第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第1课时
一、教学目标
1.掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
2.理解因式分解与整式乘法的互逆变形关系.
3.经历提公因式法分解因式，准确找出公因式，渗透化归思想.
4.培养学生分析、类比的思想，积累确定公因式的初步经验，体会因式分解的应用价值.
二、教学重难点
重点：掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
难点：经历提公因式法分解因式，准确找出公因式，渗透化归思想.
三、教学用具
教学课件.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【观察思考】 如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ 法一：ma+b+c 法二： ma+mb+mc 思考并回答问题. 回顾整式的乘法，引出因式分解的概念.
环节二 探究新知 【想一想】 把下列多项式写成整式的乘积的形式： （1）x +x=______;（2）x 1=______ 根据整式的乘法，可以联想得到： x +x=xx+1 x 1=x+1 x1 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 学生观察并独立思想. 根据整式的乘法，猜想问题(1)(2).
【做一做】 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有③⑥，若不是，请说明理由. 思考并回答. 通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念.
【做一做】 你能试着将多项式pa+pb+pc分解因式吗？ pa+pb+pc=pa+b+c x +x=xx+1 问题：观察以上两个多项式，它们有什么共同特点？ 分析：它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式 【做一做】 试确定3x3 – 6 x2y的公因式. 所以公因式是3x2. 【归纳】 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 【做一做】 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x+6y (2) ab-2ac (3) a 2-a 3 (4) 4 (m+n) 2 +2(m+n) (5) 9m 2n-6mn (6) -6x 2y-8xy 2 答案： (1) 3；(2) a；(3) a 2；(4) 2(m+n)；(5) 3mn；(6) -2xy 先独立思考，再分组探究交流. 了解公因式的概念，能准确找出公因式.
【归纳】 pa+pb+pc=pa+b+c 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 【做一做】 把8a b +12ab c分解因式. 分析： 字母：公共的字母a、b 数字：最大公约数4 指数：a、 a 、b 、b 因此，确定公因式： 4ab 解： 8a b +12ab c =4ab ·2a +4ab ·3bc =4ab (2a +3bc) 思考并回答问题. 让学生进一步理解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据，初步理解提公因式法分解因式.
环节三 应用新知 例1 把下列各式分解因式： (1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a. 答案： (1) 4m2 8mn =4m·m 4m·2n =4m(m 2n). (2) 3ax2 6axy + 3a =3a·x2 3a·2xy + 3a·1 =3a(x2 2xy + 1) 分析1：可用整式乘法检验因式分解的正确性. 分析2：当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1. 例2 把下列各式分解因式： (1) 2x(b+c)3y(b+c)； (2) 3n(x2)+(2x). 答案： (1) 2x(b+c)3y(b+c) =(b+c)(2x3y) (2) 3n(x2)+(2x) =3n(x2)(x2) =(x2)(3n1) 教师引导学生回答问题. 通过例题，了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤；积累找公因式的方法；知道提公因式法是把多项式分解成两个因式乘积的形式；用提公因式法分解因式后，保证含有多项式的因式中再无公因式.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.填空： (1) 6x 18x =___(x3)； (2) 7a +21a= 7a(____). 答案： (1)6x ；(2)a3. 2.把下列各式分解因式： (1) npnq； (2) x yx y +xy. 答案： (1) npnq =n(pq) (2) x yx y +xy = xy(x +xy1) 3.把下列各式分解因式： (1)3(a+b) +6(a+b)； (2) m(ab)n(ab)； (3) 6(xy) 3y(yx) ； (4) mn(mn)m(nm) ； 答案： (1) 3(a+b) +6(a+b) = 3(a+b)(a+b+2) (2) m(ab)n(ab) = (ab)(mn) (3) 6(xy) 3y(yx) = 3(xy) (2x3y) (4) mn(mn)m(nm) = m(mn)(2nm) 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过具有一定典型性、代表性和层次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法—提公因式法.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容. 通过小结，让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第78页 习题8.4 第1，2题 课后完成练习. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共19张PPT)
8.4 因式分解
第1课时
学习目标
掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
理解因式分解与整式乘法的互逆变形关系.
经历提公因式法分解因式，准确找出公因式，渗透化归思想.
培养学生分析、类比的思想，积累确定公因式的初步经验，体会因式分解的应用价值.
因式分解
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察思考
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m a+b+c
方法二： ma+mb+mc
m a+b+c =ma+mb+mc
整式的乘法
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
想一想
请把下列多项式写成整式的乘积的形式.
(1) x +x=________ (2) x 1 =________
根据整式的乘法，可以联想得到：
x +x=x x+1
x 1= x+1 x 1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，若不是，请说明理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
你能试着将多项式pa+pb+pc分解因式吗？
x +x=x x+1
pa+pb+pc=p a+b+c
观察以上两个多项式，它们有什么共同特点？
它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
做一做
试确定 3 x3 – 6 x2y 的公因式.
系数
最大公约数
3
字母
相同的字母
x2
所以公因式是3x2.
