8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
一、教学目标
1.会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用公式进行乘法运算；
2.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想；
3.在探索完全平方公式的过程中，感悟从一般到特殊的研究问题的方法；
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握完全平方公式的推导过程及几何意义，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学用具
教学课件.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：引导学生回顾多项式与多项式相乘的法则. 多项式与多项式相乘 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 多项式与多项式相乘的法则： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 熟悉多项式相乘的运算法则. 通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习做准备.
环节二 探究新知 【探究】 教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出完全平方公式. 问题1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？ (p+1)2= = ； (m+2)2= = . 答案：(1) (p+1)(p+1)，p2+2p+1； (2) (m+2)(m+2)，m2+4m+4. 观察上面的等式，你能发现什么规律？ 追问1：原算式有什么共同点？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1； (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4； 答案：均为两个数的和的平方. 追问2：原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？ 答案：两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍. 追问3：能否将发现的规律用式子表示出来？ 答案：猜想(a+b)2=a2+2ab+b2 追问4：你能对发现的规律进行推导吗？ 小组合作： 1.独立思考，完成验证； 2.两人一组，交流思路，完善过程. 推导过程： (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍. 【思考】 教师活动：先让学生分组完成，然后课件展示完整过程. 问题2：能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a b)2=？ 法一： (a b)2=(a b)(a b) =a2 ab ab+b2 =a2 2ab+b2 法二： (a b)2=[a+( b)]2 =a2+2a( b)+( b)2 =a2 2ab+b2 完全平方公式：(a b)2 = a2 2ab+b2 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍. 【归纳】 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2 = a2 2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 【思考】 教师活动：先让学分组完成，然后课件展示完整过程. 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？ 小组合作： 1.独立思考，完成验证； 2.四人一组，交流思路，完善过程. 3.学生分组展示过程. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2=a2 2(a b)b b2 =a2 2ab+b2 【观察】 教师活动：先让学生思考，然后随机选人回答问题. 观察这两个公式，回答下面的问题： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2 = a2 2ab+b2 (1)积的次数和项数分别是多少？ (2)两个公式中的积有相同的项吗？与a、b有什么关系？ (3)两个公式中的积中不同的是哪一项？与a、b有什么关系？它的符号与什么有关？ 答案：(1)都是二次三项式 (2)积中两项为a、b的平方和 (3)一项为a、b的积的2倍，符号与a、b中间的符号相同 【归纳】 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2 = a2 2ab+b2 公式的特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和； ③另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同； ④公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式. 口诀： 首平方，尾平方； 积的二倍放中央， 符号与前一个样. 【做一做】 下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (1) (p1)2=p21 (2) (m2)2=m22m+4 (3) (x+y)2=x2+y2 (4) (x+y)2=x2+2xy+y2 (5) (m2n)2=m24mn+4n2 答案：(1)错误，(p1)2=p22p+1； (2)错误，(m2)2=m24m+4； (3)错误，(x+y)2=x2+2xy+y2； (4)错误，(x+y)2=x22xy+y2； (5)正确. 快速运算出结果. 认真观察并思考. 先自主完成，再小组交流. 独立完成. 熟悉完全平方公式. 先独立思考，再分组探究交流. 认真观察并思考. 熟悉完全平方公式的特征. 认真思考并抢答. 让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性. 通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力. 通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法. 通过推导过程让学生体会类比的思想，同时加强公式的应用意识. 通过归纳进一步熟悉完全平方公式的符号语言和文字语言，体会符号语言和文字语言之间的相互转化. 利用几何图形的面积验证完全平方公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解完全平方公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想. 通过观察公式的结构，找出这两个公式的相同项和不同项，培养学生的观察分析能力和抽象概括能力. 通过归纳完全平方公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力. 通过抢答进一步熟悉完全平方公式的特征，并提高学生的学习积极性.
环节三 应用新知 【典型例题】 利用乘法公式计算： (1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2 解： (1) (2x+y)2=(2x) 2+2·2x·y + y2 =4x2+4xy+y2 (2)(3a – 2b)2=(3a)2 – 2·3a·2b + (2b)2 =9a2–12ab+4b2 明确本题的做法. 让学生在应用过程中进一步加深对完全平方公式的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1. 利用乘法公式计算： (1) (3x+1)2； (2) (a–3b)2 ； (3) (2x+)2 ； (4) (–2x–3y)2 解：(1) (3x+1)2 = 9x2+6x+1 ； (2) (a–3b)2 = a2–6ab+9b2 ； (3) (2x+)2 = 4x2+2xy+； (4) (–2x–3y)2 = 4x2+12xy+9y2 . 2. 如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条长方形，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84 cm2，求原正方形的边长. 解：设原正方形的边长为 a cm 则小正方形的边长为 (a–6)2 cm 由题意得：a2 – (a–6)2 = 84 解得：a = 10 则原正方形的边长为 10 cm. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第71页 习题8.3 第1题 课后完成练习. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共24张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
学习目标
会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用公式进行乘法运算.
