16.2 二次根式的运算
第1课时
一、教学目标
1.了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算；
2.经历二次根式乘法运算法则的探索过程，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
二、教学重难点
重点：了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算.
难点：二次根式乘法运算法则的推导过程.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：通过提问引导学生回顾已学知识. 问题1：什么叫二次根式？ 预设答案：形如的式子叫做二次根式. 其中，二次根式具有双重非负性. 问题2：二次根式的两个基本性质是什么？ 预设答案：性质1： 性质2： 在教师的引导下回顾已学知识 回顾已学的知识，为本节课要学的内容作准备，加强新旧知识之间的联系.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师给出问题，学生独立思考并给出算式，教师再通过追问引出本节课要学习的内容. 问题：如图，一个长方形游泳池的长为 m，宽为 m，则它的面积为多少？ 分析：长方形游泳池的面积= 追问：如何计算这个式子呢？ 这节课我们一起来研究这个问题. 【观察】 计算下列各题，观察有何规律？ 答案：(1) 10，10； (2) 5，5. 分析：算术平方根的积=积的算术平方根 猜想： 【思考】 能否证明这个猜想？ 证明：因为当a≥0，b≥0时， 又 ， ab的算术平方根只有一个，所以 【归纳】 二次根式的性质3 如果a≥0，b≥0，那么有 文字语言：算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根. 由等式对称性，性质3也可以写成 文字语言：积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积. 【做一做】 判断下列各式是否正确？ 答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)√. 【想一想】 现在你能算出长方形游泳池的面积吗？ 长方形游泳池的面积为 m2. 独立列出算式并思考 独立计算，分组交流，找出规律 熟悉证明过程 熟悉二次根式的乘法法则及积的算术平方根的性质 独立完成练习 通过实际生活中的问题引出本节课要学习的内容，感受二次根式乘法运算的重要性. 通过计算、观察、讨论得出结论，了解从特殊到一般的处理数学问题的思想. 通过证明熟悉性质3的推导过程，领会数学的严谨性. 通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及积的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力. 通过练习让学生学会利用二次根式的性质进行有关运算. 通过解决前面提出的实际问题，进一步巩固二次根式的乘法法则，培养应用意识.
环节三 应用新知 【典型例题】 【例1】计算： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 小结：二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数) ”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简. 【拓展】 二次根式的乘法 根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；根式与根式相乘，被开方数相乘的积作为积的被开方数. 明确本题的做法 理解拓展公式 让学生进一步加深对二次根式的乘法法则的认识和理解，培养学生的应用意识. 根据例题将二次根式的乘法进行拓展，有助于解决相关运算.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.计算： 2.化简： 3.计算： 答案： 1.解： 2.解： 3.解：. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第12页 习题16.2 第1、2(1)(2) 题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课内容的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共19张PPT)
16.2 二次根式的运算
第1课时
学习目标
二次根式
的乘法
1.了解二次根式的乘法运算法则，并能用它进行有关实数的运算；
2.经历二次根式乘法运算法则的探索过程，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
双重非负性
1.什么叫二次根式？
形如 的式子叫做二次根式.
2. 二次根式的两个基本性质是什么？
性质1:
性质2:
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，一个长方形游泳池的长为 m，宽为 m，则它的面积为多少？
如何计算这个式子呢？
这节课我们一起来研究这个问题.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
计算下列各题，观察有何规律？
小组合作
1.独立思考，完成计算；
2.两人一组，交流探究，找出规律.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
计算下列各题，观察有何规律？
2 5
10
10
0.5 10
5
5
算术平方根的积
积的算术平方根
猜想
观察
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
能否证明这个猜想？
猜想
证明：因为当a≥0，b≥0时，
又 ，
ab的算术平方根只有一个，所以
积的乘方法则
算术平方根的意义
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
二次根式的性质3
如果a≥0，b≥0，那么有
算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
由等式对称性，性质3也可以写成
二次根式的乘法法则
积的算术平方根的性质
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
做一做
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
判断下列各式是否正确？
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
现在你能算出长方形游泳池的面积吗？
长方形游泳池的面积为 m2.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)
二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数) ”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(2)
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
拓展
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数
根式与根式相乘，被开方数相乘的积作为积的被开方数.