指数
相同字母的最低次幂
2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
做一做
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2) ab-2ac
(3) a 2-a 3
(4) 4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5) 9m 2n-6mn
(6) -6x 2y-8xy 2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
pa+pb+pc=p a+b+c
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公因式p与 a+b+c 的乘积
归纳
=4ab ·2a +4ab ·3bc
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
把8a b +12ab c分解因式.
=4ab (2a +3bc)
解： 8a b +12ab c
数字：最大公约数4
字母：公共的字母a、b
指数：a、 a 、b 、b
确定公因式： 4ab
分析：
例1 把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
(1) 4m2 8mn
=4m·m 4m·2n
=4m(m 2n).
(2) 3ax2 6axy + 3a
=3a·x2 3a·2xy + 3a·1
=3a(x2 2xy + 1)
解：
可用整式乘法检验因式分解的正确性.
当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
例2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)； (2) 3n(x 2)+(2 x).
(1) 2x(b+c) 3y(b+c)
=(b+c)(2x 3y)
(2) 3n(x 2)+(2 x)
=3n(x 2) (x 2)
=(x 2)(3n 1)
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.填空：
(1) 6x 18x =___(x 3)； (2) 7a +21a= 7a(____).
2.把下列各式分解因式：
(1) np nq； (2) x y x y +xy.
(1) np nq
=n(p q)
(2) x y x y +xy
= xy(x +xy 1)
解：
6x
a 3
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3.把下列各式分解因式：
(1)3(a+b) +6(a+b)； (2) m(a b) n(a b)；
(3) 6(x y) 3y(y x) ； (4) mn(m n) m(n m) ；
(1) 3(a+b) +6(a+b)
= 3(a+b)(a+b+2)
(2) m(a b) n(a b)
= (a b)(m n)
解：
(3) 6(x y) 3y(y x)
= 3(x y) (2x 3y)
(4) mn(m n) m(n m)
= m(m n)(2n m)
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
概念：
提公因式法
提公因式法的一般步骤：
因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式.
公因式：它们的各项都有一个公共的因式，我们把公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
1.找出公因式.
2.提公因式并确定另一个因式.
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
布置作业
课堂小结
教科书第78页 习题8.4
第1，2题
再见第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第2课时
一、教学目标
理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.
能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.
经历把平方差公式和完全平方公式反过来探索平方差公式法和完全平方公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，发展逆向思维的能力．
培养学生灵活运用公式，勇于探索科学规律的意识.
二、教学重难点
重点：理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.
难点：能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.
三、教学用具
教学课件.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 1.什么叫因式分解？ 把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做因式分解. 2.因式分解与整式乘法的关系？ 互逆. 3.怎样找公因式？ (1)对于系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数； (2)对于字母，取各项相同的字母，且各相同字母的指数取次数最低的. 【教学建议】引导学生回顾因式分解与公因式的相关概念，为本节课讲解公式法做铺垫. 思考并回答问题. 回顾因式分解的相关概念，为本节课学习公式法做铺垫.
环节二 探究新知 【合作探究】 下列多项式如何分解因式？能不能用提公因式法？ (1) x2+6x+9； (2) y2-25. 【合作探究】 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a b)2=a2 2ab+b2 平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法. 【合作探究】 理解完全平方公式： (1) 完全平方式的结构特征是什么？ 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项. (2) 两个平方项的符号有什么特点？ 两个平方项的符号同为正. (3) 中间的一项是什么形式？ 中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限． 【合作探究】 下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 1a 4a4 214a 3 4b 4b1 4 a abb 分析： 1是； 2不是，只有两项； 3不是，平方项符号不一致； 4不是，ab项没有系数2. 【合作探究】 理解平方差公式： (1) 平方差公式的结构特征是什么？ 平方差公式必须是二项式，且每一项都为平方项. (2) 两个平方项的符号有什么特点？ 两个平方项的符号相反. 【合作探究】 下列多项式能否用平方差公式因式分解？为什么？ 1x y 2x y 3 x y 4 x y 分析： 1不是，这是两数平方和； 2是； 3是； 4不是，这是两数平方和的相反数. 判断依据：1. 各项能否写成平方项； 2. 确定两数平方是否相减. 【合作探究】 现在你能将下列多项式分解因式吗？ (1) x2+6x+9； (2) y2-25. 注意：公式中的a，b可以表示数、单项式、多项式. 【教学建议】引导学生观察思考，小组合作交流，归纳总结出平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征. 小组交流合作，思考并积极回答问题. 经历把平方差公式和完全平方公式反过来，探索平方差公式法和完全平方公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，发展逆向思维的能力．