在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想.
在探索完全平方公式的过程中，感悟从一般到特殊的研究问题的方法.
在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
完全平方公式
复习回顾
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)
=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则
计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
观察上面的等式，你能发现什么规律？
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
原算式有什么共同点？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
均为两个数的和的平方.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
m2+2·m·2+22
p2+2·p·1+12
原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？
两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
能否将发现的规律用式子表示出来？
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(p+1)2= = ；
(m+2)2= = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
m2+2·m·2+22
p2+2·p·1+12
你能对发现的规律进行推导吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
猜想
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能对发现的规律进行推导吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
(a+b)2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
多项式乘法法则
合并同类项
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
完全平方公式
能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a b)2=？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
法一：
(a b)2=(a b)(a b)
=a2 ab ab+b2
=a2 2ab+b2
法二：
(a b)2=[a+( b)]2
=a2+2·a·( b)+( b)2
=a2 2ab+b2
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.
完全平方公式
(a b)2=a2 2ab+b2
归纳
完全平方公式
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
符号语言
文字语言
你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.四人一组，交流思路，完善过程.
3.学生分组展示过程.
你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
+
a2
ab
ab
b2
=
+
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
(a b)2
=
(a b)b
(a b)b
b2
a2 2(a b)b b2
(a b)2=
a2 2ab+b2
观察这两个公式，回答下面的问题：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
(1) 积的次数和项数分别是多少？
(2) 两个公式中的积有相同的项吗？与a、b有什么关系？
(3) 两个公式中的积中不同的是哪一项？与a、b有什么关系？它的符号与什么有关？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2 = a2 2ab+b2
观察
都是二次三项式
积中两项为a、b的平方和
一项为a、b的积的2倍，符号与a、b中间的符号相同
归纳
完全平方公式
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
公式的特征
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；
公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2 = a2 2ab+b2
1
2
3
4
口诀：
首平方，尾平方；
积的二倍放中央，
符号与前一个样.
做一做
下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
(p 1)2=p2 1
(m 2)2=m2 2m+4
(x+y)2=x2+y2
( x+y)2=x2+2xy+y2
(m 2n)2=m2 4mn+4n2
( x+y)2=x2 2xy+y2
(p 1)2=p2 2p+1
(m 2)2=m2 4m+4
(x+y)2=x2+2xy+y2
(a + b)2 = a2 + 2 a b +b2
利用乘法公式计算：
(1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2
(2x+y)2 =
= 4x2+4xy+y2
(2x) 2+2·2x·y + y2
解：(1)
典型例题
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2
利用乘法公式计算：
(1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2
(3a – 2b)2 =
(3a) 2 – 2· 3a· 2b + (2b)2
= 9a2 – 12ab + 4b2
典型例题
解：(2)
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
1. 利用乘法公式计算：
(1) (3x+1)2； (2) (a–3b)2 ； (3) (2x+ )2 ； (4) (–2x–3y)2
(3x+1)2 = 9x2+6x+1 ；
(2) (a–3b)2 = a2–6ab+9b2 ；
(3) (2x+ )2 = 4x2+2xy+ ；
(4) (–2x–3y)2 = 4x2+12xy+9y2 .
解：
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
2. 如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm
宽的一条长方形，那么所得小正方形的面积比原正方形的面
积减少84 cm2，求原正方形的边长.
解：
设原正方形的边长为 a cm，
则小正方形的边长为 (a–6)2 cm
由题意得：a2 – (a–6)2 = 84
解得：a = 10
则原正方形的边长为 10 cm.
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
完全平方公式的特征：
完全平方公式：
完
全
平
方
公
式
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；
公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.
创设情境
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
1
2
3
4
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
布置作业
课堂小结
教科书第71页 习题8.3
第1题
再见8.3 完全平方公式与平方差公式
第2课时 平方差公式
一、教学目标
1.能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算；
2.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解平方差公式的几何意义，感知数形结合的思想；
3.在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法；
4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
二、教学重难点
重点：掌握平方差公式的推导过程及几何意义，并能正确运用公式进行计算.
难点：理解平方差公式的结构特征，能灵活运用公式.
三、教学用具
教学课件.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 多项式与多项式相乘 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 多项式与多项式相乘的法则： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 熟悉多项式相乘的运算法则. 通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备.