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.计算：
解：
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
2.化简：
解：
先利用平方差公式分解因式
3.计算：
解：
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
二次根式的乘法法则：
二次根式的乘法
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
创设情境
反过来，可得积的算术平方根的性质：
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
布置作业
教科书第12页
习题16.2
第1、2(1)(2) 题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见16.2 二次根式的运算
第2课时
一、教学目标
1.了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算；
2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
二、教学重难点
重点：了解二次根式的除法运算法则，并能用它进行有关实数的运算.
难点：二次根式除法运算法则的推导过程.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：通过提问引导学生回顾二次根式的乘法法则. 问题1：二次根式的乘法法则是什么？ 预设答案： 符号语言： 文字语言：算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根. 问题2：逆用二次根式的乘法法则可以得到什么？ 预设答案： 符号语言： 文字语言：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 追问：二次根式的除法有类似的运算法则吗？ 在教师的引导下回顾已学知识 回顾二次根式的乘法法则，为后面类比二次根式的乘法法则探索二次根式的除法法则作准备.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师给出问题，学生独立思考并给出算式，教师再通过追问引出本节课要学习的内容.接着通过观察环节找出规律，让学生进行分组探究，得出二次根式的除法法则. 问题：如图，一个长方形游泳池的长为m，且长是宽的倍，则长方形游泳池的宽为多少？ 分析：长方形游泳池的宽 追问：如何计算这个式子呢？ 这节课我们一起来研究这个问题. 【观察】 计算下列各题，观察有何规律？ 答案：(1) ，； (2) ，. 分析：算术平方根的商=商的算术平方根 猜想： 【思考】 你能仿照二次根式的乘法法则证明二次根式的除法法则吗？ 证明：因为当a≥0，b＞0时， 又 ， 的算术平方根只有一个，所以 【归纳】 二次根式的性质4 如果a≥0，b＞0，那么有 文字语言：算术平方根的商等于商的算术平方根. 由等式对称性，性质4也可以写成 文字语言：商的算术平方根等于算术平方根的商. 【想一想】 现在你能算出长方形游泳池的宽吗？ 利用二次根式的除法法则得： 长方形游泳池的宽为 m. 独立列出算式并思考 独立计算，分组交流，找出规律 熟悉证明过程 熟悉二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质 利用二次根式的除法法则解决问题 通过实际生活中的问题引出本节课要学习的内容，感受二次根式除法运算的重要性. 通过计算、观察、讨论得出结论，并对比乘法法则中a、b的取值范围写出除法法则中a、b的取值范围，了解从特殊到一般的处理数学问题的思想. 通过证明熟悉性质4的推导过程，领会数学的严谨性. 通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及商的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力. 通过解决前面提出的实际问题，进一步巩固二次根式的除法法则，培养应用意识.
环节三 应用新知 【典型例题】 【例1】计算： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 【交流】 下面的式子还有其它的计算方法吗？ 小结：二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行.把分母中的根号化去，就是分母有理化. 【例2】化简： (1)； (2) . 解：(1) (2) 【交流】 教师活动：先让学生分组探究交流，找出这几个运算结果的特征，然后分组作答，最后教师补充完善，给出最简二次根式的概念. 观察例题中几个式子的运算结果有什么特征？ 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式是最简二次根 式. 注意：在二次根式的运算中，一般把最后结果化成最简二次根式. 【做一做】 将下列根式化为最简二次根式？ 解： 化简时应注意： ①有时需将被开方数分解因式； ②当一个式子的分母中含有二次根式时， 一般应把分母有理化. 明确本题的做法 认真思考 明确本题的做法 认真观察思考，熟悉最简二次根式的特征 让学生进一步加深对二次根式的除法法则的认识和理解，培养学生的应用意识. 通过不同的计算方法引出分母有理化，让学生了解分母有理化的过程. 让学生进一步加深对商的算术平方根的性质的认识和理解，培养学生的应用意识. 通过认真观察并分组探究交流，让学生发现运算结果的特征，引出最简二次根式的概念，并让学生明白运算结果一般要化成最简二次根式. 通过小练习进一步熟悉最简二次根式.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.化简： 2.计算： 3. 把下列各式的分母有理化： 4.下列根式中，哪些是最简二次根式？ 答案： 1.解： . 2.解： ; 3.解： 4. 最简二次根式有 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第10页 练习第2题 第12页习题16.2 第2(3)(4) 题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课内容的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共21张PPT)
16.2 二次根式的运算
第2课时
学习目标
二次根式
的除法
1.了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算；
2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
1. 二次根式的乘法法则是什么？
2. 逆用二次根式的乘法法则可以得到什么？
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
符号语言
文字语言
符号语言
文字语言
二次根式的除法有类似的运算法则吗？
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，一个长方形游泳池的长为 m，且长是宽
的 倍，则长方形游泳池的宽为多少？
如何计算这个式子呢？
这节课我们一起来研究这个问题.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
计算下列各题，观察有何规律？
小组合作
1.独立思考，完成计算；
2.两人一组，交流探究，找出规律.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
计算下列各题，观察有何规律？
观察
算术平方根的商
商的算术平方根
猜想
对比乘法法则，a、b的取值范围有何变化？
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你能仿照二次根式的乘法法则证明二次根式的除法法则吗？
证明：因为当a≥0，b＞0时，
又 ，
猜想
的算术平方根只有一个，所以
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
二次根式的性质4
如果a≥0，b＞0，那么有
算术平方根的商等于商的算术平方根.
