16.1 二次根式
第1课时
一、教学目标
1.经历二次根式概念的探索和形成过程，了解二次根式是开平方运算引出的结果；
2.理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及的非负性；
3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性；
4.在二次根式概念的形成过程，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学意识.
二、教学重难点
重点：经历二次根式概念的探索和形成过程.
难点：理解二次根式中a的取值范围.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【复习回顾】 教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识，并举例说明. 问题1：什么是一个数的平方根？如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做二次方根.用表示. 16的平方根是 ；4 0的平方根是 ； 0 5的平方根是 ； ④ –7有平方根吗？ 没有 问题2：平方根的性质是什么？ 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根为0； 负数没有平方根. 问题3：什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，用 表示. 16的算术平方根是 ；4 0的算术平方根是 ； 0 5的算术平方根是 ； 问题4：算术平方根的性质是什么？ 一个正数有一个算术平方根； 0的算术平方根为0； 负数没有算术平方根. 在教师的引导下回顾平方根、算术平方根的概念和性质 回顾已学的知识，为本节课要学的内容作准备，感受新旧知识之间的联系.
环节二 探究 新知 【合作探究】 教师活动：先让学生自主思考作答，再一起探究写出的结果的共同特征，引出二次根式的概念，并鼓励学生用自己的语言描述概念. 问题：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？ (1)如图①为正方形图片，若面积为2 m ，则边长为 m； (2)如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110 m2，则它的宽为 m. (3)如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m ) ，若用含S的式子表示半径r，则r应该表示为 m. ② ③ 答案：，，. 上面问题中，得到的结果分别是：，，. 思考： (1)这些式子分别表示什么意义？ (2)这些式子有什么共同特征？ 答案：(1)分别表示，，的算术平方根. (2) ①都含有“”； ②被开方数均为非负数. 【归纳】 二次根式的定义 我们把形如的式子叫做二次根式. 符号叫做二次根号，a叫做被开方数. 两个必备特征： 外在特征：含有“”； 内在特征：被开方数a≥0. 两个特征缺一不可. 【想一想】 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 答案：(1)(5)(6)是二次根式，(2)(3)(4)不是二次根式. 如何判断一个是在是否为二次根式： 【延伸】 对二次根式的进一步认识： 从形式上看必须含有“”； 二次根式实质上是非负数的算术平方根； a既可以是一个数，也可以是一个式子； a≥0，且； 形如的式子也是二次根式. 【思考】 当a为何值时，下列根式有意义？ (1) (2) 分析：(1) a–2≥0→a≥2 (2) 2–3a≥0→ 小结： 二次根式有意义的条件：被开方数≥0. 认真作答并观察思考 认真思考 熟悉二次根式的概念 独立完成练习 进一步认识二次根式 认真思考并分组作答 由实际情境得出结果，初步体会二次根式与实际生活的联系，以及引入二次根式的必要性. 通过观察思考找出共同特征，得出二次根式的概念，培养观察归纳的能力. 通过练习熟悉二次根式的概念. 通过延伸让学生加深对二次根式的认识和理解. 引导学生根据二次根式的概念得出二次根式有意义的条件.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ (1) ； (2) . 解：(1)要使有意义，必须x+3≥0. 解这个不等式，得x≥–3. 即当x≥–3时，在实数范围内有意义. (2) 因为x为任何实数时都有x2≥0. 所以当x为一切实数时，在实数范围内都有意义. 【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？ 提示：①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0. 解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0. 明确本题的做法 明确本题的做法 让学生进一步加深对二次根式有意义的条件的认识和理解，培养学生的应用意识. 让学生进一步明确二次根式有意义的条件，并强调当分母中有字母时，要保证分母不等于0.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 2.当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义 (选做) 3.已知实数a，b满足， 求a，b的值. 答案： 1.(1) (1)(4)是二次根式；(2)(3)(5)(6)不是二次根式. 2.解：(1) x为任意实数时，x2+1＞0， 可得，在实数范围内都有意义. (2) 由，且x–1≠0，可得，x–1＜0，即x＜1； (3) 由x≥0，且x–1≥0 ，可得x≥1. 3. 解：由题意知： b–2≥0， 2–b≥0， 解得 b=2， 则a=0+0+3=3. 所以a，b的值分别为3，2. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第4页 习题16.1 第1、2题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课内容的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共19张PPT)
16.1 二次根式
第1课时
学习目标
二次根式
的概念
1.经历二次根式概念的探索和形成过程，了解二次根式是开平方运算引出的结果；
2.理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及 的非负性；
3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性；
4.在二次根式概念的形成过程，鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学意识.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
1.什么是一个数的平方根？如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的
平方根，也叫做二次方根.用 表示.