环节二 探究新知 【探究】 教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出平方差公式. 问题1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？ (1) (x+1)(x1)= ； (2) (m+2)(m2)= ； (3) (2x+1)(2x1)= . 答案：(1) x21； (2) m24； (3) 4x21. 观察上面的等式，你能发现什么规律？ 追问1：下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ (1) (x+1)(x1)=x21； (2) (m+2)(m2)=m24； (3) (2x+1)(2x1)=4x21. 答案：均为相同的两个数的和、两个数的差的形式. 追问2：相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？ 答案：两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差. 追问3：根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来. 答案：猜想(a+b)(ab)=a2b2 追问4：你能对发现的规律进行推导吗？ 小组合作： 1.独立思考，完成验证； 2.两人一组，交流思路，完善过程. 推导过程： (a+b)(ab) =a2ab+abb2 =a2b2 平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【思考】 问题2：你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？ 小组合作： 1.独立思考，完成验证； 2.四人一组，交流思路，完善过程. 3.学生分组展示过程. 推导过程： S1+S3=a2b2 S1+S2=(a+b)(ab) ∵ S2=S3 ∴ (a+b)(ab)=a2b2 追问：是否还有其它的剪拼方法来证明？ 教师活动：先让学生思考，然后播放视频，让学生感知剪拼过程，并简单梳理推导过程. 【归纳】 平方差公式的特征 等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项. 等号右边是相同项的平方减去相反项的平方. 公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子. 【做一做】 判断下列式子是否能用平方差公式计算： (1) (a+2b)(a 2b) (2) (a 2b)(2b a) (3) (2ab)(b+2a) (4) (a 3b)(a+3b) (5) (2x+3y)(3y 2x) 答案：(1) 不能，不存在相同的项； (2) 不能，不存在相同的项； (3) 不能，不存在相反的项； (4) 能，a2 (3b)2 = a2+9b2 (5) 不能，不存在相反的项. 小总结：符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算. 快速运算出结果. 认真观察并思考 先自主完成，再小组交流 先独立思考，再分组探究交流. 认真观看视频. 熟悉平方差公式的特征. 认真思考并抢答. 让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性. 通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力. 通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法. 利用几何图形的面积验证平方差公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解平方差公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想. 通过不同的剪拼方法，让学生进一步熟悉平方差公式的几何意义. 通过归纳平方差公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力. 通过抢答进一步熟悉平方差公式的特征，并提高学习积极性.
环节三 应用新知 【典型例题】 【例1】利用乘法公式计算：： (1) 1999×2001； (2) (x+3)(x3)(x2+9). 提示：关键是确认公式中的a，b分别代表什么. 解：(1) 1999×2001 =(20001)×(2000+1) =20002 12 =3 999 999 (2) (x+3)(x3)(x2+9) =(x29)(x2+9) =x481. 【例2】计算： (1) (a+b+c)2 ； (2) (ab)3. 解：(1) (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (2) (ab)3 =(ab) (ab)2 =(ab)(a22ab+b2) =a32a2b+ab2a2b+2ab2b3 =a33a2b+3ab2b3. 明确本题的做法. 明确本题的做法. 让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，培养学生的应用意识. 让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，并让学生明白只有符合公式条件的乘法或者能变形成满足平方差公式特征的式子，才能运用公式简化运算.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1. 利用乘法公式计算： (1) (2a+5b)(2a5b)； (2) (x3)(x+3)； (3) (y2x)(2xy)； (4) (xy+1)(xy1). 解：(1) (2a+5b)(2a5b) =(2a)2(5b)2 =4a225b2 (2) (x3)(x+3) =(x)29 =x29 (3)(y2x)(2xy) =(2x)2y2 =4x2y2 (4) (xy+1)(xy1) =(xy)21 =x2y21 2. 利用乘法公式计算： (1) 598×602； (2) 9992. 解：(1) 598×602 =(6002)× (600+2) =600222 =359 996 (2) 9992 =(10001)2 =100022000+12 =998 001 3. 计算： (1) (a+b)3 ； (2) (x5)3. 解：(1) (a+b)3 =(a+b) (a+b)2 =(a+b)(a2+2ab+b2) =a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 =a3+3a2b+3ab2+b3. (2) (x5)3 =(x5) (x5)2 =(x5)(x210x+25) =x310x2+25x5x2+50x125 =x315x2+75x125. 4. 计算：(abc)2 解：(abc)2 =[(ab)c]2 =(ab)22(ab)c+c2 =a22ab+b22ac+2bc+c2 =a2+b2+c22ab2ac+2bc. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第71页 习题8.3 第2题 课后完成练习. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共24张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第2课时 平方差公式
学习目标
能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算.
在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解平方差公式的几何意义，感知数形结合的思想.
