§2．7 最大面积是多少[下学期]
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第九课时 §2．7 最大面积是多少
本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事．首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是—件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题．明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解．
在教学中应引导学生按照上面的步骤进行．首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
教学目标
知识与能力
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
过程与方法
通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力；通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
情感与价值观要求
经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值；能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格；进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点、难点
经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值；能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学过程
创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
学习新课
一、例题讲解
如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示
(2)设长方形的面积为y m2．当x取何值时，y的值最大 最大值是多少
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).
(2)要求面积夕的最大值．即求函数y=AB·AD=x·（40-x)的最大值，就转化为数学问题了．
(1)∵BC//AD，∴△EBC∽△EAF． ∴ 又AB＝x，BE=40-x， ∴. ∴BC=(40-x). ∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．
(2)y＝AB·AD=x(30-x)= -x2+30x=-(x2-40x+400-400)
=-(x2-40x+400)+300 =-(x-20)2+300
当x=20时， y最大=300.即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m2．
设AD边的长为x m，则问题会怎样呢 与同伴交流．
要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．
解：∵DC//AB，∴△FDC∽△FAE．.∵AD=x，FD＝30-x．∴.∴DC=(30-x). ∴AB=DC=(30-x).y=AB·AD=x·（30-x） =-x2+40x=-(x2-30x+225-225)=-(x-15)2+300.当x=15时，y最大=300．
即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2
二、做一做
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时，窗户的面积是多少
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最大，而由于4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx=15，所以y=．面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x+4y-πx＝15，∴y=.设窗户的面积是S(m2)，则
S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x
=-3.5(x2-x)=-3.5(x-).∴当x＝≈1．07时，S最大=≈4．02.即当x≈1．07 m时，S最大≈4．02 m2，此时．窗户通过的光线最多．
三、议一议
我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢 与同伴进行交流．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．
Ⅲ．课堂练习
1．一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大 最大为多少
解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm2，根据题意得
S＝x(116-2x)＝-2x2+116x＝-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.
当x＝29时，S有最大值1682，这时116-2x＝58．
即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m2．
Ⅳ．课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
Ⅴ．课后作业 习题2．8
Ⅵ．活动与探究
已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：
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本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事．首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是—件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题．明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解．
在教学中应引导学生按照上面的步骤进行．首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
教学目标
知识与能力
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
过程与方法
通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力；通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
情感与价值观要求
经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值；能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格；进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点、难点
经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值；能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学过程
创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
学习新课
一、例题讲解
如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示
(2)设长方形的面积为y m2．当x取何值时，y的值最大 最大值是多少
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).
(2)要求面积夕的最大值．即求函数y=AB·AD=x·（40-x)的最大值，就转化为数学问题了．
(1)∵BC//AD，∴△EBC∽△EAF． ∴ 又AB＝x，BE=40-x， ∴. ∴BC=(40-x). ∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．
(2)y＝AB·AD=x(30-x)= -x2+30x=-(x2-40x+400-400)
=-(x2-40x+400)+300 =-(x-20)2+300
当x=20时， y最大=300.即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m2．
设AD边的长为x m，则问题会怎样呢 与同伴交流．
要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．
解：∵DC//AB，∴△FDC∽△FAE．.∵AD=x，FD＝30-x．∴.∴DC=(30-x). ∴AB=DC=(30-x).y=AB·AD=x·（30-x） =-x2+40x=-(x2-30x+225-225)=-(x-15)2+300.当x=15时，y最大=300．
即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2
二、做一做
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时，窗户的面积是多少
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最大，而由于4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx=15，所以y=．面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x+4y-πx＝15，∴y=.设窗户的面积是S(m2)，则
S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x
=-3.5(x2-x)=-3.5(x-).∴当x＝≈1．07时，S最大=≈4．02.即当x≈1．07 m时，S最大≈4．02 m2，此时．窗户通过的光线最多．
三、议一议
我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢 与同伴进行交流．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．
Ⅲ．课堂练习
1．一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大 最大为多少
解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm2，根据题意得
S＝x(116-2x)＝-2x2+116x＝-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.
当x＝29时，S有最大值1682，这时116-2x＝58．
即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m2．
Ⅳ．课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
Ⅴ．课后作业 习题2．8
Ⅵ．活动与探究
已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：
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