第二十三章 旋转 章末小结 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
旋转章末小结
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识;
2.进一步明确旋转、中心对称、中心对称图形的概念及性质,并会作图; (重、难点)
3.能熟练说出一个点关于原点对称的坐标; (重点)
4.能灵活应用平移、旋转、轴对称变换进行图案设计,体会数学的美感.(难点)
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
一、旋转的定义及相关概念
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.
理解两点：
1.旋转三要素：
旋转中心、旋转方向、旋转角；
2.旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点.
一、旋转的性质
三、旋转作图的条件：
(1)有原图形 (2)有旋转中心 (3)有旋转方向 (4)有旋转角
四、旋转作图的步骤：
(1)确定图形的关键点；
(2)作出旋转后的对应点；
(3)顺次连线即可.
五、中心对称的定义
像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，(简称中心).这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
轴 对 称
中心对称
1
有一条对称轴
——
直线
有一个对称中心
——
点
2
图形沿轴对折（翻转
180°
）
图形绕中心旋转
180°
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
1
A
B
C
C
1
A
B
1
O
六、中心对称与轴对称的异同
像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称图形的性质：中心对称图形上对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分.
七、中心对称图形及其性质
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y).
作关于原点对称的图形的一般步骤：
(1)写出各点关于原点对称的点的坐标；
(2)在坐标平面内描出这些对称点；
(3)参照原图形顺次连接各点，即为所求作的对称图形.
八、关于原点对称的点的坐标
旋转的性质及应用
1
例1.以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
B
例2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝DE
B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D
D．AB⊥DF
旋转的性质及应用
1
D
例3. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是( )
A．50° B．70° C．110° D．120°
D
旋转的性质及应用
1
例4.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
D
旋转的性质及应用
1
【1-1】如图，在△ABC中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点C，A，在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
D
【1-2】如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°＜β＜90°)得到AF，连接EF.若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝______．
【1-3】如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为(-1,2).
(1)将△ABC向右平移3个单位得到△DEF，
请在图中画出平移后的图形;
(2)将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°
后得到△MNC,请在图中画出旋转后的图形，
并写出点M，N的坐标.
解:(1)如图，△DEF为所作;
(2)如图，△MNC为所作，
M(-3,-2),N(-2，-4).
中心对称图形典型应用
2
例5.下列四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（ ）
【分析】本题考查识别中心对称图形．掌握使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合的图形是中心对称图形是解题关键．
A．是中心对称图形，符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意．
A
中心对称图形典型应用
2
例6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，其中A、B、C分别和D、E、F对应，则旋转中心的坐标是（ ）
A.（0，0） B.(1,0) C.(1,-1) D.(0.5,0.5)
C
【分析】根据对应点连接线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作出旋转中心，可得结论；
如图，点Q即为所求，Q(1,-1)；
例7.如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___________.
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2021的坐标是多少即可．
中心对称图形典型应用
2
【2-1】下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形
【2-2】图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
C
A
【2-3】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①-④中相同的是（ ）
A．图① B．图②
C．图③ D．图④
B
关于原点对称的点的坐标
3
例8.若点P(m，－m＋3)关于原点的对称点Q在第三象限，则m的取值范围是( )
A．0＜m＜3 B．m＜0 C．m＞0 D．m≥0

A
例9.平面直角坐标系第二象限内的点P(x2+2x,3)与另一点Q(x+2,y)关于原点对称,试求x+2y的值.
关于原点对称的点的坐标
3
解:根据题意,得x2+2x+x+2=0, y=-3
∴x1=-1,x2=-2,y=-3
∵x2+2x＜0,
∴x=-1
∴x+2y=-7.
例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1， -4）．
(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到
△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，
则旋转中心的坐标是 ．
关于原点对称的点的坐标
3
例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1， -4）．
(1)作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(1)解：∵由图可知：A(2,-2), B(1,-4), C(4,-3),
∴A1(-2,2), B1 (-1,4), C1 (-4,3),
如图所示：△A1B1C1，即为所求；
关于原点对称的点的坐标
3
例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1， -4）．
(2)将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到△A2B2
C2，画出△A2B2C2；
(2)解：∵由图可知：A1(-2,2), B1 (-1,4), C1 (-4,3),
∴将△A1B1C1向右平移5个单位长度，得到A2 (3,2), B2 (4,4), C2 (1,3),
如图所示：△A2B2C2，即为所求；
关于原点对称的点的坐标
3
例10.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（1， -4）．
(3)如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，
则旋转中心的坐标是 ．
(3)解：如图连接AA2,CC2，线段AA2与线段CC2交点即为所求，旋转中心坐标为（2.5,0）
关于原点对称的点的坐标
3
【3-1】己知点P1(a, -3)和P2(-4, b)关于x轴对称，则(a+b)2000的值为( )
A.1 B.-1 C.72000 D.-72000
【3-2】已知点P的坐标为(2-a, 3a+6)， 且点P到两坐标轴的距离相等，则点P关于原点0对称点的坐标为( )
A.(-3，3) B.(-3，-3) C.(-6， 6) D.(-3， -3)或(-6，6)
A
D
【3-3】如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)
(1)画出ABC关于原点O的中心对称图
形 ；
(2)若点P为y轴上一动点，则PA+PC的
最小值为______．
解：（1）如图， 即为所求，
（2）作点A关于y轴对称点，连接C交y轴于点P，此时PA+PC的值最小，如上图，
由图像可得最小值=C=，
利用旋转进行证明或计算
4
例11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为H，与BC交于点G.若BG＝3，CG＝2，则CE的长为( )
A. B. C．4 D.
【分析】如图，连接EG.由旋转可得△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF.