由等式对称性，性质4也可以写成
二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于算术平方根的商.
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
现在你能算出长方形游泳池的宽吗？
长方形游泳池的宽为 m.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)
(2)
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行.把分母中的根号化去，就是分母有理化.
交流
下面的式子还有其它的计算方法吗？
依据：分数的基本性质
目的：去掉分母中的根号
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例2】化简：
(1) ； (2) .
解：(1)
(2)
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
交流
观察例题中几个式子的运算结果有什么特征？
被开方数的因数是整数，
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
因式是整式；
最简二次根式
分母中不能含根号，根号下不能含分母.
在二次根式的运算中，一般把最后结果化成最简二次根式.
做一做
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
将下列根式化为最简二次根式？
分母有理化
化简时应注意：
有时需将被开方数分解因式；
当一个式子的分母中含有二次根式时，
一般应把分母有理化.
1
2
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.化简：
解：
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
2.计算：
解：
3.把下列各式的分母有理化：
解：
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
4.下列根式中，哪些是最简二次根式？
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
分析
含能开得尽方的因数
根号下不能含分母
含能开得尽方的因式
x≥0
二次根式的除法法则：
二次根式的除法
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
创设情境
反过来，可得商的算术平方根的性质：
算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根.
商的算术平方根等于算术平方根的商.
最简二次根式：
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
布置作业
教科书第10页
练习第2题
第12页习题16.2
第2(3)(4) 题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见16.2 二次根式的运算
第3课时
一、教学目标
1.了解并掌握比较两个不含字母的二次根式的方法；
2.经历探究二次根式的大小比较的过程，感受类比、转化的数学思想；
3.运用多种方法比较二次根式的大小，了解数学解题方法的多样性；
4. 鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
二、教学重难点
重点：掌握二次根式的大小比较的四种基本方法.
难点：会选择合适的方法比较二次根式的大小.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：教师带领学生回顾二次根式的乘法法则和除法法则，并通过抢答的形式利用已学知识填空，为本节课要学习的内容作准备. 二次根式的乘法法则： 如果a≥0，b≥0，那么有 文字语言：算术平方根的积等于积的算术平方根. 二次根式的除法法则： 如果a≥0，b＞0，那么有 文字语言：算术平方根的商等于商的算术平方根. 抢答： 根据已学知识填空，看谁又快有准： (1)如果a＞0，b＞0，当a＞b时，则a2 b2；反之，如果a＞0，b＞0，当a2＞b2时，则 a b； (2)如果ab＞0，则a b； (3)如果a＞0，b＞0，且＜1，则a b； (4)如果a＞b＞0，则 . 预设答案：(1)＞；＞； (2)＞； (3)＜； (4)＞. 在教师的引导下回顾已学知识 认真思考并抢答 回顾二次根式的乘法法则和除法法则，以及已学的相关知识，为后面的内容作准备. 通过抢答的形式提高学生的学习兴趣，加深对相关知识的理解.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师给出问题，学生先独立思考，然后教师带领学生一起探究，并找学生回答问题，引导学生分析出比较二次根式的大小的方法. 问题：一个正方形的边长为 cm，另一个正方形的边长为 cm，问：哪个正方形的面积大？它们的边长又有什么关系？ 分析： ∵ ∴边长为 cm的正方形面积大. 正方形的面积越大，边长越长. ∴ . 追问1：能否从刚才的探究中发现比较与的大小的方法？ 思路：将无理数通过平方转化为有理数，比较有理数的大小即可. 追问2：现在知道如何比较与的大小吗？ 解： ∵ ∴ . 小结：平方法. 依据：当a＞0，b＞0时， ①a2＞b2，则a＞b； ②a2＜b2，则a＜b； 还有其他的方法来比较二次根式的大小吗？ 认真思考 积极回答问题 熟悉解答过程 通过熟悉的正方形面积问题自然过渡，分析出比较二次根式大小的方法.在探究过程中让学生感受类比、转化的数学思想. 给出完整的解答过程和解题依据，让学生体会数学的严谨性，并通过追问激发学生的求知欲和探索欲.为后面的例题设下伏笔.