环节三 应用新知 例1 把下列各式分解因式： (1) x2+14x+49； (2) 9x230ab+25b2； (3) y281； (4) 36a225b2. 答案： (1) x2+14x+49 =x2+2·x·7+72 =(x+7)2 (2) 9x230ab+25b2 =(3a)22×3a×5b+(5b)2 =(3a5b)2 (3) y281 =y2-92 =(y+9)(y9) (4) 36a225b2 =(6a)2(5b)2 =(6a+5b)(6a5b) 例2 把下列各式分解因式： (1) ab2ac2； (2) 3ax2+24axy+48ay2. 答案： (1) ab2ac2 =a(b2c2) (提取公因式) =a(b+c)(bc) (用平方差公式) (2) 3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) (提取公因式) =3a(x+4y)2 (用完全平方公式) 【教学建议】教师适当引导，学生自主完成. 教师引导学生回答问题. 通过例题，了解公式法分解因式的基本程序和步骤.运用所学知识解决问题，巩固学生对知识的认识与理解.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A.a2+1 B. a26a9 C. x25y D. x25y 答案：B 2.多项式4aa3分解因式的结果是 A.a(4a2) B. a(2a)(2+a) C. a(a2)(a+2) D. a(2a)2 答案：B 3.把下列各式分解因式： (1)16a29b2=__________ (2)2a2+2b24ab=_______ (3)2x28=_____________ (4)a4+16=____________ 答案： (1)4a+3b4a3b (2)2(ab) 2 (3)2(x+2)(x2) (4)(4+a2)(2+a)(2a) 【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并给与指导，根据学生完成情况适当分析讲解. 自主完成练习，然后集体交流评价. 进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 【教学建议】教师可以提问学生总结所学内容，提高学生的总结能力和表达能力. 回顾本节课所讲的内容. 通过小结，让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书 第78页 习题8.4 第4题、第5题 课后完成练习. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共16张PPT)
8.4 因式分解
第2课时 公式法
学习目标
公式法
理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.
能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.
经历把平方差公式和完全平方公式反过来探索平方差公式法和完全平方公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，发展逆向思维的能力．
培养学生灵活运用公式，勇于探索科学规律的意识.
1.什么叫因式分解？
把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做因式分解.
2.因式分解与整式乘法的关系？
互逆.
3.怎样找公因式？
(1)对于系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
(2)对于字母，取各项相同的字母，且各相同字母的指数取次数最低的.
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
复习回顾
(1) x2+6x+9；
(2) y2-25.
下列多项式如何分解因式？能不能用提公因式法？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法.
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
理解完全平方公式：
完全平方式的结构特征是什么？
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项.
(2) 两个平方项的符号有什么特点？
两个平方项的符号同为正.
(3) 中间的一项是什么形式？
中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
1 a 4a 4
下列多项式是不是完全平方式？为什么？
2 1 4a
3 4b 4b 1
4 a ab b
a 4a 4 (a 2)
不是，只有两项
不是，平方项符号不一致
不是，ab项没有系数2
理解平方差公式：
平方差公式的结构特征是什么？
平方差公式必须是二项式，且每一项都为平方项.
(2) 两个平方项的符号有什么特点？
两个平方项的符号相反.
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
1 x y
下列多项式能否用平方差公式因式分解？为什么？
2 x y
3 x y
4 x y
这是两数平方和；
x y =(x+y)(x y)；
x y =(y+x)(y x)；
这是两数平方和的相反数.
判断依据：1. 各项能否写成平方项；
2. 确定两数平方是否相减.
(1) x2+6x+9；
(2) y2-25.
现在你能将下列多项式分解因式吗？
分析： (1) x2+6x+9
= x2 2·x·3 32
a2 + 2·a·b b2 =(a+b)2
=(x+3)2
分析： (2) 4x2-9
2x 2 32
2x+3 2x 3
a2 b2 (a + b)(a b)
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
注意：公式中的a，b可以表示数、单项式、多项式.
(1) x2+14x+49；
(3) y2-81；
例1 把下列各式分解因式：
(1) x2+14x+49
=x2+2·x·7+72
=(x+7)2
(3) y2-81
=y2-92
=(y+9)(y-9)
(2) 9x2-30ab+25b2；
(4) 36a2-25b2.
(2) 9x2-30ab+25b2
=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2
=(3a-5b)2
(4) 36a2-25b2
=(6a)2-(5b)2
=(6a+5b)(6a-5b)
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
(1) ab2-ac2；
例2 把下列各式分解因式：
(1) ab2-ac2
=a(b2-c2) (提取公因式)
=a(b+c)(b-c) (用平方差公式)
(2) 3ax2+24axy+48ay2.
(2) 3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2) (提取公因式)
=3a(x+4y)2 (用完全平方公式)
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A.a2+1 B. a2 6a 9 C. x2 5y D. x2 5y
B
2.多项式4a a3分解因式的结果是
A.a(4 a2) B. a(2 a)(2+a) C. a(a 2)(a+2) D. a(2 a)2
B
3.把下列各式分解因式：
(1)16a2 9b2=______________
4a+3b 4a 3b
(2)2a2+2b2 4ab=_______
2(a b) 2
(3)2x2 8=__________
2(x+2)(x 2)
(4) a4+16=______________
(4+a2)(2+a)(2 a)
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
公式法：
运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法.
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
平方差公式：
(a+b)(a b)=a2 b2
公式法
布置作业
教科书 第78页 习题8.4
第4题、第5题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