2. 平方根的性质是什么？
①16的平方根是 ； ②0的平方根是 ；
③5的平方根是 ； ④–7有平方根吗？
4
0
没有
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根为0；
负数没有平方根.
被开方数a≥0
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
1.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，用 表示.
2. 算术平方根的性质是什么？
①16的算术平方根是 ；②0的算术平方根是 ；
③5的算术平方根是 .
4
0
一个正数有一个算术平方根；
0的算术平方根为0；
负数没有算术平方根.
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？
(1)如图①为正方形图片，若面积为2 m ，则边长为 m；
(2)如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110 m2，
则它的宽为 m.
①
②
2
x
x2=2
x
2x
110
2x2=110
x2=55
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？
S=πr2
(3)如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m ) ，若用含S的式子表示半径r，则r应该表示为 m.
③
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ．
思考
(1)这些式子分别表示什么意义？
(2)这些式子有什么共同特征？
分别表示2，55， 的算术平方根.
被开方数均为非负数.
都含有“ ”；
1
2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
我们把形如 的式子叫做二次根式.
符号 叫做二次根号，a叫做被开方数.
二次根式的定义
两个必备特征
内在特征：被开方数a≥0.
外在特征：含有“ ”；
1
2
缺一不可
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
–3＜0
根指数为3
a–2＜0
是否含二次根号
被开方数≥0
是
不是二次根式
是二次根式
是
否
否
延伸
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
对二次根式的进一步认识
从形式上看必须含有“ ”；
二次根式实质上是非负数的算术平方根；
a既可以是一个数，也可以是一个式子；
a≥0，且 ；
形如 的式子也是二次根式.
1
2
3
4
5
双重非负性
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
当a为何值时，下列根式有意义？
(1) (2)
a–2≥0
a≥2
二次根式有意义的条件
被开方数≥0.
(1)
(2)
分析
2–3a≥0
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
解：(1)要使 有意义，必须x+3≥0.
解这个不等式，得 x≥–3.
即当x≥–3时， 在实数范围内有意义.
(2)因为x为任何实数时都有x2≥0.
所以当x为一切实数时， 在实数范围内都有意义.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
(1) ； (2) .
二次根式有意义的条件
被开方数≥0.
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2；
(2)由–x2≥0，得x=0.
典型例题
①被开方数≥0.
提示
②若分母中有字母，保证分母不等于0.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)是二次根式；(2)(3)(5)(6)不是二次根式.
是含二次根式的代数式，不是二次根式.
注意
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
(2)由 ，且x–1≠0，可得， x–1＜0，即x＜1；
(1) x 为任意实数时，x2+1＞0，
可得， 在实数范围内都有意义.
2.当x取何值时，下列式子在实数范围内有意义
解：
(3)由x≥0，且x–1≥0 ，可得x≥1.
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
3.已知实数a，b满足 ，求a，b的值.
解：由题意知：
b–2≥0，
2–b≥0，
解得 b=2，
则a=0+0+3=3.
所以a，b的值分别为3，2.
选做
注意：
二次根式的概念：
二次根式的概念
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
创设情境
被开方数≥0.
我们把形如 的式子叫做二次根式.
符号 叫做二次根号，a叫做被开方数.
二次根式有意义的条件：
若分母中有字母，保证分母不等于0.
布置作业
教科书第4页
习题16.1
第1、2题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见`
16.1 二次根式
第2课时
一、教学目标
1.理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系；
2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，并能运用性质解决一些问题；
3.在二次根式性质的探索和形成过程中，发展分类讨论意识，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学的意识.
