2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆的标准方程 教案
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆的标准方程 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-02 09:59:25 | ||
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文档简介
编号：015 课题:§3.1.1 椭圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法．
2、理解并掌握椭圆定义及其应用．
3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题．
4、理解并掌握轨迹方程的求法.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的轨迹问题；
难点：轨迹方程的求法．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 ____ (大于F1F2)的点的轨迹叫作 _____ ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 __ ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 __ ．
(2)集合语言：
P＝{M| ______________________ ，2a>F1F2}．
【课前预习思考】
定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ______________(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ____________(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
【课前预习思考】
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
【课前基础演练】
题1．以和为焦点，2a＝8的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题2．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋y2＝1或x2＋＝1
题3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题4．若椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
题5．已知定点F1，F2，且F1F2＝8，动点P满足PF1＋PF2＝8，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
题6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点(非长轴的顶点)，则△PF1F2的周长为( )
A．14 B．16
C．18 D．10＋2
题7．若△ABC的两个顶点B，C，周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是________．
【当堂巩固训练】
题8．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题9．已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则
△PF1F2的面积是( )
A．5 B． C．5 D．
题11．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
题12．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝( )
A．6 B．7 C．5 D．8
题13．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为( )
A．8 B．10 C．16 D．22
题14（多选题）．若椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝( )
A．1 B．3 C．5 D．7
题15（多选题）．已知P是椭圆＋＝1上一动点，M，N分别是圆(x＋2)2＋y2＝与圆(x－2)2＋y2＝上一动点，则( )
A．|PM|＋|PN|的最小值为
B．|PM|＋|PN|的最小值为
C．|PM|＋|PN|的最大值为
D．|PM|＋|PN|的最大值为
题16．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
题17．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
题18．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【课堂跟踪拔高】
题19．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题20．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B. ＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
题21．设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹可能是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
题22．(多选题)已知曲线C：y2＝m(x2－4)，其中m为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A．当m＝－1时，则曲线C是一个圆
B．当m<0时，则曲线C是一个椭圆
C．若m＝－3时，则曲线C是焦点为的椭圆
D．若曲线C是离心率为的椭圆，则m＝－2
题23．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
题24．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0(1)PF1＋PF2的值为________；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，则b的值为________．
题25．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
题26．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
编号：015 课题:§3.1.1 椭圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法．
2、理解并掌握椭圆定义及其应用．
3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题．
4、理解并掌握轨迹方程的求法.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的轨迹问题；
难点：轨迹方程的求法．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫作 椭圆 ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 焦点 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 ．
(2)集合语言：
P＝{M| MF1＋MF2＝2a ，2a>F1F2}．
【课前预习思考】
定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
提示：(1)当PF1＋PF2＝2a(2)当PF1＋PF2＝2a＝F1F2时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ＋＝1 (a＞b＞0) F1(－c，0)， F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ＋＝1 (a＞b＞0) F1(0，－c)， F2(0，c) 2c(c>0)
【课前预习思考】
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
【课前基础演练】
题1．以和为焦点，2a＝8的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.设所求椭圆的方程为＋＝1，因为焦点为和，2a＝8，知a＝4，c＝3，则b2＝a2－c2＝16－9＝7，椭圆的标准方程为＋＝1.
题2．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】选D.由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1.
题3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为(±，0)，由椭圆的定义得2a＝＋＝＋＝(＋1)＋＝2，
所以a＝，b＝＝2.因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
题4．若椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选D.设点P到另一个焦点的距离为d，
由椭圆方程知a2＝25，2a＝10，则4＋d＝10，所以d＝6.
题5．已知定点F1，F2，且F1F2＝8，动点P满足PF1＋PF2＝8，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
【解析】选D.因为PF1＋PF2＝F1F2，所以动点P的轨迹是线段F1F2.
题6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点(非长轴的顶点)，则△PF1F2的周长为( )
A．14 B．16
C．18 D．10＋2
【解析】选B.根据椭圆方程得a2＝25，c2＝a2－b2＝9，解得a＝5，c＝3，根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6，所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝16.
