28.2 二次函数与一元二次方程
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一、选择题
1、［中］已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
［思路分析］由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与x轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解m值．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），
∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），
令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴m＝＝2．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定P1，P2，P3点的位置是解题的关键．
2、［中］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
［思路分析］根据二次函数图像和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0．
∴abc＞0．
∴A不合题意．
∵抛物线过点A（1，0）．
∴a+b+c＝0．
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴B符合题意．
由图知：当x＝2时，y＜0．
∴4a+2b+c＜0．
∴C不合题意．
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0．
∴D不合题意．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．
3、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
［思路分析］由表格可以得到二次函数图象经过点点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
［答案详解］解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac＝＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为，
即为x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c＝＝＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
4、［较难］如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
［思路分析］根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
［答案详解］解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），
令a（x+）（x﹣）＝，
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如图，作y＝，
由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣，
∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，
∴c＝﹣a，b＝﹣2a，
∴≤﹣，
解得：a≥，故⑤错误；
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
5、［较难］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a＜0，b＞0，c＞0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（﹣2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1 x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a＝﹣，即可判断③正确；根据a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1），所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ＝AB＝2+2b，得P（2b，2b+2），且2b+2＜b2+2b+1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判断④正确．
［答案详解］解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴＜0．故①正确；
②把B（2c，0）代入解析式，得：
4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b+1＝0，
即2b+4ac＝﹣1，故②正确；
③∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），
∴x1＝﹣2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1 x2＝＝（﹣2）×（2c）＝﹣4c，
∴a＝﹣．故③正确；
④∵a＝﹣，2b+4ac＝﹣1，
∴c＝2b+1．
故原抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，Q是AB中点，
∴PQ＝AB＝[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜﹣1，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．
6、［中］抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而可判断①②，由二次函数图象平移的规律可判断③，令y＝0可得抛物线与x轴交点横坐标，从而判断④．
［答案详解］解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣9），
∴x＝2时，y取最小值﹣9，①正确．
∵x＞2时，y随x增大而增大，
∴y2＞y1，②正确．
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，③错误．
令（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴5﹣（﹣1）＝6，④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7、［中］如图，一条抛物线与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）（点A位于点B的左侧），顶点C在折线E﹣F﹣G上移动，点E，F，G的坐标分别为（1，4），（﹣3，4），（﹣3，1）．若x1的最小值为﹣4，则x2的取值范围是（ ）
A．﹣≤x2≤2 B．﹣2≤x2≤2 C．﹣2≤x2≤3 D．﹣3≤x2≤2
［思路分析］抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当抛物线顶点平移到F点时，由已知x1的最小值为﹣4，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；当抛物线顶点平移到E点时，当顶点C位于F点时，当顶C位于G点时，分别求得抛物线与x轴的交点坐标，即可求解．
［答案详解］解：当抛物线顶点平移到F点时，由已知x1的最小值为﹣4，
根据顶点式，此时该抛物线的解析式为：y＝a （x+3）2+4，
把（﹣4，0）代入得：0＝a（﹣4+3）2+4，
解得：a＝﹣4，
则当抛物线顶点平移到E点时，抛物线的解析式为：y＝﹣4 （x﹣1）2+4，
令y＝0，即﹣4（x﹣1）2+4＝0，
解得：x＝0或x＝2，
则此时抛物线与x轴的交点为（0，0）或（2，0）；
当顶点C位于F点时，抛物线的解析式为：y＝﹣4 （x+3）2+4，
令y＝0，同理求得此时抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）或（﹣2，0）；
当顶点C位于G点时，抛物线的解析式为：y＝﹣4 （x+3）2+1．
令y＝0，同理求得此时抛物线与x轴的交点为（﹣，0）或（﹣，0），
∵点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标分别为（2，0）、（﹣2，0）． （﹣，0），
即﹣≤x2≤2，
故选：A．
［经验总结］考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是坐标．注意抛物线顶点所处的F、E、G两个关键位置．
8、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 0 ﹣1 m 4 …
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
［思路分析］根据表格中的数据，可以得到该抛物线的对称轴和顶点坐标，再观察表格中的数据，即可得到该函数图象开口方向，从而可以判断A；判断当x＜3时，y随x的增大如何变化，从而可以判断B；当y＞0时x的取值范围，从而可以判断C；写出方程ax2+bx+c＝0的根，从而可以判断D．
［答案详解］解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，
∴顶点坐标为（1，﹣1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题
9、［中］若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
［思路分析］根据二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，得b2﹣4ac＞0，列不等式，解出即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，
∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，
故答案为：k＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点、二次函数的性质的综合应用，根得判别式的应用是解题关键．
10、［中］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象和性质判断即可
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
若n＞0，则抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4，故②正确；
