§2．5 用三种方式表示二次函数[下学期]

第七课时 §2．5 用三种方式表示二次函数
教学目标
知识与能力
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题；能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
过程与方法
经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．通过解决用二次函数所表示的问题及二次函数的三种表示方式的特点的研究，培养求同求异思维和应用数学意识．
情感与价值观要求
通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣；初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．
教学重、难点
变量之间的二次函数关系表示及应用二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
教学过程
创设情境，引发探究
函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：
x(千克) 0 0．5 1 1．5 2 2．5 3
y(元) 0 1 2 3 4 5 6
这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好
探究新知、学习新课
一、试一试
长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．y随x变化而变化的规律是什么 你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗
(1)用函数表达式表示：y= .
(2)用表格表示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y
(3)用图象表示：
[生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为：
y＝x(10-x)=-x2+10x
(2)表中第二行从左至右依次填9、8、7、6、5、
4、3、2、1；第三行从左至右依次填9、16、21、24、25、24、21、16、9.
(3)图象如右图．
开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢
函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x的图象，就不是在第一象限作图象了
二、议一议
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么
(2)当x取何值时，长方形的面积最大 它的最大面积是多少 你是怎样得到的 请你描述一下y随x的变化而变化的情况．
(1)因为x是边长，所以x应取正数，即x>0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x>0，所以x<10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝-x2+10x化成顶点式．当x＝-时，函数y有最大值.∴y=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x)=-(x2-10x+25-25)=-(x-5)2+25．
∴当x=5时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2．可以通过观察图象得知．
也可以代入顶点坐标公式中求得．当x=-=5时
y最大==25cm2.
当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小。
这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大．
三、做一做
两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗
1．用函数表达式表示：y＝ .
2．用表格表示：
x
y
3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式问答下列问题：
(1)白变量x的取值范围是什么
(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么
(3)如何描述y随x的变化而变化的情况
(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的
解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积y=x(x-2)＝x2-2x所以函数的表达式为y＝x2-2x．
2.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 15 8 3 0 -1 0 3 8 15
3．图象如右图．
4．(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数．(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1．因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)．(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大．
(4)通过观察图象可知．
四、议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流．
表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系．
它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要．
它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示．
课堂练习
1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗 第6个图形中应该有多少个小圆圈 为什么
(2)完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．
(2)从左至右应填1，3，6．10，15．
(3)m=.
课时小结
本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．
课后作业：习题2．6
活动与探究：2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么
(2)完成下表；
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么
解：(1)第1个图形中有1个小圆圈．
第2个图形中有1+6=7个小圆圈．
第3个图形中有7+2×6=19个小圆圈．
第4个图形中有19+3×6＝37个小圆圈．
(2)从左至右填1．7，19，37，61．
(3)m＝6×+1＝3n2-3n+1．
- 1 -