1．下列语句中命题的个数是 ( )
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①③④是命题；②不能判断真假，不是命题．
答案：D
2．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是 ( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
答案：C
3．下面的命题中是真命题的是 ( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；
当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；
当·>0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
答案：B
4．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
5．有下列语句：①集合{a，b，c}有3个子集；②x2－1≤0；③今天天气真好啊；④f(x)＝2log3x(x>0)是一个对数函数；⑤若A∪B＝A∩B，则A＝B.其中真命题的序号为________．
解析：①是命题，但不是真命题，因为{a，b，c}应有8个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题，f(x)＝2log3x不是一个对数函数；⑤是命题且是真命题．
答案：⑤
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”条件p：________，结论q：______.它是________命题(填“真”或“假”)
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么。
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”.它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”.它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
8．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B＝?是假命题，求实数m的取值范围．
解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1或m≥}．
若设方程x2－4mx＋(2m＋6)＝0的两根分别为x1,x2，则当两根均为非负实根时，有
解得m≥.
而{m|m≥}关于U的补集是{m|m≤－1}，
∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
1．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的 ( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．等价命题
解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．
答案：B
2．命题“若x2<1，则－1
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D正确．
答案：D
3．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题;逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题;否命题“若a≤b，则ac2≤bc2(a，b，c∈R)”为真命题;逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．
答案：B
4．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是 ( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”,为真.
②否命题为“不全等的三角形不相似”,为假.
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”.
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.
∴其逆命题是假命题。
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：D
5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中,真命题的个数是________，假命题的个数是________．
解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．
答案：2 2
6．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1答案：[1,2]
7．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假．
解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0；真命题.
否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1;真命题.
逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0;真命题.
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a,b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
若a＋b<0，则
f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
所以假设不成立，故a＋b≥0.
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 ( )
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
答案：B
2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2?(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.
答案：A
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲.
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙?乙，但乙 丙,如图．
综上,有丙?甲，但甲 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由已知得綈p：－1≤x≤1，綈q：－2≤x≤1，所以綈p是綈q的充分不必要条件．
答案：A
5．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．
解析：直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切?圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于?＝?|m＋2|＝2?m＝－4或0.
答案：m＝－4或0
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即AB.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[－，2]}，B＝{x||x－m|≥1}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：先化简集合A，由y＝x2－x＋1，配方，得
y＝(x－)2＋.
∵x∈[－，2]，
∴y∈[，2]．
∴A＝{y|≤y≤2}．
由|x－m|≥1，
解得x≥m＋1或x≤m－1.
∴B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．
∵命题p是命题q的充分条件，
∴A?B.
∴m＋1≤或m－1≥2，解得m≤－或m≥3.
实数m的取值范围是(－∞，－]∪[3，＋∞)．
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).当n＝1时,上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，∴q＝－1，
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
1．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当p或q为真时，可以得到p和q中至少有一个为真，这时q且p不一定为真；反之当q且p为真时，必有p和q都为真，一定可得p或q为真．
答案：B
2．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1].在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“非p”中，真命题的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：p为真命题.对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，
∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，非p假．
答案：B
3．已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题 “p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：命题p是真命题.y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题．
∴p且q为假，p或q为真，綈p为假．
答案：B
4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.
在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是 ( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：∵y＝2x在R上为增函数，y＝2－x＝()x在R上为减函数，
∴y＝－2－x＝－()x在R上为增函数，
∴y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．
y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．
∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D.
q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，
(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.
答案：C
5．已知p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假?a≤0，q假?a≥b，则b≤a≤0.
答案：b≤a≤0
6．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
7．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q” “p∧q” “綈p”形式的新命题，并判断其真假：
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：??{0}；q：?＝{0}．
解：(1)p∧q：6是自然数且是偶数.它是真命题．
p∨q：6是自然数或是偶数.它是真命题．
綈p：6不是自然数.它是假命题．
(2)p∧q：??{0}且?＝{0}.它是假命题．
p∨q：??{0}或?＝{0}.它是真命题．
綈p：?{0}.它是假命题．
8．已知a>0，a≠1.设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
解：当0当a>1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p真时0q真等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.
又a>0，∴0.
∵p或q为真，p且q为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
(1)若p真，q假，
则
?≤a<1，
即a∈[，1)．
(2)若p假，且q真，
则
?a>，
即a∈(，＋∞)．
综上可知，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
1．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是 ( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
解析：由命题是特称命题，排除C、D；在A中，当α＝45°时，结论正确；B中，>1，∴不存在x0，使sin x0＝.
答案：A
2．下列命题中的假命题是 ( )
A．?x∈R,2x＋1>0
B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1
D．?x0∈R，tan x0＝2
解析：B中，当x＝1时，(x－1)2＝0，∴B不正确，是假命题．
答案：B
3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是 ( )
A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．?x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0
C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．?x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0
解析：B，D为特称命题；C中改变了x，y的取值范围，都不正确；只有A正确．
答案：A
4．有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x0∈N，x≤x0；④?x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，这是全称命题，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
答案：C
5．下列命题中，________是全称命题；________是特称命题．
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
解析：①②③为全称命题，④为特称命题．
答案：①②③ ④
6．下列语句是真命题的是________(填序号)．
①所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立；②存在一个实数x0,使不等式x－3x0＋6<0成立；③存在一个实数x0，使x－3x0＋6＝0.
解析：∵x2－3x＋6=0中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，
∴x2－3x＋6＝0无解，x2－3x＋6>0恒成立．
∴①正确，②③错误．
答案：①
7．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a,b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x0,y0，使得3x0－2y0＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0；真命题.
(2)?a、b∈R，ax＋b＝0恰有一解;假命题.
(3)?x0、y0∈Z,3x0－2y0＝10;真命题.
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数;真命题．
8．确定m的范围，使下列命题为真命题．
(1)?x∈R，sin x＋cos x>m；
(2)?x0∈R，sin x0＋cos x0>m.
解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R.
∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m为真命题，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R.
∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[－，],
又∵?x0∈R，sin x0＋cos x0>m为真命题，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
1．已知命题p：?x∈R，cos x≤1，则 ( )
A．綈p：?x0∈R，cos x0≥1
B．綈p：?x∈R，cos x≥1
C．綈p：?x0∈R，cos x0>1
D．綈p：?x∈R，cos x>1
解析：全称命题的否定为特称命题，
∴?x∈R，cos x≤1的否定为：?x0∈R，cos x0>1.
答案：C
2．下列命题中，真命题是 ( )
A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．
答案：A
3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是 ( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：C
4．已知命题p：对?x∈R，?m∈R,使4x＋2xm＋1＝0．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是 ( )
A．[－2,2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
解析：因为綈p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．
由4x＋2xm＋1＝0
得－m＝＝2x＋≥2.
∴m≤－2.
答案：C
5．命题“?x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．
解析：“?x∈M，p(x)”的否定是“?x0∈M，綈p(x0)”，
∴其否定为：?x0∈R，x－x0＋4≤0.
答案：?x0∈R，x－x0＋4≤0
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题 “有的向量与零向量不共线”．
答案：有的向量与零向量不共线
7．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像．
(3)有些四边形存在外接圆．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) ?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) ?x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) ?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
8．已知命题p： ?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q： ?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：对于命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0恒成立，即a≤1；
对于命题q：?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0成立，
则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.
若p且q为真，则a≤－2或a＝1.
故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
