2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.1.2.1 椭圆的几何性质 校本讲义

编号：016 课题:§3.1.2.1 椭圆的几何性质
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程形式．
2、理解并掌握椭圆的几何性质．
3、理解并掌握椭圆的离心率的求法．
4、理解并掌握由椭圆的性质求椭圆的标准方程.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：椭圆的离心率的求法；
难点：由椭圆的性质求椭圆的标准方程．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数____，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径：
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
【课前预习思考】
　(1)如何从方程形式判断曲线的对称性？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
2．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比______．
(2)记法：e＝____．
(3)范围：_________．
(4)e与椭圆形状的关系：e越接近_____，椭圆越扁平，e越接近______，椭圆越接近于圆
【课前基础演练】
题1．椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为(　　)
A．2，1 B．4，2
C．，1 D．2，2
题2．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A． B． C． D．
题3．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
题4．椭圆x2＋4y2＝4的长轴长为(　　)
A．4 B． C．2 D．
题5．若点A在椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是________．
题6．在平面直角坐标系xOy中，点A，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为________．
【当堂巩固训练】
题7．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝(　　)
A．3或－ B．3
C．－ D．6－9
题8．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为(　　)
A．3，1 B．2＋，2－
C．2，1 D．＋1，－1
题9．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1的焦距为4，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
题10．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－6)∪(3，＋∞)
C．(－6，－2)∪(3，＋∞)
D．(3，＋∞)
题11．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)
A．± B．± C．± D．±2
题12．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)
A．3 B．或3
C． D．或
题13．(多选题)关于椭圆＋＝1，以下说法正确的是(　　)
A．长轴长为2
B．焦距为2
C．离心率为
D．左顶点的坐标为
题14（多选题）．关于椭圆3x2＋4y2＝12有以下结论，其中正确的有(　　)
A．离心率为
B．长轴长是2
C．焦点在y轴上
D．焦点坐标为(－1，0)，(1，0)
题15．设点P是椭圆＋y2＝1的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意一个动点，则|PQ|的最大值是________．
题16．方程＋＝1表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是________．
题17．根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.
【课堂跟踪拔高】
题18．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
题19．已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
题20．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于(　　)
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
题21．(多选题)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．m＝2 B．C的长轴长为2
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
题22．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，则实数a＝________，实数b＝________．
题23．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为__________.
题24．已知椭圆C：＋＝1 (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P.(1)若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
(2)若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
题25．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长半轴长为2.
(1)若椭圆C经过点(，)，求椭圆C的方程；
(2)A为椭圆C的右顶点，B，椭圆C上存在点P，使得＝.求椭圆C的离心率的取值范围．
编号：016 课题:§3.1.2.1 椭圆的几何性质
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程形式．
2、理解并掌握椭圆的几何性质．
3、理解并掌握椭圆的离心率的求法．
4、理解并掌握由椭圆的性质求椭圆的标准方程.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：椭圆的离心率的求法；
难点：由椭圆的性质求椭圆的标准方程．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径：
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
【课前预习思考】
　(1)如何从方程形式判断曲线的对称性？
提示：在曲线的方程里，
①如果把x换成－x而方程不变，那么曲线关于y轴对称．
②如果把y换成－y而方程不变，那么曲线关于x轴对称．
③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
2．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近 1 ，椭圆越扁平，e越接近 0 ，椭圆越接近于圆.
【课前基础演练】
题1．椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为(　　)
A．2，1 B．4，2
C．，1 D．2，2
【解析】选B.由椭圆＋＝1，可得a2＝4，b2＝3，所以a＝2，b＝，又由c＝＝1，所以椭圆
的长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2.
题2．椭圆＋＝1的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.因为椭圆方程为：＋＝1，所以a2＝16，b2＝8，所以a＝4，又c2＝a2－b2，
所以c＝2所以离心率e＝＝＝.
题3．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
【解析】选D.方程化为标准方程形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，所以a＝，所以长轴的端点坐标为(0，)和(0，－).
题4．椭圆x2＋4y2＝4的长轴长为(　　)
A．4 B． C．2 D．
【解析】选A.化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，
所以a2＝4，所以长轴长为2a＝4.