∵一元二次方程ax2+bx+c＝p的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p的交点的横坐标，
当交点横坐标为整数时，有无数个p值，
故③错误．
当a＜0，a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＞0，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∵x1＜x2，
∴x1＜1＜x2，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
当a＞0时，
a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＜0，
∴x2﹣1＜1﹣x1，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
∴④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数对图象和性质的作用是求解本题的关键．
11、［中］小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由等腰直角三角形的性质及顶点坐标可得抛物线与x轴的交点坐标，从而判断②，由x1+x2＞2m可得＞m，再根据抛物线开口方向及对称轴可判断③，由抛物线开口方向及对称轴可判断④．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴二次函数顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴s+t＝m+（﹣m+1）＝1，①正确．
∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1开口向下，顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴顶点到x轴的距离为﹣m+1，
∵抛物线对称轴为直线x＝m，m+（﹣m+1）＝1，
∴抛物线经过（1，0），
∴0＝﹣（1﹣m）2﹣m+1，
解得m＝0或m＝1（舍），
∴②正确．
∵x1+x2＞2m，
∴＞m，
∵抛物线开口向下，
∴点A到对称轴距离小于点B到对称轴距离，
∴y1＞y2.③错误．
∵﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝m，
∴m≥3，④正确．
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12、［中］如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
［思路分析］由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
［答案详解］解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
13、［中］如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 ．
［思路分析］将不等式转化为函数图象的位置关系求解．
［答案详解］解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．
由图知，图象在点A，B之间，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式，将不等式转化为函数的上下关系是求解本题的关键．
14、［中］抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤﹣；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤﹣．
其中正确的结论是 （填写序号）．
［思路分析］把AB两点的坐标代入函数解析式即可判断①正确；由平行于坐标轴直线上两点之间的距离的几何意义即可判断②；由于C、D是抛物线与x轴的交点，有根与系数的关系和CD≤6，可以判断③；x＝4时，y＝3，3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，y对应得整数值为：3，4，5，结合图象，可以判断④．
［答案详解］解：①将A、B两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
则：，
解得：，
故①正确；
②∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴x1距离x＝2比x2距离x＝2更远，
如图：
从图中可以看出x距离x＝2越远对应的函数值越小，
故y1＜y2，
故②错误；
③∵a＜0，
设C（x3，0）、D（x4，0），
则由根与系数的关系得：x3+x4＝4，x3 x4＝，
∴|x3﹣x4|＝＝＝≤6，
解得：a≤﹣，
故③正确；
④由题意知：x＝4时，y＝3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x＝3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a﹣12a+3＜6，
解得：﹣1＜a≤﹣，
故④正确．
故答案为：①③④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数图象和性质的掌握和运用．
15、［中］已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
［思路分析］先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
［答案详解］解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），
∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，
∴2+2＝2（﹣2+2），
∴n＝8，
故答案为：8．
［经验总结］此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
16、［中］已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为 ．
［思路分析］根据抛物线与x轴的交点坐标可以直接写出抛物线交点式方程，然后利用二次函数与一元二次方程的关系求得答案．
［答案详解］解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．
∴x+2＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
三、解答题
17、［中］如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）已知P（t，m）和Q（4，n）是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围．
（3）请结合函数图象，直接写出不等式﹣x+2≥x2+bx的解集．
［思路分析］（1）将y＝0代入直线解析式求出点A坐标，从而可得b的值，进而求解．
（2）将点Q坐标代入抛物线解析式求出n的值，根据抛物线开口方向及对称轴求解．
（3）令x2﹣2x＝﹣x+2，求出点B，A的横坐标，结合图象求解．
［答案详解］解：（1）将y＝0代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝0，
解得x＝2，
∴A的坐标为（2，0），
∴4+2b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1，
∴顶点坐标为（1，﹣1）．
（2）将（4，n）代入y＝x2﹣2x得n＝16﹣8＝8，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴（4，8）关于对称轴的对称点坐标为（﹣2，8），
∵m＜8，抛物线开口向上，
∴﹣2＜t＜4．
（3）令x2﹣2x＝﹣x+2，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴点B横坐标为﹣1，点A横坐标为2，
由图象可得﹣1≤x≤2时﹣x+2≥x2+bx．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
18、［中］如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
［思路分析］（1）先利用一次函数求出B、C坐标，设点A （m，0），求出点D（+，﹣m+），根据SABD＝4，列出方程（3﹣m）（﹣m+）＝4求出m的值，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，先证∠OCB＝∠OBC＝45°，利用平行线性质求出∠PEF＝∠OCB＝45°，利用三角函数得出PF＝PExsin45°＝PE，点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3）则点E（x，﹣x+3），求出PE＝﹣（x﹣）2+即可．
［答案详解］解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，
∴C（0，3），B（3，0），
设点A（m，0），
∴抛物线对称轴为x＝（3+m），
∴点D（+，﹣m+），
∵S△ABD＝4，
∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，
解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），
∴点A（﹣1，0），
将A，B，C三点坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，
∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PE∥OC，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE×sin45°＝PE，
∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，
设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），
∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝时，PE最大值为，
∴PF最大＝PE最大＝×＝，
∴点P到直线BC的距离的最大值为．
［经验总结］本题考查一次函数与两轴的交点坐标，等腰三角形面积，一元二次方程，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，两点距离，二次函数的性质，本题难度一般，是常考题型．
19、［中］已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