题7．若△ABC的两个顶点B，C，周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是________．
【解析】因为△ABC的两个顶点B，
C，所以＝6，因为三角形周长为16，即AB＋AC＋BC＝16，所以AB＋AC＝10>BC＝6，
由椭圆的定义，动点A到定点B，C(0，3)两点的距离之和等于定值10，且距离之和大于两定点间的距离，所以点A的轨迹是以B，
C(0，3)为焦点，2a＝10的椭圆，所以c＝3，a＝5，b＝＝＝4，得椭圆的方程为＋＝1，又因为A，B，C三点不共线，所以点A不能在y轴上，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
【当堂巩固训练】
题8．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选A.因为F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，所以c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
题9．已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由题意可得圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±，令y＝0，可得x＝－1或3，由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
题10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则
△PF1F2的面积是( )
A．5 B． C．5 D．
【解析】选D.由题意可得a＝3，c＝＝2.
设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m·F1F2·sin 60°＝××4×＝.
题11．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
【解析】选C.设M(x，y)，则|MF1|·|MF2|＝
(3＋x)(3－x)＝9－x2≤9，当x＝0时取等号，故所求最大值为9.
【光速解题】由均值不等式及椭圆定义知
|MF1|·|MF2|≤(|MF1|＋|MF2|)2＝×62＝9，当M为(0，±2)时取等号，故所求最大值为9.
题12．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝( )
A．6 B．7 C．5 D．8
【解析】选D.椭圆＋＝1对应的a＝5，
由题意可得，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，若F2A＋F2B＝12，则AB＝20－12＝8.
题13．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为( )
A．8 B．10 C．16 D．22
【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，所以PF2为△F1MN的中位线，
所以MF1＋MN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×2a＝12，F1N＝2F1F2＝4c＝4＝4，
所以△MF1N的周长为12＋4＝16.
题14（多选题）．若椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【解析】选BC.当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.
题15（多选题）．已知P是椭圆＋＝1上一动点，M，N分别是圆(x＋2)2＋y2＝与圆(x－2)2＋y2＝上一动点，则( )
A．|PM|＋|PN|的最小值为
B．|PM|＋|PN|的最小值为
C．|PM|＋|PN|的最大值为
D．|PM|＋|PN|的最大值为
【解析】选AD.圆(x＋2)2＋y2＝与圆(x－2)2＋y2＝的圆心分别为：A(－2，0)；B(2，0)，则A，B是椭圆＋＝1的两个焦点，两个圆的半径都为，所以PM＋PN的最大值为PA＋PB＋2×＝2a＋＝2×＋＝；
PM＋PN的最小值为PA＋PB－2×＝2a－＝2×－＝.
题16．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
【解析】由＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c＝，所以PF2＝2a－PF1＝2，
所以cos ∠F1PF2＝＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
答案：120°
题17．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
【解析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，
即x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
题18．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有MQ1＝1＋R，MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
【课堂跟踪拔高】
题19．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.如图，由已知可设F2B＝n，
则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos ∠F1AB＝＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.所以2a＝4n＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
题20．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B. ＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
【解析】选B.因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，所以BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0).
题21．设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹可能是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
【解析】选D.当a>0时，由均值不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2，
当a＋>6＝F1F2时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆．
题22．(多选题)已知曲线C：y2＝m(x2－4)，其中m为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A．当m＝－1时，则曲线C是一个圆
B．当m<0时，则曲线C是一个椭圆
C．若m＝－3时，则曲线C是焦点为的椭圆
D．若曲线C是离心率为的椭圆，则m＝－2
【解析】选AC.将曲线C：y2＝m化为x2－＝4，
对于A，当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝4，所以曲线C是以原点为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，当m＝－1时，曲线C是一个圆，故B错误；对于C，若m＝－3时，曲线C的方程为＋＝1，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为，故C正确；对于D，曲线C是离心率为的椭圆，由x2－＝4，即＋＝1，得m<0且m≠－1，当焦点在x轴上时，－1题23．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，
所以PF1＝4，PF2＝2，所以PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×4×2＝4.
答案：4
题24．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0(1)PF1＋PF2的值为________；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，则b的值为________．
【解析】(1)由＋＝1(0(2)设PF1＝m，PF2＝n，F1F22＝m2＋n2－2mn·cos ∠F1PF2，得4c2＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，所以mn＝，所以＝mn·sin ∠F1PF2＝mn＝b2＝.
所以b＝8.