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点．
∴AG垂直平分EF.
∴EG＝FG.
设CE＝x，则DE＝5－x＝BF，FG＝BF＋BG＝8－x，
∴EG＝8－x.
∵在Rt△CEG中，∠C＝90°，
∴CE2＋CG2＝EG2，即x2＋22＝(8－x)2.解得x＝.
∴CE的长为.
故选B.
利用旋转进行证明或计算
4
例11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为H，与BC交于点G.若BG＝3，CG＝2，则CE的长为( )
A. B. C．4 D.
B
例12.如图,在四边形 ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.
(1)求证:AE⊥BD ;
利用旋转进行证明或计算
4
(1)证明:由旋转可得AC=BC
∵∠ABC=45°,∴∠BCA=90°.
设BD与AC、AE分别交于点M、N ,
如图所示.:∠AMN=∠BMC, ∠CAE=∠CBD ,
∴∠ANM=∠MCB=90°，即AE⊥BD.
例12.如图,在四边形 ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°,将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后,点B的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.
(2)若AD=2,CD=3,试求四边形ABCD的对角线BD的长.
利用旋转进行证明或计算
4
(2)解:如图，连接DE.
由旋转可得AE=BD ,CE=CD ,∠DCE=∠ACB=90°
∵CD=CE=3,
∴DE=3 ,∠CDE=45°
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°
∴AE==
∴BD=.
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
关系：MD＝MF，MD⊥MF
证明：如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN
∵正方形ABCD，
∴ADBE，AD＝DC，
∴∠1＝∠2
又∵AM＝EM，∠3＝∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD＝EN，MD＝MN
∵AD＝DC，
∴DC＝NE，
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCF＝∠NEF＝45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD＝FN，∠5＝∠6
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFN＝90°
又∵DM＝MN＝DN，
∴M为DN的中点，
∴FM＝DN，
∴MD＝MF，DM⊥MF．
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
结论不变MD＝MF，MD⊥MF，
证明：如图，延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，ADFE，
∴∠1＝∠2．
在△AMD与△EMN中，
∵，
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(2)将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
∴△AMD≌△EMN，
∴AD＝EN，MD＝MN，
∵CG＝2BC
∴CF＝2CD=2AD，EF＝CF=2AD=2EN，
∴FD＝FN．
又∵∠DFN＝90°，
∴FM⊥MD，MF＝MD；
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．
MD＝MF，MD⊥MF，
证明：如图，延长DM到N，使MN＝MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．
在△AMD与△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠3＝∠4，AD＝NE．
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF＝EF，AD＝DC，∠ADC＝90°，∠CFE＝∠ADC＝∠FEG＝∠FCG＝90°．
∴DC＝NE．
∵∠3＝∠4，
∴ADEH．
∴∠H＝∠ADC＝90°．
∵∠G＝90°，∠5＝∠6，
∴∠7＝∠8．
利用旋转进行证明或计算
4
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．
∵∠7＋∠DCF＝∠8＋∠FEN＝90°，
∴∠DCF＝∠FEN．
在△DCF与△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFN＝90°，
∴FM⊥MD，MF＝MD．
【4-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.若AB＝3，BC＝4，则BD＝______(提示：可连接BE)．
5
【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OACD时，则α＝　　 ；若ABOC时，则α＝　　 ；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝　　 ；
(3)如图3，连结AC，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠CAB＋∠ACD的大小关系，并说明理由．
【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OACD时，则α＝　　 ；若ABOC时，则α＝　　 ；
45°
60°
当OACD时
当ABOC时
【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝　　 ；
当∠D＝∠DOE＝45°时，可得α＝∠DOE＝45°，
当∠DOE＝∠DEO时，可得α＝∠DOE＝＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°；
【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(3)如图3，连结AC，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠CAB＋∠ACD的大小关系，并说明理由．
如图3中，∠DOB与∠CAB+∠ACD的大小关系有三种情形：
①∠DOB＞∠CAB+∠ACD．②∠DOB＝∠CAB+∠ACD．
③∠DOB＜∠CAB+∠ACD．
理由：
∵∠1＝∠BAC+∠ACD，∠2＝∠D+∠1＝45°+∠1，∠3＝∠1+∠B＝30°+∠1，
又∵∠BOD+∠2+∠3+（180°﹣∠1）＝360°，
【4-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(3)如图3，连结AC，在旋转过程中，猜想∠DOB与∠CAB＋∠ACD的大小关系，并说明理由．
∴∠BOD+45°+∠1+30°+∠1+180°﹣∠1＝360°，
∴∠BOD+∠1＝105°，
∴∠BOD+∠BAC+∠ACD＝105°，
∴当0°≤∠DOB＜52.5°时，∠DOB＜∠CAB+∠ACD，
当∠DOB＝52.5°中，∠DOB＝∠CAB+∠ACD，
当52.5°＜∠DOB＜90°时，∠DOB＞∠CAB+∠ACD．