角或补角.
2.通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角(或等角)的补角相等”，并会应用.
◎重点:余角、补角的概念及性质.
◎难点:余角、补角的性质.
大家知道比萨斜塔吗？比萨斜塔因为倾斜而出名，现在已知塔身倾斜了约5.5°，那么你知道塔身和地面成多少度角吗？
余角和补角的定义
阅读课本“做一做”至“动脑筋”的内容，填空:
1.如果两个角的和等于一个　直角　，那么说这两个角互为余角，(简称　互余　)，也说其中一个角是另一个角的　余角　.
2.如果两个角的和等于一个　平角　，那么说这两个角互为补角，(简称　互补　)，也说其中一个角是另一个角的　补角　.
直角　
互余　
余
角　
平角　
互补　
补
角　
　已知∠1＝55°，则∠1的余角等于　35°　，∠1的补角等于　125°　.
35°　
125°　
余角、补角的性质
1.阅读课本“动脑筋”的内容，并在下面完成解答过程.
(1)答:　∠2与∠3相等　.理由:　因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3　.
(2)答:　∠5与∠6相等　.理由:　因为∠4＋∠5＝90°，∠4＋∠6＝90°，所以∠5＝90°－∠4，∠6＝90°－∠4，所以∠5＝∠6　.
∠2与∠3相等　
因为∠1＋∠2＝180°，
∠1＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，
所以∠2＝∠3　
∠5与∠6相等　
因为∠4＋∠5＝90°，
∠4＋∠6＝90°，所以∠5＝90°－∠4，∠6＝90°－∠4，所
以∠5＝∠6　
2.如果∠1与∠2互补，∠4与∠3互补，且∠1＝∠4，那么∠3与∠2有什么关系？为什么？
解:∠3＝∠2.理由:因为∠1＋∠2＝180°，∠4＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠4.
又∠1＝∠4，所以∠2＝∠3.
3.如果∠1与∠2互余，∠4与∠3互余，且∠1＝∠4，那么∠3与∠2的大小关系是　相等　.
归纳总结　同角(或等角)的补角　相等　.
同角(或等角)的余角　相等　.
相等　
相等　
相等　
根据余角和补角的定义求角的度数
1.25°的余角和补角分别是多少度？一个角的补角比它的余角大多少度？
解:65°，155°.设这个角为x°，则它的补角为(180－x)°，它的余角为(90－x)°，(180－x)－(90－x)＝90，即这个角的补角比它的余角大90°.
变式训练　一个角的余角比它的补角的还多1°，求这个角的度数.
解:设这个角为x°，则90－x＝(180－x)＋1，解得x＝63.
答:这个角的度数为63°.
2.已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1＝65°，则∠3＝ (　D　)
A.65° B.25° C.115° D.155°
D
方法归纳交流　求一个角的余角，就是用　90　°减去这个角的度数；求一个角的补角，就是用　180　°减去这个角的度数.
90　
180　
利用余角、补角的性质进行简单推理
3.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠AOC＝∠BOD，这是根据 (　B　)
A.直角都相等
B.同角的余角相等
C.同角的补角相等
D.互为余角的两个角相等
B
判定一个角的余角、补角
4.如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，射线OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠EOC＝90°.
(1)求∠DOE的度数；
(2)哪些角与∠AOD互为余角？
(3)互为补角的角有几对？请分别写出来.
解:(1)因为∠BOE＝∠EOC，∠EOC＝90°，所以∠BOE＝×90°＝30°，所以∠AOB＝180°－∠EOC－∠BOE＝180°－90°－30°＝60°.因为OD平分∠AOB，所以∠BOD＝∠AOB＝30°，所以∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝60°.
　　(2)因为∠AOD＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，所以∠AOB，∠DOE与∠AOD互为余角.
(3)6对.∠AOD与∠DOC，∠AOB与∠BOC，∠AOE与∠EOC，∠BOD与∠DOC，∠BOE与∠DOC，∠EOD与∠BOC.
　角平分线与角的余角、补角的综合运用
如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝64°，求∠DOE和∠EOF的度数；
(2)请写出图中∠AOD的补角和
∠AOE的余角.
解:(1)因为∠AOC＝64°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－64°＝116°，
因为OE平分∠AOD，所以∠DOE＝∠AOD＝×116°＝58°，
因为∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD＝180°，所以∠BOD＝∠AOC＝64°，
因为OF平分∠BOD，所以∠DOF＝∠BOD＝×64°＝32°，
所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝58°＋32°＝90°；
(2)∠AOD的补角有∠AOC和∠BOD；∠AOE的余角有∠BOF和∠DOF.
因为OF平分∠BOD，所以∠DOF＝∠BOD＝×64°＝
32°，
所以∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝58°＋32°＝90°；
1已知∠A＝70°，则∠A的余角等于(　A　)
A.20° B.30° C.70° D.110°
2如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　C　)
A.50° B.60°
C.140° D.150°
A
C
3一个角的余角是这个角补角的三分之一，则这个角是(　B　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
B
4如图，已知∠AOB是直角，C、O、D三点在同一条直线上，∠AOC＝25°，则∠AOC的余角的补角为　115°　.
115°　
5若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数是多少？
解:设这个角的度数是x°，则它的补角为(180－x)°，余角为(90－x)°，
由题意，得(180－x)－2(90－x)＝70.解得x＝70.
答:这个角的度数为70°
6下列说法正确的是 (　A　)
A.一个锐角的余角比这个角的补角小90°
B.如果一个角有补角，那么这个角必是钝角
C.若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角
D.如果∠α和∠β互为余角，∠β与∠θ互为余角，那么∠α与∠θ互为余角
A
7在同一平面内，∠AOB＝70°，∠AOC是∠AOB的余角，OD平分∠BOC，则∠DOC＝　45°或25°　.
8如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是　∠BOC　.
45°或25°　
∠BOC　
9若β是α的补角，γ是α的余角，且β与γ的和是平角，则β是α的　11　倍.
11　
10如图，点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余.
(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，则∠BOD＝ ；
(2)若∠AOC＝α(0°＜α≤45°)，ON平分∠COD，补全图形，求出∠AON的值(用含α的式子表示).
解:(1)∵∠AOC∶∠BOD＝4∶5，∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD＝90°×＝50°.
(2)∵∠BOD与∠AOC互余，∴∠BOD＋∠AOC＝90°.
情形一:点D在∠BOC内.在0°＜α≤45°的条件下，补全图形如下:
∴∠COD＝90°，∵ON平分∠COD，∴∠CON＝45°，
∴∠COD＝90°.∵ON平分∠COD，∴∠CON＝45°，
∴∠AON＝α＋45°.
情形二:点D在∠BOC外.在0°＜α≤45°的条件下，补全图形如下:
∴∠AON＝α＋45°.
∠COD＝90°＋2α，∠CON＝45°＋α，
此时∠AON＝45°.
∠COD＝90°＋2α，∠CON＝45°＋α，
此时∠AON＝45°.