二、教学重难点
重点：理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系.
难点：能运用二次根式的性质解决一些问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【复习回顾】 教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识，并通过追问引出本节课要讲解的内容. 问题1：表示的意义是什么？表示的意义是什么？ 预设答案：表示的是2的算术平方根； 表示的是当a≥0时a的算术平方根. 问题2：上节课学过二次根式 有什么性质？ 预设答案：，双重非负性. 追问：二次根式还有其他性质吗？ 在教师的引导下回顾已学知识 回顾已学的知识，为本节课要学的内容作准备，加强新旧知识之间的联系.
环节二 探究新知 【观察思考】 教师活动：先让学生独立完成计算，然后分组观察思考并作答，最后得出结论. 由于是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有. 类似地，计算： 答案：5； ；0. 观察等式的两边，你能得到什么结论？ 二次根式的性质1： ，类似地，计算： 答案：；0.5；0. 又如，再计算： 答案：；0.5；6. 观察等式的两边，你能得到什么结论？ 二次根式的性质2： 【做一做】 请同学们快速判断下列各题的对错： 答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√. 【延伸】 如何区别与. 认真作答并观察思考 认真思考 熟悉二次根式的概念 交流讨论 让学生类比平方根的意义计算出结果，并通过观察思考归纳出二次根式的性质1，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想. 引导学生观察得出a的取值不同对结果的影响，并归纳出二次根式的性质2，发展分类讨论思想，了解从特殊到一般的处理数学问题的数学思想. 通过练习巩固二次根式的性质，进一步了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的数学思想. 通过观察、对比、归纳出二次根式的性质1、性质2的区别与联系，加深学生对性质的理解.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例1】计算： (1) ； (2) . 解：(1) 或. (2) 【例2】先化简再求值：， 其中x=4. 提示： ①将式子先化成“”的形式； ②利用二次根式的性质化简； ③代值计算. 解：. 当x=4时，. ∴当x=4时，. 明确本题的做法 明确本题的做法 让学生进一步加深对二次根式的性质的认识和理解，培养学生的应用意识. 让学生进一步巩固二次根式性质，并加强应用意识.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.求下列各式的值： 2.求下列各式的值： 3.先化简，再求值：， 其中x –2. 答案： 1.解： 2.解： 3.解：. 当x –2时，. ∴当x –2时，. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第4-5页 习题16.1 第3、4、7题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课内容的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共16张PPT)
16.1 二次根式
第2课时
学习目标
二次根式
的性质
1.理解二次根式的性质1、性质2，了解其区别与联系；
2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程，并能运用性质解决一些问题；
3.在二次根式性质的探索和形成过程中，发展分类讨论意识，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，发展学数学用数学的意识.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
表示的是2的算术平方根；
1. 表示的意义是什么？ 表示的意义是什么？
2. 上节课学过二次根式 有什么性质？
表示的是当a≥0时a的算术平方根.
双重非负性
二次根式还有其他性质吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
由于 是2的算术平方根，根据平方根的意义，
应有 .
类似地，计算：
5
0
观察等式的两边，你能得到什么结论？
二次根式的性质1
观察思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
，类似地，计算：
0.5
0
又如 ，
再计算：
0.5
6
观察等式的两边，你能得到什么结论？
观察思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
0.5
0
0.5
6
二次根式的性质2
观察思考
做一做
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
请同学们快速判断下列各题的对错：
延伸
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何区别 与 .
运算顺序
取值范围
运算结果
意义
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)
或 .
(2)
.
典型例题
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
【例2】先化简再求值： ，其中x 4.
解： .
当x 4时， .
∴当x 4时， .
将式子先化成“ ”的形式；
利用二次根式的性质化简；
代值计算.
提示
1
2
3
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.求下列各式的值：
解：
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
2.求下列各式的值：
解：
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
解：
3.先化简，再求值： ，其中x –2.
当x –2时， ；
∴当x –2时， .
性质1：
二次根式的性质
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
创设情境
性质2：
布置作业
教科书第4-5页
习题16.1
第3、4、7题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