环节三 应用新知 【典型例题】 【例】比较与的大小. 解： ∵ 12＜18， ∴ ∴ 小结：被开方数比较法. 依据：当a＞0，b＞0时， ①a＞b，则； ②a＜b，则. 解： ＜0 ∴ 小结：作差法. 注意：先作差，有公因式先提公因式，再与0进行比较. 依据：①若ab＞0，则a＞b； ②若ab＜0，则a＜b. 解： ＜1 ∴ 小结：作商法. 依据：当a＞0，b＞0时， ①，则a＞b； ②，则a＜b. 【归纳】 二次根式的大小比较的基本方法： ①平方法 ②被开方数比较法 ③作差法 ④作商法 明确本题的做法 通过分组探究，让学生进一步探索二次根式比较大小的方法，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力. 通过归纳让学生进一步明确二次根式的大小比较的方法，并了解数学解题方法的多样性.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.选择合适的方法比较与的大小. 2.用作差法比较与的大小. 3.比较与的大小. 答案： 1.解法一： ∵ 50＞48， ∴ 解法二： ∵ 50＞48， ∴ ∴ 2.解： ∴ 3.解： ∵ 75＞72， ∴ ∴ 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书 第16页第8题 第17页第7题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课内容的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共18张PPT)
16.2 二次根式的运算
第3课时
学习目标
二次根式
的大小比较
1.了解并掌握比较两个不含字母的二次根式的方法；
2.经历探究二次根式的大小比较的过程，感受类比、转化的数学思想；
3.运用多种方法比较二次根式的大小，了解数学解题方法的多样性；
4. 鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
二次根式的除法法则
如果a≥0，b＞0，那么有
算术平方根的商等于商的算术平方根.
二次根式的乘法法则
如果a≥0，b≥0，那么有
算术平方根的积等于积的算术平方根.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
根据已学知识填空，看谁又快有准：
能否利用这些知识来比较二次根式的大小？
(1)如果a＞0，b＞0，当a＞b时，则a2 b2 ；
反之，如果a＞0，b＞0，当a2＞b2时，则a b；
(2)如果a b＞0，则a b；
(3)如果a＞0，b＞0，且 ＜1，则a b；
(4)如果a＞b＞0，则 .
＞
＞
＞
＜
＞
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一个正方形的边长为 cm，另一个正方形的边长为 cm，问：哪个正方形的面积大？它们的边长又有什么关系？
∴边长为 cm的正方形面积大.
正方形的面积越大，边长越长.
∵
它们的边长又有什么关系呢？
相互转化
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
能否从刚才的探究中发现比较 与 的大小的方法？
v
平方
v
平方
无理数
有理数
平方
比较有理数的大小即可
转化
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
现在知道如何比较 与 的大小吗？
∵
∴
解：
过程
依据
当a＞0，b＞0时，
，则a＞b；
，则a＜b.
1
2
还有其他的方法来比较二次根式的大小吗？
平方法
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】比较 与 的大小.
解：
∵ 12＜18，
∴
∴
为什么把根号外的正因数移到根号内？
当a＞0，b＞0时，
a＞b，则 ，
a＜b，则 .
依据
1
2
被开方数比较法
比较被开方数的大小
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】比较 与 的大小.
解：
∴
＜0
若a b＞0，则a＞b；
若a b＜0，则a＜b.