在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法.
在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.
平方
差公式
复习回顾
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘
(a+b)(p+q)
=ap+aq+bp+bq
多项式与多项式相乘的法则
计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？
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探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
x2 1
m2 4
4x2 1
观察上面的等式，你能发现什么规律？
下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
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探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
x2 1
m2 4
4x2 1
均为相同的两个数的和、两个数的差的形式.
相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？
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探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
x2 1
m2 4
4x2 1
两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.
x2 12
m2 22
(2x)2 12
(2x)2 12
m2 22
x2 12
根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.
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探究
(x+1)(x 1)= ；
(m+2)(m 2)= ；
(2x+1)(2x 1)= .
猜想
(a+b)(a b)=a2 b2
你能对发现的规律进行推导吗？
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探究
猜想
(a+b)(a b)=a2 b2
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
你能对发现的规律进行推导吗？
创设情境
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探究
猜想
(a+b)(a b)=a2 b2
(a+b)(a b)
=a2 ab+ab b2
=a2 b2
多项式乘法法则
合并同类项
(a+b)(a b)=a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式
符号语言
文字语言
你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？
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思考
b
a
a
b
b
小组合作
1.独立思考，完成验证；
2.四人一组，交流思路，完善过程.
3.学生分组展示过程.
S1
S2
S3
S4
你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？
创设情境
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探究新知
思考
b
a
a
b
b
a
a
b
b
S1
S3
S4
b
a
S1
S2
S2=S3
S1+S3
=a2 b2
S1+S2
a b
=(a+b)(a b)
(a+b)(a b)=a2 b2
几何意义
是否还有其它的剪拼方法来证明？
延伸
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归纳
平方差公式
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(a+b)(a b)=a2 b2
相同项
相反项
(相同项)2 (相反项)2
平方差公式的特征
等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
做一做
判断下列式子是否能用平方差公式计算：
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(1) (a+2b)( a 2b)
(2) (a 2b)(2b a)
(3) (2a b)( b+2a)
(4) (a 3b)(a+3b)
(5) ( 2x+3y)(3y 2x)
不能
不存在相同的项
不能
不存在相同的项
不能
不存在相反的项
能
a2 (3b)2
= a2+9b2
不能
不存在相反的项
符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算.
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典型例题
【例1】利用乘法公式计算：
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(1) 1999×2001； (2) (x+3)(x 3)(x2+9).
(1) 1999×2001
=(2000 1)×(2000+1)
=20002 12
=3 999 999
解：
(2) (x+3)(x 3)(x2+9)
=(x2 9)(x2+9)
=x4 81.
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典型例题
【例2】计算：
创设情境
(1) (a+b+c)2 ； (2) (a b)3.
(1) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
解：
(2) (a b)3
=(a b) (a b)2
=(a b)(a2 2ab+b2)
=a3 2a2b+ab2 a2b+2ab2 b3
=a3 3a2b+3ab2 b3.
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随堂练习
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1. 利用乘法公式计算：
(1) (2a+5b)(2a 5b)； (2) ( x 3)( x+3)；
(3) (y 2x)( 2x y)； (4) (xy+1)(xy 1).
(1) (2a+5b)(2a 5b)
=(2a)2 (5b)2
=4a2 25b2
解：
(2) ( x 3)( x+3) =( x)2 9
= x2 9
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1. 利用乘法公式计算：
(1) (2a+5b)(2a 5b)； (2) ( x 3)( x+3)；
(3) (y 2x)( 2x y)； (4) (xy+1)(xy 1).
(3)(y 2x)( 2x y)
=( 2x)2 y2
=4x2 y2
解：
(4) (xy+1)(xy 1)
=(xy)2 1
=x2y2 1
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2. 利用乘法公式计算：
(1) 598×602； (2) 9992.
(1) 598×602
=(600 2)× (600+2)
=6002 22
=359 996
解：
(2) 9992
=(1000 1)2
=10002 2000+12
=998 001
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3. 计算：
(1) (a+b)3 ； (2) (x 5)3.
(1) (a+b)3
=(a+b) (a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3.
解：
(2) (x 5)3
=(x 5) (x 5)2
=(x 5)(x2 10x+25)
=x3 10x2+25x 5x2+50x 125
=x3 15x2+75x 125.
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4. 计算：(a b c)2
解：
(a b c)2
=[(a b) c]2
=(a b)2 2(a b)c+c2
=a2 2ab+b2 2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2 2ab 2ac+2bc.
平方差公式的特征：
平方差公式：
平
方
差
公
式
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两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.
等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
创设情境
(a+b)(a b)=a2 b2
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教科书第71页 习题8.3
第2题
再见
