(共18张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
情境引入
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
(1)h和t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法 与同伴进行交流.
-2
2 4 6 8
(1)h和t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
解: 是二次函数h=－5t2＋40t．
解: 8s. 可以利用图象，也可以解方程 －5t2＋40t=0
-2
4 6 8
分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的 解,然后写成点的坐标.
与x轴交点:
（-2，0）和（0，0）
与x轴交点:
（1，0）
与x 轴无交点
思考探究
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根
验证一下,一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗
观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
归纳整理:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
1.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）球经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t2＋19.6t=0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
深入理解
（3）对于h=－4.9t2＋19.6t 球落地意味着h=0, 即
－4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
（5）解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米
图上表示为抛物线与直线h=14.7 的交点的横坐标.
（4） 方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐标.
解：（1）t=1时，h=14.7
（2）∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程 它们的关系如何
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm 你是如何知道的
解: 在h=-5t2+v0t+h0中, 令h=60
解得x1=2 , x2=6
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程.
2. 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的取值范围.
错解：
由△=（－7）2－4×k×（－7）
=49＋28k＞0，
得k＞－ ．
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有交点，所以应为△≥0．
正确解法：
此函数为二次函数，
∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ ，即k≥－ 且k≠0
(1)抛物线y=-3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为
(2)抛物线y=x2－2x＋3与x轴的交点个数为 个．
(3)抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=___
(2,0) (-5,0)
0
8
3.填空
(4)二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个
交点，则k 的取值范围 ．
(5)若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 经过 象限．
一、二、三
且
(6)若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为正，则需满足 ，若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为负，则需满足 ．
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程.
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业(共19张PPT)
第 二 章 二次函数
九年级数学 下 BS
5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数解一元二次方程
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
情境引入
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
借助计算器确定方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
如何更准确估计近似值？
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
(2) 作直线y=3；
运用新知
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为
-4.7和2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3
的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(如何更准确估计近似值？)
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.;
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
创新解法
利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.
(1)用描点法作二次函数y=3x2-x-1的图象；
(2)观察估计二次函数y=3x2-x-1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在0与1之间,分别约为-0.4和0.8.
(3)确定方程3x2-x-1=0的解;
方程3x2-x-1=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈0.8.
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数y=-2x2+4x+1的图象；
(2)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2.
(3)确定方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2,x2≈2.2.
一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
归纳小结
观察二次函数 的图象：
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
N
M
你能确定一元二次方程
的根吗？
运用新知
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
判断二次函数 图象与x轴交点坐标是什么？
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
N
M
根据一元二次方程 的根的情况，
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
x
y
4
根据一元二次方程 的根的情况，判断二次函数 图象与x轴的位置关系。
问题：一元二次方程的根与图象和x轴交点坐标有什么关系？
方程x2-2x-3=0中△>0,方程有两个实根，二次函数y=x2-2x-3与x轴有两个交点（函数图象与x轴相交）
方程x2-2x+1=0中△=0,方程有两个等根，二次函数y=x2-2x＋1与x轴有一个交点（函数图象与x轴相切）
方程x2-2x＋3=0中△<0,方程没有实根，二次函数y=x2-2x＋3与x轴有没有交点（函数图象与x轴相离）
能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗？
探究思考
当a>0时，方程ax2+bx+c=0的根与函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系
ax2+bx+c=0（a>0）
y=ax2+bx+c
(a>0)
△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0
x
y
o
.
.
x
y
o
x
y
o
方程无实数根
联想思考
1、方程 的根是 ；则函数
的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
-5，1
2
（-5，0）、（1，0）
2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
1
（5，0）
当堂练习
4、已知二次函数y=x2-3x+2k的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围．
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）
D
解：根据题意，得△=b2-4ac＞0，即 （-3）2-4×1×2k＞0， 解得：k＜ ．
完成本课时的习题。
课后作业