依据
1
2
作差法
先作差，有公因式先提公因式，再与0进行比较.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】比较 与 的大小.
解：
∴
＜1
当a＞0，b＞0时，
，则a＞b；
，则a＜b.
依据
1
2
作商法
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
归纳
二次根式的大小比较的基本方法：
1
2
3
4
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.选择合适的方法比较 与 的大小.
解：
∵ 50＞48，
∴
平方法
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
解：
∴
∵ 50＞48，
∴
1.选择合适的方法比较 与 的大小.
被开方数比较法
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
2.用作差法比较 与 的大小.
解：
∴
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
3. 比较 与 的大小.
解：
∵ 75＞72，
∴
∴
两个负数比较大小，先比较绝对值的大小，绝对值大的反而小.
二次根式的大小比较的基本方法：
二次根式的大小比较
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
创设情境
注意：
二次根式的大小比较，除了今天学习的四种基本方法，后面会慢慢接触其它方法.要选择合适的方法进行求解.
1
2
3
4
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
布置作业
教科书
第16页第8题
第17页第7题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见16.2 二次根式的运算
第4课时
一、教学目标
1.经历探索二次根式加减运算方法，使学生了解什么是同类二次根式，会辨别同类二次根式；
2.通过合并同类项的类比，归纳出二次根式加减的法则，并了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用；
3.通过二次根式的化简，完成二次根式加减法的运算，并能进行二次根式的简单四则混合运算；
4. 鼓励学生积极探究，获得发现新知识与技能的乐趣，提高学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：二次根式的加减运算，同类二次根式的概念.
难点：二次根式的简单混合运算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：通过提问引导学生回顾二次根式计算、化简结果满足的要求，即最简二次根式.然后引出二次根式的加减. 问题1：二次根式计算、化简的结果满足什么要求？ 预设答案： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 问题2：能否将下列二次根式化为最简二次根式？ 预设答案： 追问：化简后的二次根式能进行加减运算吗？ 这节课我们一起来研究这个问题. 在教师的引导下回顾已学知识 回顾最简二次根式的概念，并通过举例巩固，为后面二次根式的加减运算作准备，加强新旧知识之间的联系.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师给出问题，并带领学生列出算式，然后让学生进行分组探究，类比整式的加减探究二次根式的加减运算，在运算过程中组织学生归纳同类二次根式的概念，以及二次根式加减运算的法则. 问题：已知△ABC，AB= cm，BC= cm， AC= cm，蚂蚁1经路线①到达C点，蚂蚁2经路线②到达C点.你知道蚂蚁1比蚂蚁2多走多少路程吗？ 分析：多走的路程=AB+ BC–AC 【思考】 如何计算这个结果呢？能否类比整式的加减进行计算？ 小组合作： 1.独立思考，完成计算； 2.两人一组，交流探究. 类比整式的加减 二次根式的加减： 小结：先化成最简二次根式，再合并. 问题：这几个二次根式有什么共同特征？ 预设答案：被开方数相同. 同类二次根式的概念： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式. 【归纳】 二次根式加减运算的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似. 注意：二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.要想得到同类二次根式，必须先化简再观察. 二次根式加减运算的步骤： ①将每个二次根式化为最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式. 简记为：一化；二找；三合并. 【做一做】 判断下列哪些是同类二次根式： 解：是同类二次根式；是同类二次根式. 小结：先化简成最简二次根式再判断. 列出算式并思考 先独立思考，再分组探究交流，归纳出二次根式加减运算的法则 认真观察思考 熟悉同类二次根式的概念 熟悉运算法则和运算步骤 认真思考并抢答 根据实际问题列出二次根式的加减算式，体会数学与实际生活的紧密联系，以及学习二次根式加减运算的重要性. 通过小组合作，让学生类比整式的加减运算，探究二次根式的加减运算，体会类比的数学思想. 通过观察共同特征归纳出同类二次根式的概念，培养观察归纳能力. 根据探究过程组织学生归纳出二次根式加减运算的法则和运算步骤，培养归纳概括能力. 通过练习巩固同类二次根式的概念，并为后面二次根式的加减运算中合并同类二次根式作准备.