答案：20 8
题25．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【解析】设M(x，y)，P(x1，y1).因为M为线段AP的中点，
所以因为＋＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝.
题26．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0).
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4.
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1.
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法．
2、理解并掌握椭圆定义及其应用．
3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题．
4、理解并掌握轨迹方程的求法.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的轨迹问题；
难点：轨迹方程的求法．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 ____ (大于F1F2)的点的轨迹叫作 _____ ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 __ ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 __ ．
(2)集合语言：
P＝{M| ______________________ ，2a>F1F2}．
【课前预习思考】
定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ______________(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ____________(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
【课前预习思考】
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
【课前基础演练】
题1．以和为焦点，2a＝8的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题2．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋y2＝1或x2＋＝1
题3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题4．若椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
题5．已知定点F1，F2，且F1F2＝8，动点P满足PF1＋PF2＝8，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
题6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点(非长轴的顶点)，则△PF1F2的周长为( )
A．14 B．16
C．18 D．10＋2
题7．若△ABC的两个顶点B，C，周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是________．
【当堂巩固训练】
题8．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题9．已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则
△PF1F2的面积是( )
A．5 B． C．5 D．
题11．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
题12．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝( )
A．6 B．7 C．5 D．8
题13．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为( )
A．8 B．10 C．16 D．22
题14（多选题）．若椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝( )
A．1 B．3 C．5 D．7
题15（多选题）．已知P是椭圆＋＝1上一动点，M，N分别是圆(x＋2)2＋y2＝与圆(x－2)2＋y2＝上一动点，则( )
A．|PM|＋|PN|的最小值为
B．|PM|＋|PN|的最小值为
C．|PM|＋|PN|的最大值为
D．|PM|＋|PN|的最大值为
题16．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
题17．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
题18．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【课堂跟踪拔高】
题19．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题20．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B. ＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
题21．设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹可能是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
题22．(多选题)已知曲线C：y2＝m(x2－4)，其中m为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A．当m＝－1时，则曲线C是一个圆
B．当m<0时，则曲线C是一个椭圆
C．若m＝－3时，则曲线C是焦点为的椭圆
D．若曲线C是离心率为的椭圆，则m＝－2
题23．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
题24．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，则b的值为________．
题25．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
题26．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
编号：015 课题:§3.1.1 椭圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法．
2、理解并掌握椭圆定义及其应用．
3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题．
4、理解并掌握轨迹方程的求法.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的轨迹问题；
难点：轨迹方程的求法．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫作 椭圆 ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 焦点 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 ．
(2)集合语言：
P＝{M| MF1＋MF2＝2a ，2a>F1F2}．
【课前预习思考】
定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
提示：(1)当PF1＋PF2＝2a
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ＋＝1 (a＞b＞0) F1(－c，0)， F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ＋＝1 (a＞b＞0) F1(0，－c)， F2(0，c) 2c(c>0)
【课前预习思考】
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
【课前基础演练】
题1．以和为焦点，2a＝8的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.设所求椭圆的方程为＋＝1，因为焦点为和，2a＝8，知a＝4，c＝3，则b2＝a2－c2＝16－9＝7，椭圆的标准方程为＋＝1.
题2．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】选D.由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1.
题3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为(±，0)，由椭圆的定义得2a＝＋＝＋＝(＋1)＋＝2，
所以a＝，b＝＝2.因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
题4．若椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选D.设点P到另一个焦点的距离为d，
由椭圆方程知a2＝25，2a＝10，则4＋d＝10，所以d＝6.
题5．已知定点F1，F2，且F1F2＝8，动点P满足PF1＋PF2＝8，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
【解析】选D.因为PF1＋PF2＝F1F2，所以动点P的轨迹是线段F1F2.
题6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点(非长轴的顶点)，则△PF1F2的周长为( )
A．14 B．16
C．18 D．10＋2
【解析】选B.根据椭圆方程得a2＝25，c2＝a2－b2＝9，解得a＝5，c＝3，根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6，所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝16.