［思路分析］（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；
（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．
［答案详解］解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴，，
解得，，
∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．
②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．
（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），
∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），
当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，
当抛物线顶点在线段AB下方时，
当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a＝，
当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a＝，
∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为≤a＜或a＝3．
［经验总结］本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
20、［中］二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+t＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围 ．
［思路分析］（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）把关于x的一元二次方程x+2x+1＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2+2x+t（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围与x轴有交点，画图判断即可．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝﹣1，
∴．
∴b＝2，
故二次函数解析式为y＝x2+2x．
（2）已知b＝2，关于x的一元二次方程x2+bx+t＝0变形为x2+2x+t＝0，
把关于x的一元二次方程x2+2x+t＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2+2x+t（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围与x轴有交点，
∴Δ＝22﹣4t≥0；且x＝﹣4时，y＞0，且x＝3时，y＞0．
即
解得﹣8＜t≤1．
故t的取值范围﹣8＜t≤1．
［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，理解一元二次方程和二次函数之间的关系是解题的关键．
21、［中］已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
［思路分析］（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
［答案详解］解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
22、［中］已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
［思路分析］（1）先根据判别式的值得到Δ＝1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先解方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据OA+OB＝5得出|k|+|k+1|＝5，再根据绝对值的意义取绝对值求k的值即可．
［答案详解］（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB＝5，
∴|k|+|k+1|＝5，
①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，
解得：k＝﹣3；
②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，
解得：k＝2．
综上所述，k的值为﹣3或k＝2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点和绝对值的意义，解题关键是求出一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两个根．
23、［中］设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
［思路分析］（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
［经验总结］本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
24、［中］已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
［思路分析］（1）当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，可得对称轴为直线x＝﹣4，且抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；
（2）由r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，可得r2+8r+1＝0，r2+1＝﹣8r，两边平方得（r2+1）2＝（﹣8r）2，r4+2r2+1＝64r2，即可得结果r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r4﹣62r2+1＝0，即r7﹣62r5+r3＝0，而m﹣1＝﹣1＝，再由r2+8r+1＝0，判断r＜0，r9+60r5﹣1＜0，故＞0，从而m＞1．
［答案详解］（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
［经验总结］本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r和r9+60r5﹣1的符号．28.2 二次函数与一元二次方程
— 能力提升 —
一、选择题
1、［中］已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2、［中］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
3、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
4、［较难］如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、［较难］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a＝﹣；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、［中］抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
7、［中］如图，一条抛物线与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）（点A位于点B的左侧），顶点C在折线E﹣F﹣G上移动，点E，F，G的坐标分别为（1，4），（﹣3，4），（﹣3，1）．若x1的最小值为﹣4，则x2的取值范围是（ ）
A．﹣≤x2≤2 B．﹣2≤x2≤2 C．﹣2≤x2≤3 D．﹣3≤x2≤2
8、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 0 ﹣1 m 4 …
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
二、填空题
9、［中］若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
10、［中］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 ．
11、［中］小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
12、［中］如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
13、［中］如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 ．
14、［中］抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤﹣；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤﹣．
其中正确的结论是 （填写序号）．
15、［中］已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
16、［中］已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为 ．
三、解答题
17、［中］如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）已知P（t，m）和Q（4，n）是抛物线上两点，且m＜n，求t的取值范围．
（3）请结合函数图象，直接写出不等式﹣x+2≥x2+bx的解集．
18、［中］如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
19、［中］已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
20、［中］二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+t＝0（t为实数）在﹣4＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围 ．
21、［中］已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
22、［中］已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
23、［中］设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
24、［中］已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