题5．若点A在椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是________．
【解析】因为点A在椭圆＋＝1的内部，所以＋<1，整理得m2<2，解得－答案：
题6．在平面直角坐标系xOy中，点A，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为________．
【解析】设点P的坐标为，则－2≤x≤2，y2＝1－，
所以|PA|＝＝＝＝.
当x＝－时，|PA|取最小值；
当x＝2时，|PA|取最大值3.
因此|PA|的最大值与最小值的积为3×＝.
答案：
【当堂巩固训练】
题7．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝(　　)
A．3或－ B．3
C．－ D．6－9
【解析】选B.根据题意，椭圆的焦点在y轴上，
所以a2＝m＋9，b2＝9，可得c2＝a2－b2＝m，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝ ＝＝，解得m＝3.
题8．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为(　　)
A．3，1 B．2＋，2－
C．2，1 D．＋1，－1
【解析】选A.椭圆C：＋＝1，a＝2，c＝1，
可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为a＋c＝3，a－c＝1.
题9．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1的焦距为4，则C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由题意得a2－4＝4，所以a2＝8，所以
|a|＝2，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
题10．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－6)∪(3，＋∞)
C．(－6，－2)∪(3，＋∞)
D．(3，＋∞)
【解析】选C.由于椭圆的焦点在x轴上
所以，解得－63.
题11．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)
A．± B．± C．± D．±2
【解析】选A.联立 (b2＋a2k2)x2＝a2b2，
则x＝±，由题意知＝c①，
因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，
代入①可得＝c2 k＝±.
题12．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)
A．3 B．或3
C． D．或
【解析】选B.由题意知m>0，
当5>m时，a＝，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝3；
当5所以e＝＝＝，解得m＝.
题13．(多选题)关于椭圆＋＝1，以下说法正确的是(　　)
A．长轴长为2
B．焦距为2
C．离心率为
D．左顶点的坐标为
【解析】选BCD.椭圆＋＝1的焦点在y轴上，a＝2，b＝c＝.对于A选项，该椭圆的长轴长为2a＝4，A错误；对于B选项，该椭圆的焦距为2c＝
2，B对；对于C选项，该椭圆的离心率为e＝＝，C对；对于D选项，该椭圆的左顶点坐标为，D对．
题14（多选题）．关于椭圆3x2＋4y2＝12有以下结论，其中正确的有(　　)
A．离心率为
B．长轴长是2
C．焦点在y轴上
D．焦点坐标为(－1，0)，(1，0)
【解析】选AD.将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，所以该椭圆的焦点在x轴上，故C错误；焦点坐标为，(1，0)，故D正确；a＝2，长轴长是4，故B错误；因为a＝2，b＝，所以c＝1，离心率e＝＝，故A正确．
题15．设点P是椭圆＋y2＝1的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意一个动点，则|PQ|的最大值是________．
【解析】由已知，P，设Q是椭圆上的任意一个动点，则－2≤x≤2，－1≤y≤1，则|PQ|＝＝＝
，所以当y＝－时，|PQ|取得最大值为.
答案：
题16．方程＋＝1表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是________．
【解析】由题意且m－3≠m－4，解得m>4.
答案：(4，＋∞)
题17．根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有解得
所以椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，有得
所以所求的椭圆方程为＋＝1.
【课堂跟踪拔高】
题18．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
题19．已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
题20．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于(　　)
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
题21．(多选题)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．m＝2 B．C的长轴长为2
C．C的短轴长为4 D．C的离心率为
题22．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，则实数a＝________，实数b＝________．
题23．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为__________.
题24．已知椭圆C：＋＝1 (a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P.(1)若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；
(2)若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．
题25．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长半轴长为2.
(1)若椭圆C经过点(，)，求椭圆C的方程；
(2)A为椭圆C的右顶点，B，椭圆C上存在点P，使得＝.求椭圆C的离心率的取值范围．
【解析】(1)由已知a＝2，又椭圆C过(，)，
所以＋＝1，解得b2＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，A，设P，则＋＝1.①
由＝，则2＝22，
所以2＋y2＝2，即x2＋y2＝2.②
联立①②，解得y2＝.
由－b≤y≤b，即0≤y2≤b2，故0≤≤b2，解得0于是0<≤，即≤1－<1，即≤<1，即≤e<1，
故椭圆C的离心率的取值范围是[，1).