环节三 应用新知 【典型例题】 【例1】计算：. 解： 【例2】化简： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 小结：实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算，对于有乘积的二次根式混合运算，注意乘法公式的准确运用. 【例3】计算：. 解： 【归纳】 二次根式混合运算的注意事项： ①二次根式的混合运算与整式的运算顺序一样，先乘除，后加减，有括号先算括号里面的(或先去括号). ②乘法运算的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用. ③二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式. ④运算时，能用乘法公式的要尽量使用，灵活运用公式可简化计算过程. 明确例题的做法 通过例1让学生进一步加深对二次根式的加减运算法则、运算步骤的认识和理解，培养学生的应用意识. 通过例2、例3让学生明白实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算. 通过例题的运算过程归纳出二次根式的混合运算的注意事项.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.下列计算是否正确，为什么？ 2.计算： 3.化简： 答案： 1. 解：(1)不正确，因为和不是同类二次根式. (2)不正确，因为和不是同类二次根式. (3)不正确，因为2和是相加而不是相乘. (4)不正确，不能直接将被开方数分别除以2(应该是被开方数分别除以4). 2.解： 3.解： 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第12页 习题16.2 第3、4、7 题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课内容的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
16.2 二次根式的运算
第4课时
学习目标
二次根式
的加减
1.经历探索二次根式加减运算方法，使学生了解什么是同类二次根式，会辨别同类二次根式；
2.通过合并同类项的类比，归纳出二次根式加减的法则，并了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用；
3.通过二次根式的化简，完成二次根式加减法的运算，并能进行二次根式的简单四则混合运算；
4. 鼓励学生积极探究，获得发现新知识与技能的乐趣，提高学习数学的兴趣.
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
这节课我们一起来研究这个问题
1.二次根式计算、化简的结果满足什么要求？
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
2.能否将下列二次根式化为最简二次根式？
化简后的二次根式能进行加减运算吗？
最简二次根式
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
已知△ABC，AB cm， BC cm， AC cm，
蚂蚁1经路线①到达C点，蚂蚁2经路线②到达C点.
A
B
C
你知道蚂蚁1比蚂蚁2多走多少路程吗？
①
①
②
多走的路程 AB BC AC
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何计算这个结果呢？
小组合作
1.独立思考，完成计算；
2.两人一组，交流探究.
思考
能否类比整式的加减进行计算？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何计算这个结果呢？
思考
整式的加减
合并同类项
化成最简二次根式
合并
这几个二次根式有什么共同特征？
被开方数相同
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何计算这个结果呢？
思考
整式的加减
合并同类项
化成最简二次根式
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式.
合并
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
二次根式加减运算的法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.
二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
要想得到同类二次根式，必须先化简再观察.
注意
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
二次根式加减运算的步骤：
1
2
3
将每个二次根式化为最简二次根式；
找出同类二次根式；
合并同类二次根式.
一化
二找
三合并
做一做
判断下列哪些是同类二次根式：
解：
是同类二次根式.
是同类二次根式.
化简
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
先化简再判断
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例1】计算： .
解：
一化
二找
三合并
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例2】化简：
(1) ；
(2) .
解：(1)
满足平方差公式
实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算
对于有乘积的二次根式混合运算，注意乘法公式的准确运用.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例2】计算：
(1) ；
(2) .
解：(2)
实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算
满足完全平方公式
乘法分配律
不是同类二次根式不能合并
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例3】计算： .
解：
乘法运算的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.
运算时，能用乘法公式的要尽量使用，灵活运用公式可简化计算过程.
二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.
1
2
3
二次根式的混合运算与整式的运算顺序一样，先乘除，后加减，有括号先算括号里面的(或先去括号).
4
二次根式的混合运算的注意事项
归纳
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.下列计算是否正确，为什么？
解：(1)不正确，因为 和 不是同类二次根式.
(2)不正确，因为 和 不是同类二次根式.
(3)不正确，因为2和 是相加而不是相乘.
(4)不正确，不能直接将被开方数分别除以2(应该是被开方数分别除以4).
2.计算：
解：
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
解：
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
2.计算：
3.化简：
解：
随堂练习
应用新知
巩固新知
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
二次根式的加减运算法则：
二次根式的加减
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
创设情境
二次根式的加减运算步骤：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.
一化；二找；三合并.
同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式.
布置作业
教科书第12页
习题16.2
第3、4、7 题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