题7．若△ABC的两个顶点B，C，周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是________．
【解析】因为△ABC的两个顶点B，
C，所以＝6，因为三角形周长为16，即AB＋AC＋BC＝16，所以AB＋AC＝10>BC＝6，
由椭圆的定义，动点A到定点B，C(0，3)两点的距离之和等于定值10，且距离之和大于两定点间的距离，所以点A的轨迹是以B，
C(0，3)为焦点，2a＝10的椭圆，所以c＝3，a＝5，b＝＝＝4，得椭圆的方程为＋＝1，又因为A，B，C三点不共线，所以点A不能在y轴上，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1.
答案：＋＝1
【当堂巩固训练】
题8．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选A.因为F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，所以c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
题9．已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由题意可得圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±，令y＝0，可得x＝－1或3，由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
题10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则
△PF1F2的面积是( )
A．5 B． C．5 D．
【解析】选D.由题意可得a＝3，c＝＝2.
设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m·F1F2·sin 60°＝××4×＝.
题11．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
【解析】选C.设M(x，y)，则|MF1|·|MF2|＝
(3＋x)(3－x)＝9－x2≤9，当x＝0时取等号，故所求最大值为9.
【光速解题】由均值不等式及椭圆定义知
|MF1|·|MF2|≤(|MF1|＋|MF2|)2＝×62＝9，当M为(0，±2)时取等号，故所求最大值为9.
题12．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝( )
A．6 B．7 C．5 D．8
【解析】选D.椭圆＋＝1对应的a＝5，
由题意可得，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，若F2A＋F2B＝12，则AB＝20－12＝8.
题13．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为( )
A．8 B．10 C．16 D．22
【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，所以PF2为△F1MN的中位线，
所以MF1＋MN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×2a＝12，F1N＝2F1F2＝4c＝4＝4，
所以△MF1N的周长为12＋4＝16.
题14（多选题）．若椭圆＋＝1的焦距是2，则m＝( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【解析】选BC.当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.
题15（多选题）．已知P是椭圆＋＝1上一动点，M，N分别是圆(x＋2)2＋y2＝与圆(x－2)2＋y2＝上一动点，则( )
A．|PM|＋|PN|的最小值为
B．|PM|＋|PN|的最小值为
C．|PM|＋|PN|的最大值为
D．|PM|＋|PN|的最大值为
【解析】选AD.圆(x＋2)2＋y2＝与圆(x－2)2＋y2＝的圆心分别为：A(－2，0)；B(2，0)，则A，B是椭圆＋＝1的两个焦点，两个圆的半径都为，所以PM＋PN的最大值为PA＋PB＋2×＝2a＋＝2×＋＝；
PM＋PN的最小值为PA＋PB－2×＝2a－＝2×－＝.
题16．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
【解析】由＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c＝，所以PF2＝2a－PF1＝2，
所以cos ∠F1PF2＝＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
答案：120°
题17．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
【解析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1.
所以＋＝1，
即x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
题18．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有MQ1＝1＋R，MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
【课堂跟踪拔高】
题19．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.如图，由已知可设F2B＝n，
则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos ∠F1AB＝＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.所以2a＝4n＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
题20．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B. ＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
【解析】选B.因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，所以BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0).
题21．设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹可能是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
【解析】选D.当a>0时，由均值不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2，
当a＋>6＝F1F2时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆．
题22．(多选题)已知曲线C：y2＝m(x2－4)，其中m为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A．当m＝－1时，则曲线C是一个圆
B．当m<0时，则曲线C是一个椭圆
C．若m＝－3时，则曲线C是焦点为的椭圆
D．若曲线C是离心率为的椭圆，则m＝－2
【解析】选AC.将曲线C：y2＝m化为x2－＝4，
对于A，当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝4，所以曲线C是以原点为圆心，2为半径的圆，故A正确；对于B，当m＝－1时，曲线C是一个圆，故B错误；对于C，若m＝－3时，曲线C的方程为＋＝1，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为，故C正确；对于D，曲线C是离心率为的椭圆，由x2－＝4，即＋＝1，得m<0且m≠－1，当焦点在x轴上时，－1
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，
所以PF1＝4，PF2＝2，所以PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×4×2＝4.
答案：4
题24．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，则b的值为________．
【解析】(1)由＋＝1(0
所以b＝8.
答案：20 8
题25．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【解析】设M(x，y)，P(x1，y1).因为M为线段AP的中点，
所以因为＋＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝.
题26．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0).
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4.
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1.