2022-2023学年高一上学期数学人教Ａ版(2019)必修第一册1.1 集合的概念　讲义（学生版无答案）

1.1 集合的概念
1．集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨]　集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
2．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
[知识点拨]　符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
题型一 集合的概念
【例1】下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数 B．某校笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数
【题型专练】
1．（江苏高一月考）下列说法中正确的有（ ）个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（多选）（全国高一单元测试）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人 B．2022年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
3．（全国高一课时练习）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
①我校高一年级聪明的孩子 ②直角坐标系中，横、纵坐标相等的点
③不小于3的整数 ④的近似值
A．② B．②③④
C．②③ D．①③
题型二 元素与集合的关系
【例2】（广东）用符号“”或“”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
（2）若，则-1_____________A；
（3）若，则3________________B；
（4）若，则8_______________C，9.1____________C.
【题型专练】
1.（安徽省安庆九一六学校）下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：
（1）0______；（2）_______；
（3） _______；（4）2017_______.
3．（全国高一课时练习）已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
题型三 集合的表示方法
【例3-1】（1）（全国高一课时练习）把集合用列举法表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（安徽省桐城中学高一月考）方程组的解集可表示为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数的函数值组成的集合；
（2）反比例函数的自变量组成的集合；
（3）不等式的解集
【题型专练】
1．（上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.
2．（全国高一课时练习）若集合，，用列举法表示________．
3．（北京大峪中学高一期中）方程组的解集是
4．（全国高一课时练习）把下列集合用适当方法表示出来：
（1）；（2）；（3）；
（4） ；（5）.
题型四 元素的个数
【例4】（1）（江苏苏州市）设集合，则C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）（江苏南通市）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
（3）（黑龙江大庆市）由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型专练】
1．（江西宜春市）设集合，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（阜阳市颍东区衡水实验中学）已知集合，，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（全国）若集合，，则中所含元素的个数为（ ）
A． B．6 C． D．10
题型五 已知元素的特征求参数
【例5-1】（1）（河北艺术职业中学）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
（2）（江西）已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
（3）（全国高一课时练习）已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（4）（宝山区）已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
【例5-2】（上海）已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【题型专练】
1．（安徽省桐城中学）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
2．（寿县第一中学）已知集合，且，则的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（全国高一单元测试）设集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（全国高三专题练习）已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（多选）（河北安平中学高一月考）已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ）
A． B． C． D．